2022届高考大一轮复习知识点精练：抽象函数

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：抽象函数，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 若函数 fx 的图象在 a,b 上是不间断的，且有 fafb>0，则函数 fx 在 a,b 上
A. 一定没有零点B. 至少有一个零点
C. 只有一个零点D. 零点情况不确定

2. 已知函数 fx 的定义域为 R．当 x<0 时，fx=x3−1；当 −1≤x≤1 时，f−x=−fx；当 x>12 时，fx+12=fx−12．则 f6=
A. −2B. −1C. 0D. 2

3. 定义在 R 上的函数 fx 满足 fx+y=fx+fy+2xyx,y∈R，f1=2，则 f−3=
A. 2B. 3C. 6D. 9

4. 设函数 f:R→R，满足 f0=1，且对任意 x,y∈R 都有 fxy+1=fxfy−fy−x+2，则 f2019 等于
A. 0B. 1C. 2019D. 2020

5. 定义在 R 上的函数 fx 满足 fx+y=fx+fy+2xyx,y∈R，f1=2，则 f−3 等于
A. 2B. 3C. 6D. 9

6. 已知函数 fx 满足 fab=fa+fb，且 f2=p，f3=q，那么 f12 等于
A. p+qB. 2p+qC. p+2qD. p2+q

7. 已知定义域为 R 的函数 fx 满足 fa+b=fafba,b∈R 且 fx>0，若 f1=12，则 f2 等于
A. 2B. 4C. 12D. 14

8. 已知函数 fx 是定义在 R 上的奇函数，fx−4=fx，且 f1=1，则 f2019+f2020=
A. −1B. 0C. 1D. 2

9. 已知两个函数 fx 和 gx 的定义域和值域都是集合 1,2,3，其定义如下表：
x123fx231x123gx321
则方程 gfx=x 的解集是
A. 3B. 2C. 1D. ∅

10. 已知函数 y=fx 在区间 −∞,0 内单调递增，且 f−x=fx，若 a=flg123，b=f2−1.2，c=f12，则 a，b，c 的大小关系为
A. a>c>bB. b>c>aC. b>a>cD. a>b>c

11. 设函数 fx 和 gx 的定义域为 D，若存在非零实数 c∈D，使得 fc+gc=0，则称函数 fx 和 gx 在 D 上具有性质 P．现有三组函数：
① fx=x，gx=x2；
② fx=2−x，gx=−ex；
③ fx=−x2，gx=2x．
其中具有性质 P 的是
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③

12. 若 fx 是 R 上的奇函数，且 fx 在 0,+∞ 上单调递增，则下列结论：
① y=fx 是偶函数；
②对任意的 x∈R 都有 f−x+fx=0；
③ y=f−x 在 −∞,0 上单调递增；
④ y=fxf−x 在 −∞,0 上单调递增．
其中正确结论的个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4

13. 已知函数 fx 与 gx 满足 fx+2=f2−x，gx+1=gx−1，且 fx 在区间 2,+∞ 上为减函数，令 hx=fx⋅gx，则下列不等式正确的是
A. h−2≥h4B. h−2≤h4
C. h0>h4D. h0
14. 已知函数 fx 满足：fx≥∣x∣ 且 fx≥2x，x∈R
A. 若 fa≤∣b∣，则 a≤bB. 若 fa≤2b，则 a≤b
C. 若 fa≥∣b∣，则 a≥bD. 若 fa≥2b，则 a≥b

15. 已知定义在 R 上的函数 fx 满足 fx+6=fx，y=fx+3 为偶函数，若 fx 在 0,3 内单调递减，则下面结论正确的是
A. f10C. fln2
16. 已知 fx=2x−1，gx=1−x2．规定：当 ∣fx∣≥gx 时，hx=∣fx∣；当 ∣fx∣A. 有最小值 −1，最大值 1B. 有最大值 1，无最小值
C. 有最小值 −1，无最大值D. 有最大值 −1，无最小值

17. 已知函数 y=fx 是 R 上的偶函数，对任意 x1,x2∈−∞,0，且 x1≠x2，都有 fx1−fx2x1−x2<0 成立，若 a=flg32，b=fln2，c=f20.3，则 a，b，c 之间的大小关系
A. b
18. 已知奇函数 fx 在区间 2,3 上单调递增，则 fx 在区间 −3,−2 上
A. 单调递增，且最大值为 f−2B. 单调递增，且最大值为 f−3
C. 单调递减，且最大值为 f−2D. 单调递减，且最大值为 f−3

19. 设 fx 是定义域为 R 的偶函数，且在 0,+∞ 单调递减，则
A. flg314>f2−32>f2−23B. flg314>f2−23>f2−32
C. f2−32>f2−23>flg314D. f2−23>f2−32>flg314

20. 已知函数 fx 满足 fx+2=1+fx1−fxx∈R，f2=12，则 f2004 等于
A. 12B. 1C. 2D. 3

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知 y=fx+x2 是奇函数，且 f1=1，则 f−1= ．

22. 函数 fx 的定义域为 D ， 给出下列两个条件：
①对于 x1,x2∈D，当 x1≠x2 时，总有 fx1≠fx2；
②在定义域内不是单调函数．
请写出一个同时满足条件①②的函数 fx，则 fx= ．

23. 若函数 fx 满足对任意实数 a，b 都有 fa+b=fafb≠0，且 f1=1，则 f2f1+f3f2+f4f3+⋯+f321f320+f322f321= ．

24. 设函数 y=fx 对任意正实数 x，y 都有 fx⋅y=fx+fy，已知 f8=3，则 f2= ．

25. 已知函数 y=fx 在定义城 R 上是单调函数，值域为 −∞,0，满足 f−1=−13，且对于任意 x,y∈R，都有 fx+y=−fxfy．y=fx 的反函数为 y=f−1x，若将 y=kfx（其中常数 k>0）的反函数的图象向上平移 1 个单位，将得到函数 y=f−1x 的图象，则实数 k 的值为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 已知函数 fx 的定义域为 0,+∞，且对任意的正实数 x，y 都有 fxy=fx+fy，且当 x>1 时，fx>0，f4=1．
（1）求证：f1=0；
（2）求 f116；
（3）解不等式 fx+fx−3≤1．

27. 已知 fx 满足对任意 a,b∈R，有 fa⋅b=afb+bfa，且 fx≤1．求证：fx 恒为零．

28. 设函数 fx 对所有 x>0 均有定义，且满足下列三个条件：
（ⅰ）函数 fx 在 0,+∞ 上为减函数；
（ⅱ）对所有 x>0，均有 fx>1x；
（ⅲ）对所有 x>0，均有 fx⋅ffx+1x=1．试求函数值 f1．

29. 已知 y=fx 是定义在 −1,1 上的奇函数，在区间 0,1 上是减函数，且 f1−a+f1−a2<0，求实数 a 的取值范围．

30. 已知 fx 是定义在 0,+∞ 上的增函数，且满足 fxy=fx+fy，f2=1．
（1）求证：f8=3；
（2）求不等式 fx−fx−2>3 的解集．

31. 我们知道，函数 2x 满足：21=2，2x×2y=2x+y（x∈R，y∈R）．现以函数 2x 为模型，则可以构造函数 gx，满足：g1=2，gxgy=gx+y（x∈R，y∈R）．同理，对于函数 lg2x 满足 lg21=0，lg2xy=lg2x+lg2y（x，y 为正实数），则以函数 lg2x 为模型可以构造函数 fx．
（1）类比于 gx 写出 fx 所满足的条件；
（2）对于函数 fx，求证：对于任意正实数 x，y 都有 fxy=fx−fy；
（3）若当 x>1 时，fx>0，f4=2，
（i）求使函数 hx=fax−1 在 1,+∞ 为增函数的实数 a 的取值范围；
（ii）设 Fx=fx2+1fx2,−1F−x+5．
答案
第一部分
1. D【解析】如图所示，
满足题目条件的函数图象与 x 轴的交点情况是不确定的．
2. D【解析】由题意可知，当 −1≤x≤1 时，fx 为奇函数，且当 x>12 时，fx+1=fx，
所以 f6=f5×1+1=f1，
而 f1=−f−1=−−13−1=2，
所以 f6=2．
3. C【解析】由 f1=f1+0=f1+f0+2×1×0=f1+f0，得 f0=0．
又 f0=f−1+1=f−1+f1+2×−1×1=f−1+2−2=f−1，得 f−1=0．
f−2=f−1−1=2f−1+2×−12=2×0+2=2，
f−3=f−2−1=f−2+f−1+2×−2×−1=2+0+4=6．
4. D【解析】fxy+1=fxfy−fy−x+2，f0=1，
取 x=0 得到 f1=f0fy−fy+2=2，
取 y=0 得到 f1=fxf0−f0−x+2=2 得到 fx=x+1，
则 f2019=2020．
故选D．
5. C
【解析】令 y=1，则 fx+1=fx+f1+2x，
即 fx+1−fx=2x+1，
所以 f1=f0+2=f−1+0+2=f−2−2+0+2=f−3−4−2+0+2，
所以 f−3=f1+4=6．
6. B
7. D
8. A【解析】因为 fx 是奇函数，所以 f0=0，f−1=−f1=−1，
又 fx−4=fx，所以 fx 是周期函数，周期为 4．
所以 f2019+f2020=f−1+f0=−1+0=−1．
9. A
10. B
11. B【解析】fc+gc=0，即 fc=−gc，其中 c≠0，
①若 x=−x2，则 xx+1=0，
所以 x=−1 或 x=0（舍），故 c=−1 时成立；
②若 2−x=ex，则 12x=ex，即 2ex=1，此时 x=0（舍），
故不存在 c≠0 使 fc+gc=0；
③若 x2=2x，则 x=2 时即可，故 c=2 时成立．
故具有性质 P 的是①②．
12. B【解析】因为 fx 是 R 上的奇函数，且 fx 在 0,+∞ 上单调递增，
所以 y=fx 是偶函数，故①正确；
对任意的 x∈R，不一定有 f−x+fx=0，故②不正确；
y=f−x 在 −∞,0 上单调递减，故③不正确；
y=fxf−x=−fx2 在 −∞,0 上单调递增，故④正确．
13. B【解析】fx+2=f2−x⇒fx 关于 x=2 对称，fx 在区间 2,+∞ 上为减函数，
所以 fx 在区间 −∞,2 上为增函数，
而 gx+1=gx−1⇒ 函数 gx 的周期为 T=2，所以 h−2=f−2g−2=f6g4，h4=f4g4≥h−2，h0=h4，故选B.
14. B【解析】由题意得 fa≥∣a∣，所以A项中由不等式传递性可知 ∣a∣≤∣b∣，不能得到 a≤b，A错．因为 fa≥2a，所以B项中有 2a≤fa≤2b，所以 a≤b，故B正确．C，D选项无法确定．
15. A
【解析】因为 fx+6=fx，
所以 fx 的周期为 6，
又 y=fx+3 为偶函数，
所以 fx+3=f−x+3，
所以 f10=f4+6=f4=f1+3=f−1+3=f2，
又 1所以 0所以 f2即 f10故选：A．
16. C【解析】在同一直角坐标系中作出函数 y=∣fx∣ 和函数 y=gx 的图象，函数 y=gx 与函数 y=−gx 关于 x 轴对称，所以函数 hx 有最小值 −1，无最大值．
17. A
18. A【解析】因为奇函数 fx 在对称区间上的单调性相同，
所以 fx 在区间 −3,−2 上单调递增，
故 fx 在 x=−2 处取最大值．
19. C【解析】因为 fx 是定义域为 R 的偶函数，
所以 f−x=fx．
所以 flg314=f−lg34=flg34．
因为 lg34>lg33=1，且 1>2−23>2−32>0，
所以 lg34>2−23>2−32>0．
因为 fx 在 0,+∞ 上单调递减，
所以 f2−32>f2−23>flg34=flg314．
20. D
【解析】fx+4=fx+2+2=1+fx+21−fx+2=1+1+fx1−fx1−1+fx1−fx=1fx，
fx+8=fx+4+4=1fx+4=fx，
则 fx 是以 8 为周期的周期函数，
从而 f2004=f250×8+4=f2+2=1+f21−f2=3．
第二部分
21. −3
【解析】令 y=gx=fx+x2，因为 gx 是奇函数，所以 g−1=−g1，即 f−1+−12=−f1+12，又因为 f1=1，所以 f−1=−3．
22. 1x
23. 321
【解析】由 fa+b=fafb，令 b=1，得 fa+1=faf1．
又 f1=1，所以 fa+1=fa．
又 fa≠0，则 fa+1fa=1．
又 a 是任意实数，所以当 a 取 1，2，3，⋯，321 时，得 f2f1+f3f2+f4f3+⋯+f321f320+f322f321=1，
所以 f2f1+f3f2+f4f3+⋯+f321f320+f322f321=321．
24. 12
25. 3
第三部分
26. （1） 令 x=4，y=1，则 f4=f4×1=f4+f1，
所以 f1=0．
（2） f16=f4×4=f4+f4=2，f1=f116×16=f116+f16=0，
故 f116=−2．
（3） 设 x1,x2>0 且 x1>x2，于是 fx1x2>0，
所以 fx1=fx1x2⋅x2=fx1x2+fx2>fx2，
所以 fx 在 x∈0,+∞ 上为增函数，
又因为 fx+fx−3=fxx−3≤1=f4，
所以 x>0,x−3>0,xx−3≤4,
解得 3所以原不等式的解集为 x327. 先证 fx 为奇函数．
令 a=b=1，f1=2f1⇒f1=0；
令 a=b=−1，f1=−2f−1⇒f−1=0．
令 a=x，b=−1，f−x=xf−1−fx=−fx⇒fx 为奇函数．
再证，当 x∈0,+∞ 时，fx=0．
令 a=b=x，有 fx2=2xfx，fx3=3x2fx，⋯，fxn=nxn−1fx，n∈N*．
若 x>1，fxn=nxn−1fx．
若 fx≠0，则 fxn=nxn−1fx→+∞n→+∞，
这与 fx≤1 矛盾，故 x>1 时，fx≡0．
若 0因为 f1=xf1x+1xfx，而 f1=0，故 fx=−x2f1x．
而 1x>1，f1x=0（上面已证），所以 0故 x∈0,+∞ 时，fx≡0，再由 fx 为奇函数知 fx≡0．
28. 设 f1=a．
在条件（ⅲ）中令 x=1 得 a⋅fa+1=1，即 fa+1=1a，
在条件（ⅲ）中令 x=a+1 得 fa+1⋅ffa+1+1a+1=1，即 f1a+1a+1=a=f1，
因为 fx 为单调函数，
所以 1a+1a+1=1，
解得 a=1+52 或 a=1−52．
由条件（ⅱ）知，f1=a>1，
故 a=1+52，即 f1=1+52．
29. 030. （1） 由题意可得
f8=f4×2=f4+f2=f2×2+f2=3f2=3.
（2） 原不等式可化为 fx>fx−2+3=fx−2+f8=f8x−16，
因为 fx 是定义在 0,+∞ 上的增函数，
所以 8x−16>0,x>8x−16, 解得：x 231. （1） f1=0，fxy=fx+fy（x，y 为正实数）．
（2） 因为对于任意正实数 x，y 都有 fxy=fx+fy，
所以对于任意正实数 x，y 都有 fxyy=fxy+fy，
即 fx=fxy+fy，
所以 fxy=fx−fy．
（3） （i）设 x1>x2>0，
由（2）知，fx1−fx2=fx1x2，
因为当 x>1 时，fx>0，而 x1x2>1，
所以 fx1x2>0．
所以 fx1>fx2，fx 在 0,+∞ 上是增函数．
所以欲使函数 hx=fax−1 在 1,+∞ 为增函数，
则须 a>0，且对于 x∈1,+∞，ax−1>0，
所以 a−1>0，
综合得，a>1．
（ii）当 −1不等式 Fx>F−x+5 可化为 fx2+1fx2>−fx2−1fx2+5．
化简得 2fx22−5fx2+2fx2>0，
求得，fx2>2 或 0因为 f4=2，f1=0，
所以 f2+f2=f4=2，f2=1，f2+f2=f2=1，
所以 f2=12．
因为 fx2>f4 或 f1又因为 fx 在 0,+∞ 上是增函数，
所以 x2>4，或 1又 −1所以此时不等式无解．
当 0 −fx2−1fx2>fx2+1fx2+5，
解得 fx2<−2 或 −12因为 f14=f1−f4=0−2=−2，f12=f1−f2=0−12=−12，
所以 fx2由 fx 在 0,+∞ 上是增函数，得 0因为 0所以 0综上所述，不等式的解为 0