2022届中考典型解答题专题练习：反比函数与四边形综合问题（一）

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一、解答题（共10小题；共130分）
1. 如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 在函数 y=kx（k≠0，x>0）的图象上，点 B 在点 A 的右侧，点 A 的坐标为 2,4．过点 A 作 AD⊥x轴 于点 D，过点 B 作 BC⊥x轴 于点 C，连接 OA，AB．
（1）求函数 y=kx 的表达式．
（2）若 D 为 OC 的中点，求四边形 OABC 的面积．

2. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 y=kxk>0 与反比例函数 y=3x 的图象分别交于 A，C 两点，点 B 与点 D 关于原点 O 对称，连接 AB，BC，CD，AD．已知点 B 的坐标为 m,0，其中 m>0．
（1）四边形 ABCD 是 ．（填四边形 ABCD 的形状）
（2）当点 A 的坐标为 n,3 时，四边形 ABCD 是矩形，求 m，n 的值．
（3）试探究：随着 k 与 m 的变化，四边形 ABCD 能否成为菱形?若能，请直接写出 k 的值；若不能，请说明理由．

3. 如图，菱形 ABCD 的顶点 A，顶点 B 均在 x 轴的正半轴上，AB=4，DAB=60∘，将菱形 ABCD 沿 AD 翻折，得到菱形 AEFD，若双曲线 y=kxx>0 恰好经过点 C 和 F，求 k 的值．

4. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l:y=34x+b 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A，B，与双曲线 H:y=kx 交于点 P2,92，直线 x=m 分别与直线 l 和双曲线 H 交于点 E，D．
（1）求 k 和 b 的值；
（2）当点 E 在线段 AB 上时，如果 ED=BO，求 m 的值；
（3）点 C 是 y 轴上一点，如果四边形 BCDE 是菱形，求点 C 的坐标．

5. 如图，直线 y=ax+2 与 x 轴交于点 A1,0，与 y 轴交于点 B0,b．将线段 AB 先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 tt>0 个单位长度，得到对应线段 CD，反比例函数 y=kxx>0 的图象恰好经过 C，D 两点，连接 AC，BD．
（1）请直接写出 a 和 b 的值；
（2）求反比例函数的表达式及四边形 ABDC 的面积．

6. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，点 C，A 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，点 D 为 AB 的中点．已知实数 k≠0，一次函数 y=−3x+k 的图象经过点 C，D，反比例函数 y=kxx>0 的图象经过点 B，求 k 的值．

7. 如图，在矩形 OABC 中，OA=3，AB=4，反比例函数 y=kxk>0 的图象与矩形的边 AB，BC 分别交于点 D，点 E，且 BD=2AD．
（1）求点 D 的坐标和 k 的值；
（2）求证：BE=2CE；
（3）若点 P 是线段 OC 上的一个动点，是否存在点 P，使 ∠APE=90∘? 若存在，求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

8. 如图，反比例函数 y=kx 的图象与一次函数 y=mx−2 的图象相交于 A6,1，Bn,−3，直线 AB 与 x 轴，y 轴分别交于点 C，D．
（1）求 k，m 的值；
（2）求出 B 点坐标，再直接写出不等式 mx−2（3）点 M 在函数 y=kx 的图象上，点 N 在 x 轴上，若以 C，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出 N 点坐标．

9. 如图，在平行四边形 OABC 中，OA=22，∠AOC=45∘，点 C 在 y 轴上，点 D 是 BC 的中点，反比例函数 y=kxx>0 的图象经过点 A，D．
（1）求 k 的值；
（2）求点 D 的坐标．

10. 已知在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 是反比例函数 y=1x（x＞0）图象上的一个动点，连接 AO，AO 的延长线交反比例函数 y=kx（k>0，x<0）的图象于点 B，过点 A 作 AE⊥y轴 于点 E．
（1）如图 1，过点 B 作 BF⊥x轴，于点 F，连接 EF．
①若 k=1，求证：四边形 AEFO 是平行四边形；
②连接 BE，若 k=4，求 △BOE 的面积．
（2）如图 2，过点 E 作 EP∥AB，交反比例函数 y=kx（k>0，x<0）的图象于点 P，连接 OP．试探究：对于确定的实数 k，动点 A 在运动过程中，△POE 的面积是否会发生变化?请说明理由．
答案
第一部分
1. （1） 将 A2,4 代入 y=kx 得 4=k2，
解得 k=8，
∴y=8x．
（2） ∵AD⊥x轴，
∴ 点 D 横坐标为 2，
∵D 为 OC 中点，
∴ 点 C 横坐标为 2×2=4，
把 x=4 代入 y=8x 得 y=2，
∴ 点 B 坐标为 4,2，
∵S△AOD=12OD⋅DA=12×2×4=4，
S梯形ADBC=12BC+AD⋅CD=12×2+4×4−2=6，
∴ 四边形 OABC 的面积为 S△AOD+S梯形ADBC=4+6=10．
2. （1） 平行四边形
（2） ∵ 点 An,3 在反比例函数 y=3x 的图象上，
∴3n=3．解得 n=1．
∴A1,3．
∴OA=10．
∵ 四边形 ABCD 为矩形，
∴OA=12AC，OB=12BD，AC=BD．
∴OB=OA=10．
∴m=10．
（3） 四边形 ABCD 不能成为菱形，理由如下：
∵ 点 A 在第一象限内，点 B 在 x 轴的正半轴上，
∴∠AOB<90∘．
∴AC 与 BD 不可能互相垂直．
∴ 四边形 ABCD 不能成为菱形．
3. 连接 AC，AF，过点 C 作 CM⊥x轴 于点 M，
则 CM=23，AC=43，
则 AF=AC=43，
可知 FA⊥x轴，
设 Fa,43，
则 Ca+6,23，
则 43a=23a+6，
则 a=6，
则 k=43a=243．
4. （1） ∵y=kx，y=34x+b 交于 P2,92，
∴k=2×92,92=34×2+b,
得 k=9,b=3.
（2） 令 x=0 代入 y=34x+3 得，
y=3，故 B0,3，
∴ED=BO=3 时，
∴E，D 横坐标为 m，
∴34m+3−9m=3，
34m=9m⇒m2=12，m1=−23，m2=23（舍），
∴m=−23．
（3） 将 x=m 代入两函数得，yE=34m+3，y0=9m，
∴Em,34m+3，Dm,9m，B0,3，
设 c0,n，
∵ 四边形 BCDE 为菱形，
∴BE∥DC 且 BE=DC，∣DE∣=∣BE∣，
∴kCD=n−9m−m=34，
∣DE∣=34m+3−9m2=∣BE∣=m2+34m2,
34m+3−9m=−54m，
⇒34m+3−9m=−54m⇒2m2+3m−9=0，
2m−3m+3=0，
m1=32（舍），m2=−3，
∴n−9m−m=34=n+933=34，
⇒n=−34，
∴C0,−34．
5. （1） 将点 A1,0 代入 y=ax+2，得 0=a+2．
∴a=−2．
∴ 直线的解析式为 y=−2x+2．
将 x=0 代入上式，得 y=2．
∴b=2．
（2） 由（1）知，b=2，
∴B0,2，
由平移可得：点 C2,t，D1,2+t．
将点 C2,t，D1,2+t 分别代入 y=kx，得 t=k2,2+t=k1,
∴k=4,t=2,
∴ 反比例函数的解析式为 y=4x，点 C2,2，点 D1,4．
如图，连接 BC，AD．
∵B0,2，C2,2，
∴BC∥x 轴，BC=2．
∵A1,0，D1,4，
∴AD⊥x 轴，AD=4．
∴BC⊥AD．
∴S四边形ABDC=12×BC×AD=12×2×4=4．
6. 把 y=0 代入 y=−3x+k，得 x=k3，
所以 Ck3,0，
因为 BC⊥x轴，
所以点 B 横坐标为 k3，
把 x=k3 代入 y=kx，得 y=3，
所以 Bk3,3，
因为点 D 为 AB 的中点，
所以 AD=BD．
所以 Dk6,3，
因为点 D 在直线 y=−3x+k 上，
所以 3=−3×k6+k，
所以 k=6．
7. （1） ∵AB=4，BD=2AD，
∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4，
∴AD=43，
又 ∵OA=3，
∴D43,3．
∵ 点 D 在双曲线 y=kx 上，
∴k=43×3=4．
（2） ∵ 四边形 OABC 为矩形，
∴AB=OC=4，
∴ 点 E 的横坐标为 4．
把 x=4 代入 y=4x，得 y=1，
∴E4,1，
∴CE=1，
∵BC=3，
∴BE=2，
∴BE=2CE．
（3） 存在点 P，使 ∠APE=90∘．
设点 P 的坐标为 m,00≤m≤4，则 OP=m，CP=4−m．
∵∠APE=90∘，
∴∠APO+∠EPC=90∘，
又 ∵∠APO+∠OAP=90∘，
∴∠EPC=∠OAP，
又 ∵∠AOP=∠PCE=90∘，
∴△AOP∽△PCE，
∴OAPC=OPCE，
∴34−m=m1，解得 m1=1，m2=3，
经检验，m1=1 和 m2=3 是原方程的解，且符合题意．
∴ 点 P 的坐标为 1,0 或 3,0．
8. （1） 将 A6,1 代入反比例函数 y=kx 与一次函数 y=mx−2 中，
得 1=k6，1=6m−2，
∴k=6，m=12
（2） 由（1）知，m=12，
∴ 直线 AB 的解析式为 y=12x−2，
将 Bn,−3 代入 y=12x−2 中，得 12n−2=−3，
∴n=−2，
∴B−2,−3，
由题图知，不等式 mx−2 （3） 1,0，7,0，−1,0．
【解析】由（2）知，直线 AB 的解析式为 y=12x−2，
当 x=0 时，y=−2，
∴D0,−2，
当 y=0 时，12x−2=0，
∴x=4，
∴C4,0，
由（1）知，k=6，
∴ 反比例函数的解析式为 y=6x，
设点 Ma,6a，Nb,0，以 C，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形时，分以下三种情况：
①当 CD 与 MN 为对角线时，12×0+4=12a+b，12×−2+0=126a+0，
∴a=−3，b=7，
∴N7,0；
②当 CM 与 DN 为对角线时，12a+4=120+b，126a+0=12×−2+0，
∴a=−3，b=1，
∴N1,0；
③当 CN 与 DM 为对角线时，12b+4=12a+0，12×0+0=126a−2，
∴a=3，b=−1，
∴N−1,0．
∴ 满足条件的点 N 的坐标为 1,0，7,0，−1,0．
9. （1） ∵OA=22，∠AOC=45∘，
∴A2,2，
∴k=4，
∴y=4x．
（2） ∵ 四边形 OABC 是平行四边形，
∴AB⊥x 轴，
∴ 点 B 的横坐标为 2，
∵ 点 D 是 BC 的中点，
∴ 点 D 的横坐标为 1，
∴D1,4．
10. （1） ①设点 A 的坐标为 a,1a，则当点 k=1 时，点 B 的坐标为 −a,−1a，
∴AE=OF=a，
∵AE⊥y轴，
∴AE∥OF，
∴ 四边形 AEFO 是平行四边形．
②过点 B 作 BD⊥y轴 于点 D，如图 1，
∵AE⊥y轴，
∴AE∥BD，
∴△AEO∽△BDO，
∴S△AEOS△BDO=AOBO2，
∴ 当 k=4 时，122=AOBO2，
即 AOBO=12，
∴S△BOE=2S△AOE=1．
（2） 不改变．
理由如下：
过点 P 作 PH⊥x轴 于点 H，PE 与 x 轴交于点 G，
设点 A 的坐标为 a,1a，点 P 的坐标为 b,kb，
则 AE=a，OE=1a,PH=−kb，
∵ 四边形 AEGO 是平行四边形，
∴∠EAO=∠EGO，AE=OG，
∵∠EGO=∠PGH，
∴∠EAO=∠PGH，
又 ∵∠PHG=∠AEO，
∴△AEO∽△GHP，
∴AEGH=EOPH，
∵GH=OH−OG=−b−a，
∴a−b−a=1a−kb，
∴ba2+ba−k=0，
解得 ba=−1±1+4k2，
∵a，b 异号，k>0，
∴ba=−1−1+4k2，
∴S△POE=12×OE×−b=12×1a×−b=−12×ba=1+1+4k4，
∴ 对于确定的实数 k，动点 A 在运动过程中，△POE 的面积不会发生变化．