2022届高考大一轮复习知识点精练：利用导数研究函数的最值

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：利用导数研究函数的最值，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 如图所示，函数 fx 的导函数 fʹx 的图象是一条直线，则
A. 函数 fx 既没有最大值，也没有最小值
B. 函数 fx 有最大值，没有最小值
C. 函数 fx 没有最大值，有最小值
D. 函数 fx 既有最大值，也有最小值

2. 若函数 fx=x3−x2−x+2m 在区间 0,2 上的最大值是 4，则 m 的值为
A. 3B. 1C. 2D. −1

3. 函数 fx=x3−3x2+2 在区间 −1,1 上的最大值是
A. 4B. 2C. 0D. −2

4. 已知 M 和 m 分别是函数 fx 在 a,b 上的最大值和最小值，若 M=m，则 fʹx
A. 等于 0B. 小于 0C. 等于 1D. 不确定

5. 已知函数 fx=exx−ax,x∈0,+∞，当 x2>x1 时，不等式 fx1x2A. −∞,eB. −∞,eC. −∞,e2D. −∞,e2

6. 已知函数 fx=2lnx−12ax2+a−2x+a+1（a>0）的值域与函数 y=ffx 的值域相同，则 a 的取值范围为
A. 0,1B. 1,+∞C. 0,43D. 43,+∞

7. 已知函数 fx=lnxx2，若 fxA. m>eB. m>e2C. m>1D. m>e

8. 已知函数 fx=x3−3x+1，若 ∀x1∈a,b，∃x2∈a,b，使得 fx1=fx2，且 x1≠x2，则 b−a 的最大值为
A. 2B. 3C. 4D. 6

9. 函数 y=xex 在区间 0,2 上的最大值是
A. 13eB. 12eC. 1eD. e

10. 已知函数 fx=csxsin2x，则下列结论错误的是
A. 函数 fx 的图象关于点 π,0 对称
B. 函数 fx 的图象关于直线 x=π2 对称
C. fx 的最大值为 32
D. fx 既是奇函数，又是周期函数

11. 已知函数 fx=lnxx2，若 fxA. m>eB. m>e2C. m>1D. m>e

12. 已知函数 fx=ex−x+a，若 fx>0 恒成立，则实数 a 的取值范围是
A. −1,+∞B. −∞,−1C. −1,+∞D. −∞,−1

13. 若实数 m 的取值使函数 fx 在定义域上有两个极值点，则称函数 fx 具有“凹凸趋向性”，已知 fʹx 是函数 fx 的导数，且 fʹx=mx−2lnx，当函数 fx 具有“凹凸趋向性”时，m 的取值范围是
A. −2e,+∞B. −2e,0C. −∞,−2eD. −2e,−1e

14. 若函数 fx=x3−3ax−a 在 0,1 内有最小值，则 a 的取值范围为
A. 0≤a<1B. 0
15. 已知 fx=−13x3+x 在区间 a,10−a2 上有最大值，则实数 a 的取值范围是
A. a<−1B. −2≤a<3C. −2≤a<1D. −3
16. 函数 y=exx 在 0,2 上的最小值是
A. e2B. e2eC. 2e3D. e

17. 如图所示，某几何体由底面半径和高均为 5 的圆柱与半径为 5 的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为
A. 2000π9B. 4000π27C. 81πD. 128π

18. 已知 e 是自然对数的底数，当 x∈1,+∞ 时，若关于 x 的不等式 x2≥eax 的解集非空，则实数 a 的取值范围为
A. 2e,+∞B. 3e,+∞C. −∞,2eD. −∞,3e

19. 已知函数 fx=13x3−ax2+ax+1a≤1 在 t1，t2t1≠t2 处的导数相等，则不等式 ft1+t2+m≥0 恒成立时，实数 m 的取值范围是
A. −1,+∞B. −∞,−1C. −∞,1D. −∞,43

20. 已知定义在 R 上的函数 fx 满足 f−x=fx，且对任意的不相等的实数 x1,x2∈0,+∞，有 fx1−fx2x1−x2<0 恒成立，若关于 x 的不等式 f2mx−lnx−3≥2f3−f−2mx+lnx+3 在 x∈1,3 上恒成立，则实数 m 的取值范围是
A. 12e,1+ln66B. 12e,1+ln36C. 1e,2+ln33D. 1e,2+ln63

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知函数 fx=x−1x+alnx，存在 m，n，使得 fʹm=fʹn=0，且 m∈0,1e，则 fm−fn 的最小值为 ．

22. 函数 fx=4xx2+1x∈−2,2 的最大值是 ，最小值是 ．

23. 已知函数 fx=2lnx−12ax2+a−2x+a+1a>0 的值域与函数 y=ffx 的值域相同，则 a 的取值范围为 ．

24. 函数 y=15sinx+7⋅csx 的最大值是 ．

25. 设函数 fx=x3−6x2+ax+b，若对任意的实数 a 和 b，总存在 x0∈0,3，使得 fx0≥m，则实数 m 的最大值为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 已知函数 fx=x3+ax2+bx+c 在 x=−23 与 x=1 时都取得极值．
（1）求 a，b 的值与函数 fx 的单调区间；
（2）若对 x∈−1,2，不等式 fx
27. 已知函数 fx=x3−ax+1 的图象在点 0,1 处的切线方程为 y=−3x+1．
（1）求实数 a 的值；
（2）求函数 fx 在区间 0,2 上的最大值与最小值．

28. ①函数 fx 的图象在点 2,f2 处的切线斜率为 2a；②函数 fx 的图象在点 1,f1 处的切线与直线 12x−y+1=0 垂直；③函数 fx 的图象在点 1,f1 处的切线与直线 4x−y=0 平行，在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中（填序号），并解答．
已知函数 fx=x2+2alnxa≠0．
（1）若 ，求实数 a 的值；
（2）若函数 gx=2x+fx 在 1,2 上是减函数，求实数 a 的取值范围．

29. 已知函数 fx=xe−x，求 x∈0,4 时的最小值、最大值．

30. 已知函数 fx=lnx+ax2+a+2x，a∈R．
（1）讨论 fx 的单调性；
（2）当 a<0，证明：fx≤−2a−2．

31. 已知 fx=ex+1ex，gx=lnx2−ax+3．
（1）判断函数 fx 在 0,+∞ 的单调性，并证明．
（2）对于任意 x1∈R，存在 x2∈e,4，使得 fx1≥gx2+2 成立，求 a 的取值范围．
答案
第一部分
1. C【解析】由题中图象可知，函数 fx 只有一个极小值点 1，即 fx 在 x=1 处取得最小值，没有最大值．
2. B【解析】易得 fʹx=3x2−2x−1，
令 fʹx=0，解得 x=−13（舍去）或 x=1．
又 f0=2m，f1=2m−1，f2=2m+2，
则 f2 最大，
所以 2m+2=4，
所以 m=1．
3. B【解析】令 fʹx=3x2−6x=0，解得 x=0 或 x=2．
又 f0=2，f2=−2，f−1=−2，f1=0，
所以函数 fx 的最大值为 2．
4. A【解析】因为 M=m, 所以 fx 为常数函数，故 fʹx=0，故选A．
5. D
【解析】因为 x∈0,+∞，x2>x1 时，fx1x2所以 x1fx1设函数 gx=xfx=ex−ax2，
易知 gx 在 x∈0,+∞ 时是单调递增函数．
则 gʹx=ex−2ax≥0 在 0,+∞ 上恒成立．
所以 2a≤exx．
令 mx=exxx>0，则 mʹx=x−1exx2，
当 x∈0,1 时，mʹx<0，此时 mx 单调递减，
当 x∈1,+∞ 时，mʹx>0，此时 mx 单调递增．
所以 mxmin=m1=e，
所以 2a≤e，
所以 a≤e2．
6. D【解析】因为 fx=2lnx−12ax2+a−2x+a+1（a>0），
所以 fʹx=2x−ax+a−2（x>0），
由于 a>0，故函数 fʹx 在 0,+∞ 上为减函数，
又 fʹ1=0，故当 x∈0,1 时，fʹx>0，
当 x∈1,+∞ 时，fʹx<0，
所以函数 fx 在 0,1 上单调递增，在 1,+∞ 上单调递减，
所以 fxmax=f1=−12a+a−2+a+1=32a−1，
且 x→+∞ 时，fx→−∞，x→0 时，fx→−∞，
故函数 fx 的值域为 −∞,32a−1，
作出函数 fx 的草图如图所示，
由图可知，要使函数 fx 的值域与函数 y=ffx 的值域相同，
则需 32a−1≥1，
解得 a≥43．
7. B【解析】若 fx即 fx+1x2令 gx=fx+1x2=lnx+1x2，
故只需 gxmax gʹx=1x⋅x2−lnx+1⋅2xx4=−2lnx−1x3，
令 gʹx=0，得 x=e−12，
当 00；
当 x>e−12 时，gʹx<0，
所以 gx 在 0,e−12 上单调递增，在 e−12,+∞ 上单调递减，
所以 gxmax=ge−12=e2，
所以实数 m 的取值范围是 m>e2．
8. C【解析】令 fʹx=3x2−3=0，解得 x=±1，
易得当 x∈−∞,−1∪1,+∞ 时，
fʹx>0，fx 在 −∞,−1，1,+∞ 上单调递增，
当 x∈−1,1 时，fʹx<0，fx 在 −1,1 上单调递减，且 f−1=3，f1=−1，作出函数 fx 的图象如图，
令 fx=3，解得 x=−1 或 x=2，
令 fx=−1，解得 x=1 或 x=−2，
由图象可知，b−a 的最大值为 2−−2=4．
9. C【解析】由 y=xex 得 yʹ=ex−xexe2x=1−xex．
当 0≤x<1 时，yʹ>0；当 1所以函数 y=xex 在 0,1 上单调递增，在 1,2 上单调递减，
所以当 x=1 时，函数取得最大值，为 1e．
10. C
【解析】对于A选项，只需证明 f2π−x+fx=0 即可，而 f2π−x+fx=cs2π−x⋅sin22π−x+csxsin2x=−csxsin2x+csxsin2x=0，故A中结论正确；
对于B选项只需证明 fπ−x=fx 即可，而 fπ−x=csπ−xsin2π−x=−csx⋅−sin2x=csxsin2x=fx，故B中结论正确；
对于C选项，fx=csxsin2x=csx⋅2sinxcsx=2sinxcs2x=2sinx1−sin2x=−2sin3x+2sinx，
令 t=sinx，t∈−1,1，y=−2t3+2t，求导得 yʹ=2−6t2，
令 yʹ>0，解得 −33对于D选项，fx 的定义域为 R，f−x=cs−xsin2−x=−csxsin2x=−fx，
故 fx 是奇函数，又 f2π+x=cs2π+x⋅sin22π+x=csxsin2x=fx，
所以函数 fx 是周期为 2π 的函数，故D中结论正确．
11. B【解析】若 fx即 fx+1x2令 gx=fx+1x2=lnx+1x2，
故只需 gxmax gʹx=1x⋅x2−lnx+1⋅2xx4=−2lnx−1x3，
令 gʹx=0，得 x=e−12，
当 00；
当 x>e−12 时，gʹx<0，
所以 gx 在 0,e−12 上单调递增，在 e−12,+∞ 上单调递减，
所以 gxmax=ge−12=e2，
所以实数 m 的取值范围是 m>e2．
12. A【解析】易得 fʹx=ex−1，
令 fʹx>0，解得 x>0，
令 fʹx<0，解得 x<0，
故 fx 在 −∞,0 上单调递减，在 0,+∞ 上单调递增，
故 fxmin=f0=1+a，
若 fx>0 恒成立，
则 1+a>0，解得 a>−1，故选A．
13. B【解析】易得 fʹx=mx−2lnx=m−2xlnxxx>0，
若函数 fx 具有“凹凸趋向性”，
则 m=2xlnx 在 0,+∞ 上有 2 个不同的实数根，
令 gx=2xlnx，则 gʹx=21+lnx，
令 gʹx>0，解得 x>1e，
令 gʹx<0，解得 0则 gx 在 0,1e 上单调递减，在 1e,+∞ 上单调递增，
故 gx 的极小值是 g1e=−2e，它也是最小值，
当 x 越趋近于 0 时，gx 也越趋近于 0，
故 m 的取值范围是 −2e14. B【解析】易得 fʹx=3x2−3a=3x2−a，x∈0,1．
①若 a≤0，可得 fʹx>0，则 fx 在 0,1 上单调递增，fx 无最小值，不符合题意．
②若 a>0，令 fʹx=0，解得 x=a，
当 x>a 时，fx 为增函数；当 0所以 fx 在 x=a 处取得极小值，也是最小值，由题意知极小值点在 0,1 内，
所以 0综上所述，a 的取值范围为 015. C
【解析】易得 fʹx=−x2+1，
令 fʹx=0，可得 x=±1，分析易得 x=1 是 fx=−13x3+x 的极大值点．
因为函数 fx=−13x3+x 在 a,10−a2 上有最大值，
所以其最大值必是区间 a,10−a2 上的极大值，
所以 a<1<10−a2,fa≤f1,
所以 a<1,−3解得 −2≤a<1．
16. D【解析】因为 y=exx，
所以 yʹ=exx−1x2，
令 yʹ=0，可得 x=1．
当 00．
所以，函数 y=exx 在 x=1 处取得极小值，也是最小值，即 ymin=e．
17. B【解析】设小圆柱体底面半径为 5csθ，
所以高为 5+5sinθ，θ∈0,π2，
小圆柱体积 V=π⋅5csθ25+5sinθ，
设 sinθ=t，t∈0,1，
则 V=125π−t3−t2+t+1，
Vʹ=125π−3t+1t+1，t=13 时，Vmax=4000π27．
18. C【解析】根据题意，对于 x2≥eax，变形可得 2lnx≥ax，x≥1，则有 a≤2lnxx，
设 gx=2lnxx，x∈1,+∞，
则 gʹx=2−2lnxx2，
在区间 1,e 上，gʹx>0，则 gx 在区间 1,e 上为增函数，
在区间 e,+∞ 上，gʹx<0，则 gx 在区间 1,e 上为减函数，
则 gx=gxmax=ge=2e，
若 a≤2lnxx 在 1,+∞ 上恒成立，必有 a≤2e，
即 a 的取值范围为 −∞,2e，
故选：C．
19. A【解析】由题意得 fʹx=x2−2ax+aa≤1，由已知得 t1，t2 为 x2−2ax+a=nn∈R 的两个不等实根，
所以 t1+t2=2a，
因为 ft1+t2+m≥0 恒成立，
所以 −m≤f2aa≤1 恒成立．
令 ga=f2a=−43a3+2a2+1a≤1，
则 gʹa=−4a2+4a=−4aa−1，
当 a∈−∞,0 时，gʹa<0,
当 a∈0,1 时，gʹa>0，
所以 ga 在 −∞,0 上单调递减，在 0,1 上单调递增，
所以 gamin=g0=1，
所以 −m≤1，
所以 m≥−1．
20. B
【解析】由题意可知 fx 为偶函数，且在 0,+∞ 上单调递减，
故 f2mx−lnx−3≥2f3−f−2mx+lnx+3，x∈1,3 恒成立可以转化为 f2mx−lnx−3≥f3，x∈1,3 恒成立，
即 ∣2mx−lnx−3∣≤3，x∈1,3 恒成立，
即 0≤2mx−lnx≤6，x∈1,3 恒成立，
即 2m≥lnxx 且 2m≤6+lnxx，x∈1,3 恒成立，
令 gx=lnxxx∈1,3，则 gʹx=1−lnxx2，当 x∈1,e 时，gʹx>0，当 x∈e,3 时，gʹx<0，则 gx 在 1,e 上单调递增，在 e,3 上单调递减，
所以 gxmax=ge=1e，
令 hx=6+lnxxx∈1,3，则 hʹx=−5−lnxx2<0，则 hx 在 1,3 上单调递减，
所以 hxmin=h3=6+ln33，
所以 2m≥1e,2m≤6+ln33, 解得 12e≤m≤1+ln36，故 m∈12e,1+ln36．
第二部分
21. 4e
【解析】易知 fx=x−1x+alnx 的定义域为 0,+∞，fʹx=1+1x2+ax=x2+ax+1x2．
令 fʹx=0，即 x2+ax+1=0，x∈0,+∞，
因为存在 m，n，使得 fʹm=fʹn=0，且 m∈0,1e，
所以 x2+ax+1=0 在 x∈0,+∞ 上有两个不相等的实数根 m，n，且 m+n=−a，m⋅n=1，
所以 n=1m，a=−m−1m，
所以
fm−fn=m−1m+−m−1mlnm−1m+m−−m−1mln1m=2−m−1mlnm−1m+m.
令 hx=2−x−1xlnx+x−1xx∈0,1e，
则 hʹx=21x2−1lnx=21−x1+xx2⋅lnx，
当 x∈0,1e 时，hʹx<0 恒成立，
所以 hx 在 x∈0,1e 上单调递减，
所以 hxmin=h1e=4e，
即 fm−fn 的最小值为 4e．
22. 2，−2
【解析】易得
fʹx=4x2+1−4x⋅2xx2+12=41−x2x2+12=41+x1−xx2+12,
令 fʹx=0，得 x1=−1，x2=1，
又 f−2=−85，f−1=−2，f1=2，f2=85，
所以 fxmax=2，fxmin=−2．
23. 43,+∞
【解析】因为 fx=2lnx−12ax2+a−2x+a+1a>0，
所以 fʹx=2x−ax+a−2x>0，
由于 a>0，故函数 fʹx 在 0,+∞ 上为减函数，
又 fʹ1=0，故当 x∈0,1 时，fʹx>0，当 x∈1,+∞ 时，fʹx<0，
所以函数 fx 在 0,1 上单调递增，在 1,+∞ 上单调递减，
所以 fxmax=f1=−12a+a−2+a+1=32a−1，且当 x→+∞ 时，fx→−∞，当 x→0 时，fx→−∞，
故函数 fx 的值域为 −∞,32a−1，
作出函数 fx 的草图如图所示，
由图可知，要使函数 fx 的值域与函数 y=ffx 的值域相同，则需 32a−1≥1，解得 a≥43．
24. 645
【解析】易得
yʹ=15cs2x−15sinx+7sinx=15cs2x−15sin2x−7sinx=−30sin2x−7sinx+15=−5sinx+36sinx+5,
令 yʹ=0，得 sinx=35 或 sinx=−56，
因为函数的定义域为 R，
所以若函数存在最大值，则最大值应在极大值处取到，
易知当 sinx=35 时，函数取得最大值，最大值为 645．
25. 2
【解析】记对任意的实数 a 和 b，函数 fx 在区间 0,3 上的最大值为 M，
则当 x∈0,3 时，M≥fx 恒成立，于是有 M≥f0,M≥f3,M≥f1, 即 M≥∣b∣,M≥∣3a+b−27∣,M≥∣a+b−5∣,
6M≥2∣b∣+∣3a+b−27∣+3∣a+b−5∣≥∣2b+3a+b−27−3a−3b+15∣=12，即有 M≥2．
且当 a=9，b=−2 时，fx=∣x3−6x2+9x−2∣，记 gx=x3−6x2+9x−2，
则 gʹx=3x−1x−3，gʹ1=gʹ3=0，g0=−2=g3，g1=2，gx 在区间 0,3 上的值域是 −2,2，
则 fx 在区间 0,3 上的值城是 0,2，
即 fx 在区间 0,3 上的最大值是 2，M 的最小值为 2．
因此，满足题意的实数 m≤2．m 的最大值是 2．
第三部分
26. （1） fx=x3+ax2+bx+c，fʹx=3x2+2ax+b，
由 fʹ−23=129−43a+b=0,fʹ1=3+2a+b=0, 解得 a=−12,b=−2.
fʹx=3x2−x−2=3x+2x−1，函数 fx 的单调区间如表：
x−∞,−23−23−23,111,+∞fʹx+0−0+fx↑极大值↓极小值↑
所以函数 fx 的递增区间是 −∞,−23 和 1,+∞，递减区间是 −23,1．
（2） fx=x3−12x2−2x+c，x∈−1,2，
当 x=−23 时，fx=2227+c 为极大值，而 f2=2+c，
所以 f2=2+c 为最大值．
要使 fxf2=2+c．
解得 c<−1 或 c>2．
27. （1） 因为函数 fx=x3−ax+1 的图象在点 0,1 处的切线方程为 y=−3x+1，
所以 fʹ0=−3，
又因为 fʹx=3x2−a，
所以 fʹ0=−a=−3，
所以 a=3．
（2） 由（1）知 fx=x3−3x+1，
则 fʹx=3x2−1，
令 fʹx=0，解得 x=±1．
当 x 变化时，fʹx，fx 的变化情况如表所示：
x0,111,2fʹx−0+fx↘极小值−1↗
因此，当 x=1 时，
fx 有极小值，也是最小值，为 f1=−1，
又 f0=1，f2=3，
所以函数 fx 在区间 0,2 上的最大值为 3，最小值为 −1．
28. （1）选择①．由已知得 fʹx=2x+2ax=2x2+2ax，
由题意得 fʹ2=2a，即 8+2a2=2a，解得 a=4．
选择②．由已知得 fʹx=2x+2ax=2x2+2ax，
直线 12x−y+1=0 的斜率为 12，
由题意得 fʹ1=−2，即 2+2a=−2，解得 a=−2．
选择③．由已知得 fʹx=2x+2ax=2x2+2ax，
直线 4x−y=0 的斜率为 4，
由题意得 fʹ1=4，即 2+2a=4，解得 a=1．
（2）依题意 gx=2x+x2+2alnxa≠0，
则 gʹx=−2x2+2x+2ax．
由函数 gx 在 1,2 上是减函数，得 gʹx≤0 在 1,2 上恒成立，
即 −2x2+2x+2ax≤0 在 1,2 上恒成立，即 a≤1x−x2 在 1,2 上恒成立．
令 hx=1x−x2，x∈1,2，则 hʹx=−1x2−2x，当 x∈1,2 时，hʹx<0，
因此 hx 在 1,2 上为减函数，
所以 hxmin=h2=−72，故 a≤−72，
所以实数 a 的取值范围为 −∞,−72．
29. 易得 fʹx=e−x−xe−x=1−xe−x，
令 fʹx=0，解得 x=1．
当 x∈0,1 时，fʹx>0；
当 x∈1,4 时，fʹx<0，
所以当 x=1 时，fx 取得极大值．
又 f0=0，f1=1e，f4=4e4，且 0<4e4<1e，
所以 fxmax=1e，fxmin=0．
30. （1） fx=lnx+ax2+a+2x，fʹx=1x+2ax+a+2=2ax2+a+2x+1xx>0．
当 a≥0 时，fʹx>0，fx 在 0,+∞ 上是单调增函数；
当 a<0 时，fʹx=2ax+1ax+12x，
当 x∈0,−1a 时，fʹx>0；当 x∈−1a,+∞ 时，fʹx<0，
所以 fx 在 0,−1a 上单调递增，在 −1a,+∞ 上单调递减．
综上，当 a≥0 时，fx 在 0,+∞ 上是单调增函数，
当 a<0 时，fx 在 0,−1a 上单调递增，在 −1a,+∞ 上单调递减．
（2） 由（Ⅰ）可得，当 a<0 时，fxmax=f−1a=ln−1a+1a−a+2a=ln−1a−1a−1．
由 fx≤−2a−2，得 ln−1a+1a+1≤0 恒成立，
令 t=−1a，gt=lnt−t+1t>0，则 gʹt=1t−1=1−tt，
当 t∈0,1 时，gʹt>0，gt 单调递增；
当 t∈1,+∞ 时，gʹt<0，gt 单调递减．
所以 gt 的最大值为 g1=0，故当 a<0，fx≤−2a−2．
31. （1） 函数 fx 在 0,+∞ 单调递增，证明如下：
任取 x1>x2≥0，则
fx1−fx2=ex1+1ex1−ex2+1ex2=ex1−ex2+ex2−ex1ex1+x2=ex1−ex21−1ex1+x2,
因为 x1>x2≥0，则 ex1−ex2>0，
又因为 ex1+x2>1，
所以 1−1ex1+x2>0，
所以 fx1−fx2>0，
故 fx 在 0,+∞ 上单调递增．
（2） 对于任意 x1∈R，存在 x2∈e,4，使得 fx1≥gx2+2 成立，
即存在 x2∈e,4，使得 gx2≤fx1−2min，
由（1）知，函数 fx 在 0,+∞ 递增，
故 x∈0,+∞ 时，fx−2min=f0−2=2−2=0，
故问题等价于存在 x∈e,4，使得 lnx2−ax+3≤0 成立，
故 x2−ax+3≤1，即 a≥x+2x，
令 hx=x+2x，x∈e,4，问题等价于 a≥hxmin，
由对勾函数的性质得：hx 在 e,4 单调递增，
故 hxmin=he=e+2e，
故 a≥e+2e．