2022届高考大一轮复习知识点精练：二倍角公式与半角公式

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：二倍角公式与半角公式，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 下列函数中，周期为 π 且为偶函数的是
A. fx=tan2xB. fx=sinxcsx
C. fx=cs2x+π2D. fx=cs2x−sin2x

2. 已知 sinα−csα=54，则 sin2α=
A. −916B. −716C. 716D. 916

3. 已知 sinα−csα=54，则 sin2α=
A. −916B. −716C. 716D. 916

4. 已知 tanα=3,α∈0,π2，则 sin2α+csπ−α 的值为
A. 6−1010B. 6+1010C. 5−1010D. 5+1010

5. 若 sinπ−α=13，且 π2≤α≤π，则 sin2α 的值为
A. −429B. −229C. 229D. 429

6. 若 α 是第三象限角，csα=−13，则 tan2α 的值为
A. −427B. 427C. −43D. 43

7. 若 tanα=34 ，则 cs2α+2sin2α=
A. 6425B. 4825C. 1D. 1625

8. 已知 sin30−α=13+csα，则 sin2α+150=
A. −79B. −439C. 439D. 79

9. 若角 α 为第二象限角，且 cs2α=725，则 csα=
A. 35B. −35C. 45D. −45

10. 设 π2<θ<3π2，向量 a=1,csθ+sinθ，b=sinθ,csθ−sinθ，若 a⊥b，则 θ 等于
A. 4π3B. 5π4C. 7π6D. 5π6

11. 若 α∈0,π2，tan2α=csα2−sinα，则 tanα=
A. 1515B. 55C. 53D. 153

12. 已知 a∈R，则“a=1”是“函数 fx=cs2ax−sin2ax 的最小正周期为 π”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

13. 已知函数 fx=2sinωx⋅cs2ωx2−π4−sin2ωxω>0 在区间 −2π5,5π6 上是增函数，且在区间 0,π 上恰好取得一次最大值，则 ω 的取值范围是
A. 0,35B. 12,52C. 12,34D. 12,35

14. 已知 csx−π4=−135π4A. 42−79B. −42−79C. 4−729D. −4−729

15. 已知角 α 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A1,a，B2,b，且 cs2α=23，则 a−b=
A. 15B. 55C. 255D. 1

16. 化简 cs20∘1−cs40∘cs50∘ 的值为
A. 12B. 22C. 2D. 2

17. 函数 fx=1−2sin22x 是
A. 偶函数且最小正周期为 π2B. 奇函数且最小正周期为 π2
C. 偶函数且最小正周期为 πD. 奇函数且最小正周期为 π

18. 已知锐角 △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，23cs2A+cs2A=0，a=7，c=6，则 b=
A. 10B. 9C. 8D. 5

19. 已知 θ 是第二象限角，且满足 csθ2−sinθ2=1−2sinθ2csθ2，那么 θ2 是
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角

20. 设函数 fx=sin2x+bsinx+c，则 fx 的最小正周期
A. 与 b 有关，且与 c 有关B. 与 b 有关，但与 c 无关
C. 与 b 无关，且与 c 无关D. 与 b 无关，但与 c 有关

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 若 sinα=13，则 csπ−2α= ．

22. 已知 sin2π4+α=23，则 sin2α 的值是 ．

23. 已知角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，角 α 的终边与单位圆的交点坐标是 −35,45，则 sin2α= ．

24. 己知 fx=cs42ax−sin42ax 的最小正周期为 π，则常数 a 的值等于 ．

25. 如图，在水平地面上有两座直立的相距 60 m 的铁塔 AA1 和 BB1．已知从塔 AA1 的底部看塔 BB1 顶部的仰角是从塔 BB1 的底部看塔 AA1 顶部的仰角的 2 倍，从两塔底部连线中点 C 分别看两塔顶部的仰角互为余角．则从塔 BB1 的底部看塔 AA1 顶部的仰角的正切值为 ；塔 BB1 的高为 m．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 在 △ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知 a=22，b=5，c=13．
（1）求角 C 的大小；
（2）求 sinA 的值；
（3）求 sin2A+π4 的值．

27. 证明下列恒等式：
（1）1+sin2α=sinα+csα2；
（2）cs4α−sin4α=cs2α；
（3）11−tanα−11+tanα=tan2α．

28. 已知 a，b，c 是 △ABC 中 ∠A，∠B，∠C 的对边，a=43，b=6，csA=−13．
（1）求 c；
（2）求 cs2B 的值．

29. 在 △ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，cs2C+22csC+2=0．
（1）求角 C 的大小；
（2）若 b=2a，△ABC 的面积为 22sinAsinB，求 sinA 及 c 的值．

30. 已知 △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 3acsB=bsinA．
（1）求角 B 的值；
（2）若 csA=23，求 sin2A−B 的值；
（3）若 b=2，c=2a，求 a 的值．

31. 已知函数 fx=2sin2x+sin2x+π6．
（1）求函数 fx 的最小正周期和值域；
（2）设 A，B，C 为 △ABC 的三个内角，若 csB=13，fA=2，求 sinC 的值．
答案
第一部分
1. D
2. A
3. A
4. A
5. A
【解析】因为 sinπ−α=13，
所以 sinα=13，
又因为 π2≤α≤π，
所以 csα=−1−sin2α=−223，
所以
sin2α=2sinαcsα=2×13×−223=−429.
6. A【解析】α 是第三象限角，csα=−13，
所以 sinα=−1−cs2α=−223，tanα=sinαcsα=22，
所以 tan2α=2tanα1−tan2α=−427．
7. A【解析】法一：（通性通法）由 tanα=sinαcsα=34 ， cs2α+sin2α=1 ，得 sinα=35,csα=45 或 sinα=−35.csα=−45. 则 sin2α=2sinαcsα=2425 ，
则 cs2α+2sin2α=1625+4825=6425 ．
法二：（光速解法） cs2α+2sin2α=cs2α+4sinαcsαcs2α+sin2α=1+4tanα1+tan2α=1+31+916=6425 ．
8. D【解析】由 sin30∘−α=13+csα 可得 sin30∘⋅csα−cs30∘⋅sinα=13+csα，
所以 12csα−32sinα=13+csα，
所以 32sinα+12csα=−13=sinα+30∘，
所以
sin2α+150∘=sin90∘+2α+60∘=cs2α+60∘=1−2sin2α+30∘=79,
故选D．
9. D【解析】因为 cs2α=725，
所以 2cs2α−1=725，
可得 cs2α=1625，
因为角 α 为第二象限角，
所以 csα=−45或45（舍去）．
10. C
11. A【解析】因为 tan2α=csα2−sinα，
所以 tan2α=sin2αcs2α=2sinαcsα1−2sin2α=csα2−sinα，
因为 α∈0,π2，所以 csα≠0，所以 2sinα1−2sin2α=12−sinα，解得 sinα=14，
所以 csα=1−sin2α=154，所以 tanα=sinαcsα=1515．
12. A【解析】函数 fx=cs2ax−sin2ax=cs2ax．
因为函数 fx=cs2ax 的最小正周期 T=2π∣2a∣=π，
所以 a=±1．
当 a=1 时，函数 fx=cs2x−sin2x=cs2x，所以函数的最小正周期为 T=2π2=π．
因此，“a=1”是“函数 fx=cs2ax−sin2ax 的最小正周期为 π”的充分不必要条件．
13. D【解析】fx=2sinωx⋅cs2ωx2−π4−sin2ωx=sinωx⋅1+csωx−π2−sin2ωx=sinωx1+sinωx−sin2ωx=sinωx,
当 x∈−2π5,5π6 时，
因为 ω>0，
所以 −25πω≤ωx≤56πω，
因为 fx 在 −2π5,5π6 上为增函数，
所以 56πω≤π2,−25πω≥−π2,
所以 0<ω≤35．
当 ωx=π2+2kπk∈Z，即 x=π2ω+2kπωk∈Z 时，fx 取得最大值，
又 fx 在区间 0,ω 上恰好取得一次最大值，
所以 π2ω≤π,π2ω+2πω>π, 解得 12≤ω<52．
综上得 12≤ω≤35．
14. A【解析】由 5π4可得 22csx+22sinx=−13. ⋯⋯①
得 sinx+π4=−13，且 x+π4∈3π2,2π，
所以 csx+π4=223，
即 22csx−22sinx=223. ⋯⋯②
由①②解得 sinx=−4−26，csx=4−26．
所以 sin2x=2sinxcsx=2×−4−26×4−26=−79．
cs2x=cs2x−sin2x=−429．
则 sin2x−cs2x=−79+429=42−79．
15. B
16. B【解析】由正余弦的二倍角公式，结合诱导公式化简可得
cs20∘1−cs40∘cs50∘=cs20∘2sin220∘cs50∘=2sin20∘cs20∘cs50∘=22sin40∘cs50∘=22sin40∘sin40∘=22.
17. A【解析】fx=1−2sin22x=cs4x，f−x=cs−4x=cs4x=fx，
即 fx 是偶函数，T=2π4=π2．
18. D【解析】由 23cs2A+cs2A=0，得 cs2A=125．
因为 A∈0,π2，所以 csA=15．
因为 csA=36+b2−4912b，所以 b=5 或 b=−135 （ 舍 ）．
19. C【解析】依题意，由 θ 是第二象限角得 kπ+π4<θ2又 csθ2−sinθ2=csθ2−sinθ22=csθ2−sinθ2，
因此 csθ2−sinθ2≥0，即 csθ2≥sinθ2，
所以 2kπ+5π4<θ2<2kπ+3π2k∈Z，
所以 θ2 是第三象限角．
20. B
【解析】fx=sin2x+bsinx+c=1−cs2x2+bsinx+c=−cs2x2+bsinx+c+12，
其中当 b=0 时，fx=−cs2x2+c+12，此时周期是 π；
当 b≠0 时，周期为 2π，而 c 不影响周期．
第二部分
21. −79
22. 13
【解析】因为 sin2π4+α=22csα+22sinα2=121+sin2α，
所以 121+sin2α=23，所以 sin2α=13．
23. −2425
24. ±12
【解析】因为 fx=cs42ax−sin42ax=cs22ax+sin22axcs22ax−sin22ax=cs4ax 的最小正周期为 2π∣4a∣=π，则常数 a=±12．
25. 13，45
【解析】设从塔 BB1 的底部看塔 AA1 顶部的仰角为 α，
则 AA1=60tanα m，BB1=60tan2α m，
因为从两塔底部连线中点 C 分别看两塔顶部的仰角互为余角，
所以 △A1AC∽△CBB1，
所以 AA130=30BB1，
所以 AA1⋅BB1=900，
所以 3600tanαtan2α=900 ，
所以 tanα=13，
所以 tan2α=34，
所以 BB1=60tan2α=45 m．
第三部分
26. （1） 在 △ABC 中，由余弦定理及 a=22，b=5，c=13，
得 csC=a2+b2−c22ab=22．
又因为 C∈0,π，
所以 C=π4．
（2） 在 △ABC 中，由正弦定理及 C=π4，a=22，c=13，
可得 sinA=asinCc=21313．
（3） 由 a可得 csA=1−sin2A=31313，
进而 sin2A=2sinAcsA=1213，
cs2A=2cs2A−1=513．
所以
sin2A+π4=sin2Acsπ4+cs2Asinπ4=1213×22+513×22=17226.
27. （1） 1+sin2α=sin2α+cs2α+2sinαcsα=sinα+csα2．
（2） cs4α−sin4α=cs2α+sin2αcs2α−sin2α=cs2α−sin2α=cs2α．
（3） 11−tanα−11+tanα=1+tanα−1−tanα1−tanα1+tanα=2tanα1−tan2α=tan2α．
28. （1） 在 △ABC 中，由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccsA，
即 48=36+c2−2×c×6×−13，
整理，得 c2+4c−12=0，
解得 c=2．
（2） 在 △ABC 中，由余弦定理得，csB=a2+c2−b22ac，
得 csB=33，
cs2B=2cs2B−1=−13．
29. （1） 因为 cs2C+22csC+2=0，
所以 2cs2C+22csC+1=0，
即 2csC+12=0，
所以 csC=−22，
因为 0<∠C<π，
所以 ∠C=3π4．
（2） 因为 c2=a2+b2−2abcsC=3a2+2a2=5a2，
所以 c=5a，
所以 sinC=5sinA，
所以 sinA=15sinC=1010，
因为 S△ABC=12absinC=22sinAsinB，
所以 12absinC=22sinAsinB，
所以 asinA⋅bsinB⋅sinC=csinC2sinC=2，
所以 c=2⋅sinC=1．
30. （1） 因为 3acsB=bsinA，
asinA=bsinB，
所以 3sinAcsB=sinBsinA，
因为 sinA≠0，
所以 tanB=3，
因为 B∈0,π，
所以 B=π3．
（2） 因为 csA=23，sin2A+cs2A=1，
所以 sinA=73，
所以 sin2A=2sinAcsA=2149，
所以 cs2A=2cs2A−1=−59，
所以 sin2A−B=sin2AcsB−cs2AsinB=214+5318．
（3） 因为 B=π3，b=2，c=2a，
代入 b2=a2+c2−2accsB，
解得 a=233．
31. （1） fx=1−cs2x+32sin2x+12cs2x=32sin2x−12cs2x+1=sin2x−π6+1.
所以 fx 的最小正周期 T=π，值域为 0,2．
（2） 由 fA=2 得 sin2A−π6=1．
因为 0因为在 △ABC 中，csB=13，所以 sinB=223，所以
sinC=sinπ−A+B=sinA+B=sinAcsB+csAsinB=32⋅13+12⋅223=3+226.