2021年北京朝阳区北京中学八年级下期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区北京中学八年级下期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 2×3=
A. 5B. 6C. 223D. 32

2. 如图，为估计池塘两岸边 A，B 两点间的距离，在池塘的一侧选取点 C，分别取 AC，BC 的中点 D，E，测得 DE=15 m，则 A，B 两点间的距离是
A. 15 mB. 20 mC. 30 mD. 60 m

3. 将直线 y=2x+1 向下平移 n 个单位长度得到新直线 y=2x−1，则 n 的值为
A. −2B. −1C. 1D. 2

4. 直角三角形的斜边长为 6 cm，则斜边上的中线长为
A. 2 cmB. 2.5 cmC. 3 cmD. 4 cm

5. 一次函数 y=−2x+3 的图象不经过的象限是
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

6. 以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是
A. 32，42，52B. 13，5，12C. 13，14，15D. 312，412，512

7. 下列关于一次函数 y=kx+bk<0,b>0 的说法，错误的是
A. 图象经过第一、二、四象限B. y 随 x 的增大而减小
C. 图象与 y 轴交于点 0,bD. 当 x>−bk 时，y>0

8. 将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内璧匀速注水，如图所示，则小水杯内水面的高度 hcm 与注水时间 tmin 的函数图象大致为
A. B.
C. D.

9. 正方形具有而菱形不具有的性质是
A. 对角线平分一组对角B. 对角互补
C. 四边相等D. 对边平行

10. 直线 l1:y=kx+b 与直线 l2:y=bx+k 在同一坐标系中的大致位置是
A. B.
C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 当 x 时，x+5 是二次根式．

12. 如果 x+y+2+x−y−2=0，则 xy= ．

13. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形 ABCD 中，若 AB=10，AC=12，则 BD 的长为 ．

14. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，则图中阴影部分的面积为 ．

15. 已知一组数据 −3，x，−2，3，1，6 的中位数为 1，则其方差为 ．

16. 如图，函数 y=−2x 和 y=kx+b 的图象相交于点 Am,3，则关于 x 的不等式 kx+b+2x>0 的解集为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：218×63×26．

18. 如图，在四边形 ABCD 中，AO=3，BO=2，CO=3，DO=2．判断四边形 ABCD 是否为平行四边形．

19. 已知 x=5+1，求 x2−2x 的值．

20. 如图，直线 y=x+1 与 x，y 轴分别交于点 A，B，直线 y=−2x+4 与 x，y 轴分别交于点 D，C，这两条直线交于点 E．
（1）求 E 点坐标；
（2）若 P 为直线 CD 上一点，当 △ADP 的面积为 9 时，求 P 的坐标．

21. 如图，在平行四边形 ABCD 中，以 AC 为斜边作 Rt△AEC，又 ∠BED=90∘，求证：四边形 ABCD 是矩形．

22. 某校学生会决定从三名学生会干事中选拔一名干事，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试，三人的测试成绩如下表所示：
根据录用程序，学校组织 200 名学生采用投票推荐的方式，对三人进行民主测评，三人得票率（没有弃权，每位同学只能推荐 1 人）如扇形统计图所示，每得一票记 1 分．
（1）分别计算三人民主评议的得分；
（2）根据实际需要，学校将笔试、面试、民主评议三项得分按 4:3:3 的比例确定个人成绩，三人中谁的得分最高?

23. （1）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O．直线 EF 过点 O，分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF．
（2）如图，将平行四边形 ABCD（纸片）沿过对角线交点 O 的直线 EF 折叠，点 A 落在点 A1 处，点 B 落在点 B1 处．设 FB1 交 CD 于点 G，A1B1 分别交 CD，DE 于点 H，I．求证：EI=FG．

24. 在等边 △ABC 中，线段 AM 为 BC 边上的中线．当动点 D 在直线 AM 上时，以 CD 为边在 CD 的下方作等边 △CDE，连接 BE．
（1）若点 D 在线段 AM 上（如图①），则 AD BE（填“>”“<”或“=”），∠CAM= 度；
（2）设直线 BE 与直线 AM 的交点为 O．
（ⅰ）当动点 D 在线段 AM 的延长线上时（如图②），试判断 AD 与 BE 的数量关示，并说明理由；
（ⅱ）当动点 D 在射线 AM 上时，试判断 ∠AOB 的度数是不是定值．若是，请求出 ∠AOB 的度数；若不是，请说明理由．

25. 对于平面直角坐标系中的任意点 Px,y，点 P 到 x，y 轴的距离分别为 d1，d2 我们把 d1+d2 称为点 P 的直角距离．记作 d，即 d=d1+d2．直线 y=−2x+4 分别与 x，y 轴交于点 A，B，点 P 在直线上．
（1）当 P 为线段 AB 的中点时，d= ；
（2）当 d=3 时，求点 P 的坐标；
（3）若在线段 AB 上存在无数个 P 点，使 d1+ad2=4 （ a 为常数），求 a 的值．
答案
第一部分
1. B【解析】2×3=2×3=6．
2. C
3. D【解析】由“上加下减”的原则可知：直线 y=2x+1 向下平移 n 个单位长度，得到新的直线的解析式是 y=2x+1−n，
则 1−n=−1，
解得 n=2．
4. C【解析】直角三角形的斜边长为 6 cm，则斜边上的中线长为 3 cm，故选C．
5. C
【解析】∵k=−2<0，
∴ 一次函数经过二四象限；
∵b=3>0，
∴ 一次函数又经过第一象限，
∴ 一次函数 y=−x+3 的图象不经过第三象限，
故选C．
6. B【解析】A．322+422≠522，不能构成直角三角形；
B．52+122=132，能构成直角三角形；
C．142+152≠132，不能构成直角三角形；
D．3122+4122≠5122，不能构成直角三角形．故选B．
7. D
8. B【解析】将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小水杯内的水原来的高度一定大于 0，所以A，D错误；
用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小水杯，因而这段时间 h 随 t 的增大保持不变，当大容器中的水面与小水杯的高度齐平时，开始向小水杯中流水，h 随 t 的增大而增大，小水杯注满水后，小水杯内水面的高度 h 不再变化．
9. B
10. C
【解析】根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得：
A．由图可得，l1=kx+b 中，k<0，b<0，l2=bx+k 中，b<0，k>0，k 的取值矛盾，故本选项错误；
B．由图可得，l1=kx+b 中，k>0，b<0，l2=bx+k 中，b>0，k>0，b 的取值相矛盾，故本选项错误；
C．由图可得，l1=kx+b 中，k>0，b<0，l2=bx+k 中，b<0，k>0，k，b 的取值相一致，故本选项正确；
D．由图可得，l1=kx+b 中，k>0，b<0，l2=bx+k 中，b<0，k<0，k 的取值相矛盾，故本选项错误．
故选：C．
第二部分
11. ≥−5
12. 0
13. 16
【解析】过点 A 作 AE⊥BC 于 E，AF⊥CD 于 F，设 AC，BD 交点为 O．
∵ 两条纸条宽度相同，
∴AE=AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形．
∵S平行四边形ABCD=BC⋅AE=CD⋅AF．
又 ∵AE=AF．
∴BC=CD，
∴ 四边形 ABCD 是菱形；
∴OB=OD，OA=OC=6，AC⊥BD．
∴OB=AB2−OA2=102−62=8．
∴BD=2OB=16．
14. 92
【解析】根据题意，得 S阴影部分=12S正方形ABCD=12×32=92．．
15. 9
16. x>−32
第三部分
17. 原式 =2×6×16×18×3×2=2×63=123．
18. 四边形 ABCD 是平行四边形．
∵AO=3，CO=3，BO=2，DO=2，
∴AO=CO，BO=DO，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形．
19. ∵x=5+1，
∴x2−2x=xx−2=5+15+1−2=5+15−1=5−1=4．
20. （1） 将 y=x+1 代入 y=−2x+4 得：x+1=−2x+4，解得：x=1，
将 x=1 代入 y=x+1 得：y=2．
∴ 点 E 的坐标为 1,2．
（2） 把 y=0 代入 y=x+1 得：x+1=0，解得 x=−1，
∴ A−1,0．
把 y=0 代入 y=−2x+4 得：−2x+4=0，解得 x=2，
∴ D2,0．
∴ AD=3．
∵ △ADP 的面积为 9，
∴ 12×3×yP=9，解得：yP=6．
∴ yP=6 或 yP=−6．
将 y=6 代入 y=−2x+4 得：−2x+4=6，解得：x=−1，
∴ P−1,6．
将 y=−6 代入 y=−2x+4 得：−2x+4=−6，解得：x=5，
∴ P5,−6．
综上所述，点 P 的坐标为 −1,6 或 5,−6．
21. 提示：连接 BD，与 AC 交于点 O，连接 EO，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 EO=12AC，EO=12BD，因此 AC=BD，所以四边形 ABCD 是矩形．
22. （1） 甲 50 分，乙 80 分，丙 70 分.
（2） 甲 72.9 分，乙 77 分，丙 77.4 分，所以丙的得分最高.
23. （1）
在平行四边形 ABCD 中，AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵OA=OC，
∴△AOE≌△COF．
∴AE=CF．
（2） 由（1）得 AE=CF．
∵AE=A1E，
∴A1E=CF．
又 ∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，∠IHD=∠GHB1，
∴∠DIH=∠B1GH．
∴∠A1IE=∠CGF．
在 △A1IE 与 △CGF 中，
∠A1=∠C,∠A1IE=∠CGF,A1E=CF,
∴△A1IE≌△CGF．
∴EI=FG．
24. （1） =；30
（2） （ⅰ）AD=BE．
理由：因为 △ABC 和 △CDE 都是等边三角形，
所以 AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60∘，
因为 ∠ACD=∠ACB+∠DCB，∠BCE=∠DCE+∠DCB，
所以 ∠ACD=∠BCE，
所以 △ACD≌△BCESAS，
所以 AD=BE．
（ⅱ）∠AOB 的度数是定值，∠AOB=60∘．
理由：当点 D 在线段 AM 上时，如图，
因为 △ABC 和 △CDE 都是等边三角形，
所以 AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60∘，
所以 ∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB，
所以 ∠ACD=∠BCE，
在 △ACD 和 △BCE 中，
AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
所以 △ACD≌△BCESAS，
所以 ∠CAD=∠CBE，
因为 △ABC 是等边三角形，线段 AM 为 BC 边上的中线，
所以 AM 平分 ∠BAC，即 ∠BAM=∠CAM=12∠BAC=30∘，
所以 ∠CBE=∠CAD=30∘，
又因为 ∠ABC=60∘，
所以 ∠ABE=∠CBE+∠ABC=30∘+60∘=90∘，
所以 ∠AOB=180∘−90∘−30∘=60∘．
当点 D 在线段 AM 的延长线上时，如图，
同理可得 △ACD≌△BCESAS，
所以 ∠CBE=∠CAD=30∘，
因为 ∠ABC=60∘，
所以 ∠ABE=∠ABC+∠CBE=90∘，
又易知 ∠BAM=30∘，
所以 ∠AOB=180∘−90∘−30∘=60∘．
综上，∠AOB 的度数是定值，∠AOB=60∘．
25. （1） 3；
（2） 设 Pm,−2m+4，
∴d=d1+d2=∣m∣+∣−2m+4∣．
当 0≤m≤2 时，d=d1+d2=m−2m+4=4−m=3，
解得：m=1，此时 P11,2．
当 m>2 时，d=d1+d2=m+2m−4=3，
解得：m=73，此时 P73,−23．
当 m<0 时，d=d1+d2=−m−2m+4=3，
解得：m=13，因为 m<0，所以此时不存在点 P．
综上，P 的坐标为 1,2 或 73,−23．
（3） 设 Pm,−2m+4，
∴d1=∣−2m+4∣，d2=∣m∣．
∵P 在线段 AB 上，
∴0≤m≤2．
∴d1=−2m+4，d2=m．
∵d1+ad2=4，
∴−2m+4+am=4，即 a−2m=0．
∵ 有无数个点，
∴a=2．