2021年北京通州区大杜社中学八年级下期末数学试卷

这是一份2021年北京通州区大杜社中学八年级下期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 函数 y=x−1+3 中自变量 x 的取值范围是
A. x>1B. x≥1C. x≤1D. x≠1

2. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 如图是一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，圆柱的下底面紧贴在长方体的上底面上，那么这个几何体的俯视图为
A. B.
C. D.

4. 正 n 边形的每个内角都是 120∘，则 n 的值是
A. 3B. 4C. 6D. 8

5. 如图，如果点 M 的位置用 −40,−30 表示，那么 −10,20 表示的位置是
A. 点 AB. 点 BC. 点 CD. 点 D

6. 如图是甲、乙两射击运动员的 10 次射击训练成绩的折线统计图，则下列说法正确的是
A. 甲比乙的成绩稳定B. 乙比甲的成绩稳定
C. 甲、乙两人的成绩一样稳定D. 无法确定谁的成绩更稳定

7. 如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角 ∠AMC=30∘，窗户的高在教室地面上的影长 MN=23 米，窗户的下檐到教室地面的距离 BC=1 米（点 M，N，C 在同一直线上），则窗户的高 AB 为
A. 3 米B. 3 米C. 2 米D. 1.5 米

8. 平行四边形 ABCD 中，AC，BD 是对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形 ABCD 是矩形，那么这个条件是
A. AB=BCB. AC=BDC. AC⊥BDD. AB⊥BD

9. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点．下列说法错误的是
A. BC=2DEB. DE∥BCC. AD=BDD. DE=AE

10. 某班同学在研究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到相应的数据如下表：
砝码的质量x/g050100150200250300400500指针位置
则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是
A. B.
C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 湛江市某天的最高气温是 27∘C ，最低气温是 17∘C ，那么当天的温差是 ∘C ．

12. 一次函数的图象经过点 0,2 和 −2,0，那么这个一次函数的解析式是 ．

13. 若 △ABC∽△AʹBʹCʹ，AB=4，AʹBʹ=6，BC=3，∠C=38∘，则 BʹCʹ= ，∠Cʹ= ．

14. 如果平行四边形两个邻角度数之比为 2:1，则此平行四边形较大内角的度数为 度．

15. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，则与 △ABC 相似的三角形有 ．

16. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线 l 及其外一点 A．
求作：l 的平行线，使它经过点 A．
小云的作法如下：
（1）在直线 l 上任取一点 B，以点 B 为圆心，AB 长为半径作弧，交直线 l 于点 C；
（2）分别以 A,C 为圆心，以 AB 长为半径作弧，两弧相交于点 D；
（3）作直线 AD．
所以直线 AD 即为所求．
老师说：“小云的作法正确．”
请回答：小云的作图依据是 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 2017 年 5 月 31 日，昌平区举办了首届初二年级学生“数学古文化阅读展示”活动，为表彰在本次活动中表现优秀的学生，老师决定在 6 月 1 日购买笔袋或彩色铅笔作为奖品．已知 1 个笔袋，2 筒彩色铅笔原价共需 44 元；2 个笔袋，3 筒彩色铅笔原价共需 73 元．
（1）每个笔袋，每筒彩色铅笔原价各多少元?
（2）时逢“儿童节”，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：笔袋“九折”优惠；彩色铅笔不超过 10 筒不优惠，超出 10 筒的部分“八折”优惠．若买 x 个笔袋需要 y1 元，买 x 筒彩色铅笔需要 y2 元．请用含 x 的代数式表示 y1，y2；
（3）若在（2）的条件下购买同一种奖品 95 件，请你分析买哪种奖品省钱．

18. 已知一次函数的图象经过点 1,1 和点 −1,−3．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）在给定的直角坐标系 xOy 中画出这个一次函数的图象，并指出当 x 增大时 y 如何变化?

19. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，AF⊥CD 于点 F，若 ∠EAF=60∘，BE=4，DF=6，求平行四边形 ABCD 的周长和面积．

20. 如图，∠B=∠ADF，指出图中一对相似三角形并证明．

21. 如图，D 是 △ABC 的边 AC 上的一点，连接 BD．已知 ∠ABD=∠C，AB=6，AD=4．求线段 CD 的长．

22. 某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约 20 cm 时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60 天内，这种瓜苗生长的高度 y（cm）与生长时间 x（天）之间的关系大致如图所示．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）当这种瓜苗长到大约 80 cm 时，开始开花结果，求这种瓜苗移至大棚后，继续生长大约多少天，开始开花结果．

23. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AC 平分 ∠BAD，CE∥AD 交 AB 于 E．如果点 E 是 AB 的中点，AC=4，EC=2.5，写出求四边形 ABCD 的面积的思路．

24. 为弘扬中华传统文化，了解学生整体听写能力，某校组织全校 1000 名学生进行一次汉字听写大赛初赛，从中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制出了频数分布表和频数分布直方图：
分组/分频数频率50≤x<6060.1260≤x<70a0.2870≤x<80160.3280≤x<90100.2090≤x<100cb合计501.00
（1）表中的 a= ，b= ，c= ；
（2）把上面的频数分布直方图补充完整，并画出频数分布折线图；
（3）如果成绩达到 90 及 90 分以上者为优秀，可推荐参加进入决赛，那么请你估计该校进入决赛的学生大约有多少人．

25. 如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y=mxx<0 的图象相交于点 A−3,n，B−1,−3 两点，过点 A 作 AC⊥OP 于点 C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求四边形 ABOC 的面积．

26. 如图，为了测量一栋楼的高度 OE，小明同学先在操场上 A 处放一面镜子，向后退到 B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部 E；再将镜子放到 C 处，然后后退到 D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部 E（O，A，B，C，D 在同一条直线上），测得 AC=2 m，BD=2.1 m，如果小明眼睛距地面高度 BF，DG 为 1.6 m，试确定楼的高度 OE．

27. 有这样一个问题：探究函数 y=2x−6x−2 的图象与性质．
小慧根据学习函数的经验，对函数 y=2x−6x−2 的图象与性质进行了探究．
下面是小慧的探究过程，请补充完成：
（1）函数 y=2x−6x−2 的自变量 x 的取值范围是 ；
（2）列出 y 与 x 的几组对应值．请直接写出 m 的值，m= ；
x...−3−−
（3）请在平面直角坐标系 xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（4）结合函教的图象，写了该函数的两条性质：
① ；
② ．

28. 古代阿拉伯数学家泰比特 ⋅ 伊本 ⋅ 奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图 1 中 ∠BAC 为锐角，图 2 中 ∠BAC 为直角，图 3 中 ∠BAC 为钝角）．
在 △ABC 的边 BC 上取 Bʹ，Cʹ 两点，使 ∠ABʹB=∠ACʹC=∠BAC，则 △ABC∽△BʹBA∽△CʹAC，ABBʹB= AB，ACCʹC= AC，进而可得 AB2+AC2= ；（用 BBʹ，CCʹ，BC 表示）
若 AB=4，AC=3，BC=6，则 BʹCʹ= ．

29. 阅读以下短文，然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图①所示，矩形 ABEF 即为 △ABC 的“友好矩形”，显然，当 △ABC 是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．
（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；
（2）若 △ABC 为直角三角形，且 ∠C=90∘，在图②中画出 △ABC 的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；
（3）若 △ABC 是锐角三角形，且 BC>AC>AB，在图③中画出 △ABC 的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．
答案
第一部分
1. B
2. B【解析】根据中心对称图形的概念，选项A的图形旋转 180∘ 后不能与原图形重合，不是中心对称图形；
选项B的图形旋转 180∘ 后能与原图形重合，是中心对称图形；
选项C的图形旋转 180∘ 后不能与原图形重合，不是中心对称图形；
选项D的图形旋转 180∘ 后不能与原图形重合，不是中心对称图形．
3. C
4. C
5. A
6. A【解析】由图中知，甲的成绩为 7，7，8，9，8，9，10，9，9，9，
乙的成绩为 8，9，7，8，10，7，9，10，7，10，
x甲=7+7+8+9+8+9+10+9+9+9÷10=8.5，
x乙=8+9+7+8+10+7+9+10+7+10÷10=8.5，
甲的方差 S甲2=2×7−8.52+2×8−8.52+10−8.52+5×9−8.52÷10=0.85，
乙的方差 S乙2=3×7−8.52+2×8−8.52+2×9−8.52+3×10−8.52÷10=1.35，
∴S甲27. C
8. B
9. D
10. B
【解析】由选项可知选项中分段函数前一段为一次函数，再观察表格前六组数据可求表达式为 y=150x+2，
则当 y=7.5 时，x=275．
故选B．
第二部分
11. 10
12. y=x+2
13. 4.5，38∘
14. 120
15. △ACD 与 △CDB
16. 四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行（答案不唯一）．
第三部分
17. （1） 设每个笔袋原价 x 元，每筒彩色铅笔原价 y 元，根据题意，得：
x+2y=44,2x+3y=73.
解得：
x=14,y=15.
所以每个笔袋原价 14 元，每筒彩色铅笔原价 15 元．
（2） y1=14×0.9x=12.6x．
当不超过 10 筒时：y2=15x；
当超过 10 筒时：y2=12x+30．
（3） 方法 1：
因为 95>10，
所以将 x=95 分别代入 y1=12.6x 和 y2=12x+30 中，得 y1>y2．
所以买彩色铅笔省钱．
【解析】方法 2：
当 y1当 y1=y2 时，有 12.6x=12x+30，解得 x=50，因此当购买同一种奖品的数量为 50 件时，两者费用一样．
当 y1>y2 时，有 12.6x>12x+30，解得 x>50，因此当购买同一种奖品的数量大于 50 件时，买彩色铅笔省钱．
因为奖品的数量为 95 件，95>50，
所以买彩色铅笔省钱．
18. （1） 设一次函数解析式为 y=kx+b，
将 1,1 与 −1,−3 代入得 k+b=1,−k+b=−3,
解得：k=2,b=−1,
则一次函数解析式为 y=2x−1；
（2） 如图所示，y 随着 x 的增大而增大．
19. 周长 =40；面积 =483．
20. △AED∽△ACB．
证明如下：
∵∠A=∠A，∠B=∠ADE，
∴△AED∽△ACB．
21. 在 △ABD 与 △ACB 中，∠ABD=∠C，∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB．
∴ABAC=ADAB．
又 AB=6，AD=4，
∴6AC=46．
解得 AC=9．
∴CD=AC−AD=9−4=5．
22. （1） 当 0≤x≤15 时，
设 y=kxk≠0，则 20=15k，
∴k=43，
∴y=43x．
当 15≤x≤60 时，设 y=kʹx+bkʹ≠0，
则 20=15kʹ+b,170=60kʹ+b, 解得 kʹ=103,b=−30.
∴y=103x−30．
∴y=43x,0≤x≤15103x−30,15 （2） 当 y=80 时，80=103x−30，
解得 x=33．
33−15=18（天）．
∴ 这种瓜苗移至大棚后，继续生长大约 18 天，开始开花结果．
23. ① AD∥CE，AE∥CD⇒ 四边形 AECD 为平行四边形．
② AC 平分 ∠BAD，AD∥CE⇒AE=CE．
由①②得，四边形 AECD 是菱形．
③由 ∠ACE=∠EAC，∠ECB=∠B 和 △ABC 内角和 180∘⇒△ABC 是直角三角形．
④由菱形 AECD 和 E 为中点 ⇒S△AEC=S△ACD=S△BEC=3．
∴ 四边形 ABCD 的面积为 9．
24. （1） 14 ； 0.08 ； 4．
（2） 频数分布直方图、折线图如图：
（3） 1000×4÷50=80 （人）．
25. （1） 将 B−1,−3 代入 y=mx 得，m=3，
∴ 反比例函数的关系式为 y=3x；
把 A−3,n 代入 y=3x 得，n=−1，
∴ 点 A−3,−1；
把点 A−3,−1，B−1,−3 代入一次函数 y=kx+b 得，
−3k+b=−1,−k+b=−3, 解得 k=−1,b=−4,
∴ 一次函数的关系式为 y=−x−4．
（2） 如图，过点 B 作 BM⊥OP，垂足为 M，
由题意可知，OM=1，BM=3，AC=1，
MC=OC−OM=3−1=2，
S四边形ABOC=S△BOM+S梯形ACMB=12×1×3+12×1+3×2=112.
26. 令 OE=a，AO=b，CB=x，
则由 △GDC∽△EOC，得 GDEO=CDOC，
即 1.6a=2.1−x2+b，
整理，得 3.2+1.6b=2.1a−ax, ⋯⋯①
由 △FBA∽△EOA，得 FBEO=ABOA，
即 1.6a=2−xb，
整理，得 1.6b=2a−ax, ⋯⋯②
将②代入①，得
3.2+2a−ax=2.1a−ax，
∴a=32，即 OE=32．
故楼的高度 OE 为 32 m．
27. （1） x≠2；
（2） 3；
（3） 如图所示：
（4） 可以从对称性、增减性、最值、连续性、与坐标轴交点、图象所在象限等方面作答．
28. BC；BC；BCBBʹ+CCʹ；116
29. （1） 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．
（2） 如图，
此时共有 2 个“友好矩形”，矩形 BCAD 和矩形 ABEF．
易知矩形 BCAD 和矩形 ABEF 的面积都等于 △ABC 面积的 2 倍，
∴△ABC 的“友好矩形”的面积相等．
（3） 如图，
此时共有 3 个“友好矩形”，矩形 BCDE 、矩形 CAFG 及矩形 ABHK，其中矩形 ABHK 的周长最小．
证明：易知这三个矩形的面积相等，令其为 S，
设矩形 BCDE 、矩形 CAFG 及矩形 ABHK 的周长分别为 L1，L2，L3，△ABC 中 BC=a，CA=b，AB=c，
则 L1=2Sa+2a，L2=2Sb+2b，L3=2Sc+2c，
∴L1−L2=2Sa+2a−2Sb+2b=−2Saba−b+2a−b=2a−bab−Sab，易知 ab>S，且 a>b，
∴L1−L2>0，即 L1>L2，同理可得，L2>L3，
∴L3 最小，即矩形 ABHK 的周长最小．