2022届高考大一轮复习知识点精练：反函数

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：反函数，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 已知 fx=x5−a 且 f−1=0，则 f−11 的值是
A. 0B. 1C. −1D. 52

2. 已知函数 fx 与 gx=axa>0,且a≠1 互为反函数，且函数 gx 的图象过点 −2,4，则 f1+f2=
A. −1B. 0C. 1D. 14

3. 设 fx=3x+9，则 f−1x 的定义域是
A. 0,+∞B. 9,+∞C. 10,+∞D. −∞,+∞

4. 若函数 y=fx 的图象与 y=2x 的图象关于 y 轴对称，y=f−1x 为 y=fx 的反函数，则 y=f−1x2−2x 的单调增区间是
A. 1,+∞B. 2,+∞C. −∞,1D. −∞,0

5. 若定义在 R 上的奇函数 y=fx 存在反函数 y=f−1x，则下列所给的点中一定在函数 y=f−1x+1 的图象上的是
A. −ft−1,−tB. −ft+1,−t
C. −ft−1,−tD. −ft+1,−t

6. 已知函数 y=1−x2 在 D 上的反函数是它本身，则 D 可以是
A. −1,1B. 0,1C. 0,22D. 22,1

7. 若函数 y=fx 是函数 y=ax（a>0 且 a≠1）的反函数，其图象经过点 a,a，则 fx=
A. lg2xB. lg12xC. 12xD. x2

8. 若函数 y=fx 是函数 y=ax（a>0，且 a≠1）的反函数，且 f2=1，则 fx=
A. lg2xB. 12xC. lg12xD. 2x−2

9. 已知函数 y=fxx∈R 的反函数是 y=f−1xx∈R，则函数 y=f−1x−1x∈R 的反函数是
A. y=fx+1x∈RB. y=fx−1x∈R
C. y=fx+1x∈RD. y=fx−1x∈R

10. 函数 y=12x2+1x>2 的反函数是
A. y=2x−21≤x<3B. y=2x−2x>3
C. y=−2x−21≤x<3D. y=−2x−2x>3

11. 下列关于函数 y=x∣x∣+4xx∈R 的反函数的结论，其中正确的是
A. 反函数为 y=x+4+2,x≥04−x−2,x<0
B. 反函数为 y=x+4−2,x≥02−4−x,x<0
C. 反函数为 y=x+4−2,x≥04−x+2,x<0
D. 无反函数

12. 设定义在 R 上的函数 y=fx 的反函数为 y=f−1x，若点 A−1,3 和点 B1,1 均在函数 fx 的图象上，则不等式 f−12x<1 的解集是
A. −1,1B. 1,3C. 0,lg23D. 1,lg23

13. 已知函数 y=b2a2x2−b2x≥a,a>0,b>0 与其反函数有交点，则下列结论中，正确的是
A. a=bB. aC. a>bD. a 与 b 的大小关系不确定

14. 下列函数中：（1）y=1+x2+2；（2）y=1x2−1；（3）y=3x−1+2；（4）y=x2−2x≥0,2xx<0, 存在反函数的函数个数为
A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个

15. 若定义在区间 −∞,1∪1,+∞ 上的函数 y=fx 满足 f1+x=f1−x，且 x∈1,+∞，fx=2x−3x−1，则下列结论中，错误的是
A. 存在 t∈R，使 fx≥2 在区间 t−12,t+12 上恒成立
B. 存在 t∈R，使 0≤fx≤2 在区间 t−12,t+12 上恒成立
C. 存在 t∈R，使 fx 在区间 t−12,t+12 上始终存在反函数
D. 存在 t∈R+，使 fx 在区间 t−12,t+12 上始终存在反函数

16. 函数 fx=lg21+1x（x>0）的反函数 f−1x=
A. 12x−1x>0B. 12x−1x≠0
C. 2x−1x∈RD. 2x−1x>0

17. 设函数 y=fx 的定义域是 R，对于下列四个命题：
（1）若函数 y=fx 是奇函数，则函数 y=ffx 是奇函数；
（2）若函数 y=fx 是周期函数，则函数 y=ffx 是周期函数；
（3）若函数 y=fx 是单调减函数，则函数 y=ffx 是单调减函数；
（4）若函数 y=fx 存在反函数 y=f−1x，且函数 y=fx−f−1x 有零点，则函数 y=fx−x 也有零点；
其中正确的命题共有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

18. 已知函数 gx=fx+x2 是奇函数，当 x>0 时，函数 fx 的图象与函数 y=lg2x 的图象关于 y=x 对称，则 g−1+g−2=
A. −7B. −9C. −11D. −13

19. 已知函数 fx=3x，函数 gx 是 fx 的反函数，若正数 x1，x2，⋯，x2018，x2019 满足 x1⋅x2⋯x2018⋅x2019=243，则 gx12+gx22+⋯+gx20172+gx20182+gx20192 的值等于
A. 4B. 8C. 10D. 32

20. 函数 y=ax（a>0，且 a≠1）的反函数的图象过点 a,a，则 a 的值为
A. 2B. 12C. 2 或 12D. 3

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知函数 fx 图象与函数 gx=2x 的图象关于 y=x 对称，则 f3= ．

22. 函数 y=2x 的反函数是 ．

23. 函数 fx=lg22x+4 的反函数为 y=f−1x，则 f−14= ．

24. 设函数 fx=1x+1 的反函数为 f−1x，则 f−12= ．

25. 函数 y=fxx<0 的反函数为 y=f−1x，且函数 gx=fx,x<0lg2x+1,x≥0 是奇函数，则不等式 f−1x≥−2 的解集为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 设函数 gx 的图象与 fx=2x+14x+3x∈R,且x≠−34 的图象关于直线 y=x 对称，求 g2 的值．

27. 求出下列函数的反函数．
（1）y=lg16x；
（2）y=1ex；
（3）y=πx；
（4）y=x2,−1≤x<0x2−1,0≤x≤1．

28. 设 fx=a+2x1−2x，其中常数 a∈R．
（1）设 a=0，D=1,+∞，求函数 y=fxx∈D 的反函数；
（2）求证：当且仅当 a=1 时，函数 y=fx 为奇函数．

29. 已知函数 fx=a⋅2x+a2−22x−1（x∈R，x≠0），其中 a 为常数，且 a<0．
（1）若 fx 是奇函数，求 a 的取值集合 A；
（2）当 a=−1 时，设 fx 的反函数为 f−1x，且 y=gx 的图象与 y=f−1x+1 的图象关于 y=x 对称，求 g1 的取值集合 B．

30. 已知非空集合 A 由一些函数组成，同时满足如下三条性质：
①对任意 fx∈A，y=fx 均存在反函数 y=f−1x，且 f−1x∈A；
②对任意 fx∈A，方程 fx=x 均有解；
③对任意 fx,gx∈A，若函数 y=gx 为定义在 R 上的一次函数，则 fgx∈A．
（1）若 fx=12x，gx=2x−3 均在集合 A 中，求证：函数 y=lg122x−3∈A；
（2）若函数 y=x2+ax+1x≥1 在集合 A 中，求实数 a 的取值范围；
（3）若集合 A 中的函数均为定义在 R 上的一次函数，求证：存在实数 x0，使得对一切 fx∈A，均有 fx0=x0．

31. 已知 fx=a⋅2x−12x+1（a∈R），f0=0．
（1）求 a 的值，并判断 fx 的奇偶性；
（2）求 fx 的反函数；
（3）对任意的 k∈0,+∞，解不等式 f−1x>lg21+xk．
答案
第一部分
1. A【解析】因为 fx=x5−a，且 f−1=0，
所以 −1−a=0，
故 a=−1，
所以 fx=x5+1，
令 x5+1=1，
所以 x=0，
所以 f−11=0．
2. A【解析】由题意得 fx=lgaxa>0,且a≠1，
因为 gx 的图象过点 −2,4，
所以 4,−2 在函数 fx 的图象上，
即 −2=lga4，解得 a=12，
所以 fx=lg12x，
所以 f1+f2=lg121+lg122=0−1=−1．
3. B【解析】因为 fx=3x+9>9，
所以 f−1x 的定义域为 9,+∞．
4. D
5. C
6. B
7. B【解析】函数 y=ax（a>0 且 a≠1）的反函数是 fx=lgax，
由 a=lgaa=12，得 fx=lg12x．
8. A【解析】函数 y=ax（a>0，且 a≠1）的反函数是 fx=lgax（a>0，且 a≠1），又 f2=1，即 lga2=1，所以 a=2，故 fx=lg2x．
9. A
10. B
11. B
12. C
13. B
14. B
15. A
16. A【解析】由 y=lg21+1x 得 x=12y−1，所以原函数的反函数为 y=12x−1．又由原函数的定义域可得原函数中 y>0，故反函数中 x>0．故选A．
17. B
18. C【解析】因为当 x>0 时，fx 的图象与函数 y=lg2x 的图象关于 y=x 对称，
所以当 x>0 时，fx=2x，
所以当 x>0 时，gx=2x+x2．
又 gx 是奇函数，
所以 g−1+g−2=−g1+g2=−2+1+4+4=−11．
19. C【解析】因为函数 fx=3x，函数 gx 是 fx 的反函数，
所以 gx=lg3x，
所以
gx12+gx22+⋯+gx20172+gx20182+gx20192=lg3x1⋅x2⋯x2018⋅x20192=2lg3x1⋅x2⋯x2018⋅x2019=2lg3243=2lg335=10.
20. B
第二部分
21. lg23
22. y=lg2x
23. 6
24. −12
25. −lg23,0
第三部分
26. 因为 gx 的图象与 fx=2x+14x+3 的图象关于直线 y=x 对称，
所以 gx 与 fx 互为反函数，由 2x+14x+3=2，解得 x=−56，
所以 g2=−56．
27. （1） 对数函数 y=lg16x 的底数为 16，
所以它的反函数是指数函数 y=16x．
（2） 指数函数 y=1ex 的反函数是对数函数 y=lg1ex．
（3） 指数函数 y=πx 的反函数为对数函数 y=lgπx．
（4） ①当 x∈−1,0 时，y∈0,1，此时 x=−y，得原函数的反函数是 y=−x，x∈0,1；
②当 x∈0,1 时，y=x2−1，y∈−1,0，x=y+1，得原函数的反函数是 y=x+1，x∈−1,0，
所以函数 y=x2,−1≤x<0x2−1,0≤x≤1 的反函数为 y=−x,x∈0,1x+1,x∈−1,0．
28. （1） 由已知，设 y=2x1−2x，得 x=lg2yy+1．
又 y=2x1−2x=−1+11−2x，所以，函数 y=fxx∈D 单调递增．
故，f−1x=lg2xx+1，x∈−2,+∞；
（2） i）函数 fx=a+2x1−2x 的定义域为 −∞,0∪0,+∞．
若 a=1，fx=1+2x1−2x，对于任意的 x∈−∞,0∪0,+∞，有
f−x=1+2−x1−2−x=−1+2x1−2x=−fx．
所以，y=fx 是奇函数．
ii）方法 1：由 y=fx 是奇函数，有 f−1=−f1，解得 a=1．
方法 2：若 a≠1，则 f−1=a+2−11−2−1=2a+1，f1=a+21−2=−a−2，
f−1≠−f1（否则 a=1），fx 不是奇函数．
方法 3：若 fx 为奇函数，则，对于任意的 x∈−∞,0∪0,+∞，有
f−x=−fx，即，a+2−x1−2−x=−a+2x1−2x．
即 a−12x−1=0．
所以 a=1．
29. （1） 由于函数 y=fx 为奇函数，且定义域为 xx≠0，则 f−1=−f1．
因为 f1=2a+a2−22−1=a2+2a−2，
f−1=12a+a2−212−1=−2a2−a+4，
所以 −2a2−a+4=−a2−2a+2，
整理得 a2−a−2=0，解得 a=−1 或 a=2．
因为 a<0，
所以 a=−1，
所以 fx=−2x−12x−1=−2x+12x−1，定义域为 xx≠0 关于原点对称，
f−x=−2−x+12−x−1=−2x2−x+12x2−x−1=−1+2x1−2x=2x+12x−1=−fx.
此时，函数 y=fx 为奇函数，合乎题意．
因此，A=−1．
（2） 当 a=−1 时，由 y=fx，得 y=1+2x1−2x，可得 y1−2x=1+2x，得 2x=y−1y+1，
所以 x=lg2y−1y+1，
所以，f−1x=lg2x−1x+1．
由于 y=gx 的图象与 y=f−1x+1 的图象关于 y=x 对称，则 g1 为方程 f−1x+1=1 的实数解，解方程 f−1x+1=1，即 lg2xx+2=1，
变形得 xx+2=2，解得 x=−4，即 g1=−4．
因此，B=−4．
30. （1） 由 fx=12x∈A，
根据性质①，可得 f−1x=lg12x∈A．
由 gx=2x−3∈A，且为一次函数，
根据性质③可得：hx=lg122x−3=f−1gx∈A．
（2） 由性质②，方程 x2+ax+1=xx≥1，
即 a=x，在 x∈1,+∞ 上有解，
所以 a≥1．
因为 fx=x2+ax+1=x2−1+a+1x+1=x+1+a+1x+1−2x∈1,+∞．
若 a+1>2，即 a>3 时，此时 a−12>1，且 f1=fa−12，
所以此时 y=fx 没有反函数，即不满足性质①．
若 a+1≤2，即 1≤a≤3 时，函数 y=fx 在区间 1,+∞ 上是严格增函数，
所以函数 y=fx 有反函数，即满足性质①．
综上所述，a 的取值范围是 1,3．
（3） 任取 f1x=ax+b，f2x=cx+d∈A，
由性质①，a≠0 且 c≠0，不妨设 a≠1 且 c≠1（若 a=1，由性质②，b=0，所以 f1x=x；同理若 c=1，则 f2x=x）．
由性质③，函数 gx=f1f2x=acx+ad+b∈A，函数 hx=f2f1x=acx+bc+d∈A．
由性质①，h−1x=x−bc+dac∈A．
由性质③，h−1gx=acx+ad+b−bc+dac=x+ad+b−bc+dac∈A，
由性质②，方程 x+ad+b−bc+dac=x 有解，
所以 ad+b=bc+d，即 ba−1=dc−1．
由 f1x=x，可得 ax+b=x，x=−ba−1．
由 f2x=x，可得 cx+d=x，x=−dc−1．
由此可知：对于任意两个函数 f1x，f2x，存在相同的 x0 满足 f1x0=x0=f2x0．
所以，存在一个实数 x0，使得对一切 fx∈A，均有 fx0=x0．
31. （1） 由 f0=0，得 a=1，
所以 fx=2x−12x+1．
因为 fx+f−x=2x−12x+1+2−x−12−x+1=2x−12x+1+1−2x1+2x=0，
所以 f−x=−fx，即 fx 为奇函数．
（2） 因为 fx=y=2x−12x+1，对调 x，y，得 x=2y−12y+1，
所以 2y=1+x1−x（−1所以 f−1x=lg21+x1−x（−1 （3） 因为 f−1x>lg21+xk，即 lg21+x1−x>lg21+xk，
所以 1+x1−x>1+xk,−1所以 x>1−k,−1所以当 0当 k≥2 时，原不等式的解集为 x−1