2021年北京朝阳区忠德学校八年级下期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区忠德学校八年级下期末数学试卷

2021年北京朝阳区忠德学校八年级下期末数学试卷 一、选择题（共10小题；共50分）1. 在平面直角坐标系中，已知点 A−4,3 与点 B 关于原点对称，则点 B 的坐标为    A. −4,−3 B. 4,3 C. 4,−3 D. −4,3 2. 如果一个多边形的每一个内角都是 108∘，那么这个多边形是    A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 3. 为了迎接杭州 G20 峰会，某校开展了设计“YJG20”图标的活动．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是    A. B. C. D. 4. 为了比较甲乙两种水稻秧苗谁出苗更整齐，每种秧苗各随机抽出 50 株，分别量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙的方差分别是 3.5 、 10.9，则下列说法正确的是    A. 甲秧苗出苗更整齐 B. 乙秧苗出苗更整齐 C. 甲、乙出苗一样整齐 D. 无法确定甲、乙出苗谁更整齐 5. 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 CE⊥AB，垂足为 E．如果 ∠A=100∘，则 ∠BCE 的度数是    A. 80∘ B. 90∘ C. 100∘ D. 10∘ 6. 平面直角坐标系中，在第三象限的点是    A. −3,5 B. 1,−2 C. −2,−3 D. 1,1 7. 已知 m 为实数，则关于 x 的方程 x2−m−2x−2m=0 的实数根情况一定是    A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个实数根 D. 没有实数根 8. 方程 x2+x−12=0 的两个根为    A. x1=−2，x2=6 B. x1=−6，x2=2 C. x1=−3，x2=4 D. x1=−4，x2=3 9. 关于直线 l:y=kx+k k≠0，下列说法不正确的是    A. 点 0,k 在 l 上 B. l 经过定点 −1,0 C. 当 k>0 时，y 随 x 的增大而增大 D. l 经过第一、二、三象限 10. 如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AB，AC 上的中点，如果 DE 的长度是 6，则 BC 的长度是    A. 3 B. 6 C. 12 D. 18 二、填空题（共6小题；共30分）11. 函数 y=xx−2 的定义域是  ． 12. 一次函数 y=m−1x+m2 的图象过 0,4，且 y 随 x 的增大而增大，则 m=  ． 13. 已知一元二次方程 2x2+bx+c=0 的两个根为 x1=1 和 x2=2，则 b=  ，c=  ． 14. 对称性：菱形是  图形，有  条对称轴． 15. 如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 BC 的中点．将三角形 ABE 平移到三角形 DCEʹ，则四边形 AEEʹD 的面积为  ． 16. 已知点 Ma,b 是直角坐标平面内的点，若 ab>0，则点 M 在第  象限． 三、解答题（共9小题；共117分）17. 解方程：x2−4x−5=0． 18. 已知：关于 x 的方程 x2+2k+1x+k2−1=0 有两个不相等的实数根．（1）求实数 k 的取值范围；（2）若 k 为负整数，求此时方程的根． 19. 如图是某同学对一道作业题的解题思路，课堂上师生据此展开了讨论． 问题如图，已知 A1,3，B4,0，∠OAB 的平分线 AC 交 x 轴于点 C，求 OC 的长． 思路：作 AD⊥OB，CE⊥AB，CF⊥OA ① A 坐标 →OD=1，AD=3，OA=2→∠AOC=60∘； ② A，B 坐标 →OA=2，OB=4，AB=23→∠OAB=90∘； ③ AC 平分 ∠OAB→CE=CF； ④ S△AOC+S△ABC=S△AOB→AO⋅CF+AB⋅CE=OA⋅AB→CF=3−3； ⑤综上，Rt△OCF 中，OC=CFsin∠AOC=23−2． 可以优化吗? （1）同学们发现不需要证“∠OAB=90∘”也能求解，简要说明理由． 几位同学提出了不同的思路． ①甲说：S△AOC 和 S△ABC 的面积之比既是 OCCB，又是 AOAB，从而 OCCB=AOAB； ②乙说：在 AB 边上取点 G，使 AG=AO，连接 CG，可知 BG 的长即为所求； ③丙说：延长 AC 交 △AOB 的外接圆于 N，再利用一次函数或相似求出 OC． 请你选择其中一种解法，利用图 2 和已有步骤完成解答． 有什么收获? （2）面积法是图形问题中确定数量关系的有效方法，请利用面积法求解：如图 1，⊙O 与 △ABC 的边 AC，边 BA，BC 的延长线 AE，CF 相切，切点分别为 D，E，F．设 △ABC 的面积为 S，BC=a，AC=b，AB=c，请用含 S，a，b，c 的式子表示 ⊙O 的半径 R，直接写出结果． 20. （1）在平行四边形 ABCD 中，∠A=60∘，AB=10，AD=12，求 S平行四边形ABCD；（2）在平行四边形 ABCD 中，∠A=α0∘<α<90∘，AB=x，AD=y，求 S平行四边形ABCD． 21. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 BD 的垂直平分线 MN 与 AD 交于点 M，与 BC 交于点 N，连接 BM，DN． （1）求证：四边形 BMDN 是菱形．（2）若 AB=4，AD＝8，求 MD 的长． 22. 学校图书馆去年年底有图书 100 万册，预计到明年年底增加到 121 万册．求这两年的年平均增长率． 23. 两个运输小队分别从两个仓库以相同的工作效率调运一批物资，两队同时开始工作．第二小队工作 5 天后，由于技术问题检修设备 5 天，为赶上进度，再次开工后他们将工作效率提高到原先的 2 倍，结果和第一小队同时完成任务．在两队调运物资的过程中，两个仓库物资的剩余量 y t 与第一小队工作时间 x 天的函数图象如图所示． （1）①求线段 AC 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式； ②求点 F 的坐标，并解释点 F 的实际意义．（2）如果第二小队没有检修设备，按原来的工作效率正常工作，那么他们完成任务的天数是  天． 24. 当 m 为何整数时，关于 x 的一元二次方程 mx2−4x+4=0 与 x2−4mx+4m2−4m−5=0 的根都是整数． 25. 已知：∠A=∠B，AE=BE，点 D 在 AC 边上，∠1=∠2，AE 和 BD 相交于点 O，试说明 DE 平分 ∠BDC． 答案第一部分1. C 【解析】关于原点对称的点，横、纵坐标互为相反数，故点 B4,−3．2. B 3. D 【解析】判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后对称轴两侧的图形能够完全重合；判断中心对称图形的关键是寻找对称中心，将图形绕对称中心旋转 180∘ 后能够与原图形重合．选项A，D中的图形是轴对称图形，选项D中的图形也是中心对称图形．4. A 5. D 6. C 7. C 【解析】Δ=m−22−4×−2m=m+22．对于任意实数 m，都有 m+22≥0，即 Δ≥0，所以原方程一定有两个实数根．8. D 9. D 【解析】当 x=0 时，y=k，即点 0,k 在 l 上，故A选项正确；当 x=−1 时，y=−k+k=0，故B选项正确；当 k>0 时，y 随 x 的增大而增大，故C选项正确；由于 k 的正负不确定，因此不能确定 l 经过第一、二、三象限，故D选项错误．10. C 第二部分11. x≠212. 213. −6，4【解析】∵ 一元二次方程 2x2+bx+c=0 的两个根为 x1=1 和 x2=2， ∴−b2=1+2，c2=1×2，解得 b=−6，c=4．14. 轴对称，两15. 416. 一、三第三部分17. x2−4x−5=0,移项，得x2−4x=5,两边都加上 4，得x2−4x+4=5+4,所以x−22=9,则x−2=3或x−2=−3,所以x=−1或x=5.18. （1） 由题意，得 =2k+12−4k2−1=4k+5>0 ．解得 k>−54 ．      （2） ∵ k 为负整数， ∴ k=−1 ，则方程为 x2−x=0 ，解得 x1=0 ， x2=1 ．19. （1） 方法可以优化．方法一：如图 2−1 中，作 CE⊥OA 于 E，CF⊥AB 于 F． ∵CA 平分 ∠OAB，CE⊥OA，CF⊥AB， ∴CE=CF， ∵S△AOCS△ACB=OCBC=12⋅OA⋅CE12⋅AB⋅CF=OAAB=33， ∴OC=OB⋅33+3=23−2．本题收获：学会了利用面积法解决问题，学会构建一次函数，利用数形结合的思想解决问题．【解析】方法二：如图 2−2 中，在 AB 边上取点 G，使 AG=AO，连接 CG． ∵AO=AG，∠OAC=∠CAG，AC=AC， ∴△ACO≌△ACGSAS， ∴OC=CG， ∵∠AOC=∠AGC=60∘，∠ABO=30∘，∠AGC=∠GCB+∠ABO， ∴∠GCB=∠GBC， ∴GC=GB， ∴OC=GB=23−2．方法三：如图 2−3 中，延长 AC 交 △ABC 的外接圆于点 N，连接 ON，BN．易知 N2,−2， ∵A1,3， ∴ 直线 AN 的解析式为 y=−2−3x+23+2，令 y=0，得到 x=23−2， ∴C23−2， ∴OC=23−2．      （2） R=2Sa+c−b．【解析】如图 1 中，连接 OB，OE，OD，OF． ∵⊙O 与 △ABC 的边 AC，边 BA，BC 的延长线 AE，CF 相切，切点分别为 D，E，F， ∴OE⊥AB，OD⊥AC，OF⊥BC， ∵S△ABC=S△AOB+S△OBC−S△AOC， ∴S=12⋅c⋅R+12⋅a⋅R−12⋅b⋅R， ∴R=2Sa+c−b．20. （1） 过 B 作 BE⊥AD 于 E． ∴ ∠AEB=90∘． ∵ ∠A=60∘ ∴ sinA=BEAB=32 . ∵ AB=10 ， ∴ BE=53． ∴ S平行四边形ABCD=12⋅AD⋅BE=603．      （2） ∵ sinA=BEAB，AB=x． ∴ BE=xsinα． ∴ S平行四边形ABCD=xysinα．21. （1） ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠MDO=∠NBO . ∵MN 是 BD 的垂直平分线， ∴BM=DM，BN=DN，OB=OD .又 ∵∠MOD=∠NOB， ∴△MOD≌△NOB ASA． ∴DM=BN . ∴BM=DM=BN=DN . ∴ 四边形 BMDN 是菱形．      （2） ∵ 四边形 BMDN 是菱形， ∴MB=MD .设 MD=x，则 MB=MD=x，AM=8−x .在 Rt△AMB 中，MB2=AM2+AB2， ∴x2=8−x2+42，解得 x=5 . ∴MD 的长是 5 .22. 10%．23. （1） ①设 AC 的函数表达式为 y=kx+b，将 12,0，0,360 代入 y=kx+b，得 12k+b=0,b=360, 解得 k=−30,,b=360. 即线段 AC 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式为 y=−30x+360；②第一小队的工作效率为 360÷12=30t/天，第二小队再次开工后的工作效率为 30×2=60t/天，调运物资为 60×2=120t，即点 E 的坐标为 10,120， ∴ 点 F 的纵坐标为 120．将 y=120 代入 y=−30x+360，可得 x=8，即点 F 的坐标为 8,120．点 F 的实际意义是：第一小队工作 8 天后，两个仓库剩余的物资都为 120 t．      （2） 9【解析】120÷30=4（天），5+4=9（天）．24. ∵ 关于 x 的一元二次方程 mx2−4x+4=0 与 x2−4mx+4m2−4m−5=0 有实数根， m≠0,Δ=16−16m≥0,Δ=16m2−44m2−4m−5≥0 解得 −54≤m≤1 且 m≠0．即当 −54≤m≤1 且 m≠0 时，关于 x 的一元二次方程 mx2−4x+4=0 与 x2−4mx+4m2−4m−5=0 有实数根．如果存在整数 m，使得方程的根也为整数，那么 m=±1．当 m=−1 时，方程 mx2−4x+4=0 即为 −x2−4x+4=0，解得 x=−2±22．（舍）当 m=1 时，mx2−4x+4=0 即为 x2−4x+4=0 解得 x1=x2=2，符合题意．当 m=1 时，x2−4mx+4m2−4m−5=0 即为 x−5x+1=0，解得 x1=5，x2=−1，符合题意．故存在整数 m=1，使得方程的根都为整数．25. ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠AED=∠AED+∠2，即 ∠BED=∠AEC，在 △BED 和 △AEC 中， ∠B=∠A,∠BED=∠AEC,BE=AE, ∴△BED≌△AEC， ∴DE=CE，∠BDE=∠C， ∵DE=CE， ∴∠EDC=∠C， ∴∠EDC=∠BDE， ∴DE平分∠BDC．