2021年北京昌平区昌平区实验中学八年级下期末数学试卷

这是一份2021年北京昌平区昌平区实验中学八年级下期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列计算正确的是
A. 2+3=5B. 2×3=6C. 8=42D. 4−2=2

2. 如图，在矩形 ABCD 中，P，R 分别是 BC 和 DC 上的点，E，F 分别是 AP 和 RP 的中点，当点 P 在 BC 上从点 B 向点 C 移动，而点 R 不动时，下列结论正确的是
A. 线段 EF 的长逐渐增长
B. 线段 EF 的长逐渐减小
C. 线段 EF 的长始终不变
D. 线段 EF 的长与点 P 的位置有关

3. 将直线 y=2x+1 向下平移 n 个单位长度得到新直线 y=2x−1，则 n 的值为
A. −2B. −1C. 1D. 2

4. 直角三角形两条直角边长分别是 5 和 12，则第三边上的中线长为
A. 5B. 6C. 6.5D. 12

5. 如图，在点 M，N，P，Q 中，一次函数 y=kx+2k<0 的图象不可能经过的点是
A. MB. NC. PD. Q

6. 如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形 ABC，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是
A. B.
C. D.

7. 若点 M−7,m，N−8,n 都在函数 y=−k2+2k+4x+1（k 为常数）的图象上，则 m 和 n 的大小关系是
A. m>nB. m
8. 如图①，在长方形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD，DA 运动至点 A 停止，设点 P 运动的路程为 x，△ABP 的面积为 y，如果 y 与 x 之间的图象如图②所示，则长方形 ABCD 的面积是
A. 10B. 16C. 20D. 36

9. 如图，四边形 ABCD 是正方形，O 是坐标原点，对角线 AC，BD 分别位于 x 轴和 y 轴上，点 D 的坐标是 0,3，则正方形 ABCD 的周长是
A. 62B. 12C. 123D. 122

10. 直线 l1:y=kx+b 与直线 l2:y=bx+k 在同一坐标系中的大致位置是
A. B.
C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 若式子 a−1 在实数范围内有意义，则 a 的取值范围是 ．

12. 若 x−1 有意义，则 x 的取值范围是 ．

13. 如图，在平行四边形 ABCD 中，添加一个条件 使平行四边形 ABCD 是菱形．

14. 如图，在正方形 ABCD，E 是对角线 BD 上一点，AE 的延长线交 CD 于点 F，连接 CE．若 ∠BAE=56∘，则 ∠CEF= ∘．

15. 物理老师布置了 10 道选择题作为课堂练习，如图是对全班解题情况的统计，平均每个学生约做对了 道题；做对题数的中位数为 ，众数为 ．

16. 如图，函数 y=−2x 和 y=kx+b 的图象相交于点 Am,3，则关于 x 的不等式 kx+b+2x>0 的解集为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：24÷3−12×10+20．

18. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠A=∠C，AD∥BC．求证：四边形 ABCD 是平行四边形．

19. 计算：218×63×26．

20. 小明对学校添置的一批课桌、凳子进行观察后，发现它们可以根据人的身高来调节高度．于是，他测量了一套课桌、凳子相对应的四档高度，得到如下数据：
（1）小明经过对数据的探究发现：桌高 ycm 是凳高 xcm 的一次函数，请你求出这个一次函数的解析式（不要求写出 x 的取值范围）；
（2）小明回家后，测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为 77 cm，凳子的高度为 43.5 cm，请你判断它们是否配套，并说明理由．

21. 如图，在 △ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 的中点，连接 DE 并延长 DE 至点 F，使 EF=DE，连接 CF．
（1）求证：四边形 DBCF 是平行四边形；
（2）探究：当 △ABC 满足什么条件时，四边形 ADCF 是矩形，并说明理由．

22. 某山区中学 280 名学生参加植树活动，要求每人植 3 至 6 棵，活动结束后随即抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：3 棵；B：4 棵；C：5 棵；D：6 棵，将各类的人数绘制成扇形图（如图 1）和条形图（如图 2）．
回答下列问题：
（1）这次调查一共抽查了 名学生的植树量；请将条形图补充完整．
（2）被调查学生每人植树量的众数是 棵、中位数是 棵．
（3）求被调查每人植树量的平均数，并估计这 280 名学生共植树多少棵?

23. 在四边形中，一条边上的两个角称为邻角．一条边上的邻角相等，且这条边的对边上的邻角也相等，这样的四边形叫做IT形．请你根据研究平行四边形及特殊四边形的方法，写出IT形的性质，把你的发现都写出来．

24. 如图，在等边 △ABC 中，线段 AM 为 BC 边上的中线．动点 D 在直线 AM 上时，以 CD 为一边在 CD 的下方作等边 △CDE，连接 BE．
（1）填空：∠CAM= 度．
（2）若点 D 在线段 AM 上时，求证：△ADC≌△BEC．
（3）当动点 D 在直线 AM 上时，设直线 BE 与直线 AM 的交点为 O，试判断 ∠AOB 是否为定值?并说明理由．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意三点 A，B，C 我们给出如下定义：“横长”a：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点．
例如：点 A−2,0，点 B1,1，点 C−1,−2，则 A，B，C 三点的“横长”a=1−−2=3，A，B，C 三点的“纵长”b=1−−2=3．因为 a=b，所以 A，B，C 三点为正方点．
（1）在点 R3,5，S3,−2，T−4,−3 中，与点 A，B 为正方点的是 ；
（2）点 P0,t 为 y 轴上一动点，若 A，B，P 三点为正方点，t 的值为 ；
（3）已知点 D1,0．
①平面直角坐标系中的点 E 满足以下条件：点 A，D，E 三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点 E 组成的图形；
②若直线 l：y=12x+m 上存在点 N，使得 A，D，N 三点为正方点，直接写出 m 的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】根据二次根式的乘法法则可得选项B正确；选项A不是同类二次根式，不能够合并；选项C，原式 =22；选项D，原式 =2−2．
2. C
3. D【解析】由“上加下减”的原则可知：直线 y=2x+1 向下平移 n 个单位长度，得到新的直线的解析式是 y=2x+1−n，
则 1−n=−1，
解得 n=2．
4. C【解析】∵ 直角三角形两条直角边长分别是 5 和 12，
∴ 斜边 =52+122=13，
∴ 第三边上的中线长为 12×13=6.5．
故选：C．
5. D
6. B
7. B
8. C【解析】∵ 动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD，DA 运动至点 A 停止，而当点 P 运动到点 C，D 之间时，△ABP 的面积不变，函数图象上横轴表示点 P 运动的路程，x=4 时，y 开始不变，说明 BC=4，x=9 时，接着变化，说明 CD=9−4=5，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=5，BC=4，
∴ 长方形 ABCD 的面积是：4×5=20．
故选C．
9. D
10. C
【解析】根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得：
A．由图可得，l1=kx+b 中，k<0，b<0，l2=bx+k 中，b<0，k>0，k 的取值矛盾，故本选项错误；
B．由图可得，l1=kx+b 中，k>0，b<0，l2=bx+k 中，b>0，k>0，b 的取值相矛盾，故本选项错误；
C．由图可得，l1=kx+b 中，k>0，b<0，l2=bx+k 中，b<0，k>0，k，b 的取值相一致，故本选项正确；
D．由图可得，l1=kx+b 中，k>0，b<0，l2=bx+k 中，b<0，k<0，k 的取值相矛盾，故本选项错误．
故选：C．
第二部分
11. a≥1
12. x≥1
13. AB=BC 或 AC⊥BD
【解析】当 AB=BC 或 AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是菱形．
14. 22
【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=CB，AB∥CD，
又 ∵BD 是角平分线，
∴∠ABE=∠CBE=45∘，
又 ∵∠BAE=56∘，
∴∠AFD=56∘，
∴∠EFC=124∘，
在 △ABE 和 △CBE 中，
AB=CB,∠ABE=∠CBE=45∘,BE=BE,
∴△ABE≌△CBESAS，
∴∠BAE=∠BCE=56∘，
∴∠ECF=90∘−56∘=34∘，
∴∠CEF=180∘−∠EFC−∠ECF=180∘−124∘−34∘=22∘．
15. 9（或 8.78），9，8 和 10
16. x>−32
第三部分
17. 原式=24÷3−12×10+25=8−5+25=22+5.
18. ∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180∘．
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠B=180∘，
∴AB∥CD．
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形．
19. 原式 =2×6×16×18×3×2=2×63=123．
20. （1） 设所求一次函数的解析式为 y=kx+b（k，b 为常数，k=0），任取题表中的两组数据，不妨取 37.0,70.0 和 42.0,78.0，分别代入 y=kx+b，得 70=37k+b,78=42k+b, 解得 k=1.6,b=10.8,
∴ 所求一次函数的解析式为 y=1.6x+10.8．
（2） 不配套．理由如下：
当 x=43.5 时，y=1.6×43.5+10.8=80.4．
77≠80.4，
∴ 不配套．
21. （1） ∵D，E 分别是 AB，AC 的中点，
∴DE=12BC，DE∥BC，
又 EF=DE，
∴DF=DE+EF=BC，
∴ 四边形 DBCF 是平行四边形．
（2） 当 AC=BC 时，四边形 ADCF 是矩形．
理由：
∵AC=BC，D 是 AB 中点，
∴ 在等腰 △ABC 中，CD⊥AB，
∴∠ADC=90∘，
又 ∵AD∥CF，AD=CF，
∴ 四边形 ADCF 为平行四边形．
∵∠ADC=90∘，
∴ 平行四边形 ADCF 是矩形．
22. （1） 20；
20−4−8−6=2．
补全条形统计图如图所示．
【解析】这次调查一共抽查了 8÷40%=20 名学生的植树量．
（2） 4；4
【解析】由统计图可知，植树 4 棵的人数最多，故众数是 4 棵．
将这 20 名学生植树棵数按由小到大顺序排列，第 10 和 11 名学生植树棵树都为 4 棵．
故中位数是 4 棵．
（3） 平均数为：3×4+8×4+5×6+6×220=4.3，
4.3×280=1204（棵）．
答：学生每人植树量的平均数为 4.3，这 280 名学生共植树 1204 棵．
23. 称IT形中一条边上相等的邻角为IT形的底角，这条边叫做IT形的底边，夹在两底边间的边叫做IT形的腰．则IT形的性质如下：IT形中同一底上的两个底角相等；IT形的对角互补；IT形的两底边平行；IT形的两条对角线相等；IT形的两腰相等；IT形是轴对称图形．
24. （1） 30
【解析】∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC=60∘．
∵ 线段 AM 为 BC 边上的中线，
∴∠CAM=12∠BAC，
∴∠CAM=30∘．
（2） ∵△ABC 与 △DEC 都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60∘，
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在 △ADC 和 △BEC 中，
AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ADC≌△BECSAS．
（3） ∠AOB 是定值，∠AOB=60∘，
理由如下：
①当点 D 在线段 AM 上时，如图 1，
由（2）可知 △ADC≌△BEC，则 ∠CBE=∠CAD=30∘，
又 ∠ABC=60∘，
∴∠CBE+∠ABC=60∘+30∘=90∘，
∵△ABC 是等边三角形，线段 AM 为 BC 边上的中线，
∴AM 平分 ∠BAC，即 ∠BAM=12∠BAC=12×60∘=30∘，
∴∠BOA=90∘−30∘=60∘．
②当点 D 在线段 AM 的延长线上时，如图 2，
∵△ABC 与 △DEC 都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60∘，
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在 △ACD 和 △BCE 中，
AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ADC≌△BECSAS，
∴∠CBE=∠CAD=30∘，
同理可得：∠BAM=30∘，
∴∠BOA=90∘−30∘=60∘．
③当点 D 在线段 MA 的延长线上时，如图 3，
∵△ABC 与 △DEC 都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60∘，
∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60∘，
∴∠ACD=∠BCE，
在 △ADC 和 △BCE 中，
AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ADC≌△BECSAS，
∴∠CBE=∠CAD，
同理可得：∠CAM=30∘，
∴∠CBE=∠CAD=150∘，
∴∠CBO=30∘，∠BAM=30∘，
∴∠BOA=90∘−30∘=60∘．
综上，当动点 D 在直线 AM 上时，∠AOB 是定值，∠AOB=60∘．
25. （1） 点 R
（2） −2 或 3
（3） ①画出如图所示的图象；
② m≥52 或 m≤−2．