2022届高考大一轮复习知识点精练：函数零点的概念与意义

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：函数零点的概念与意义，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 函数 y=1+1x 的零点是
A. −1,0B. −1C. 1D. 0

2. 函数 fx=x3−2x2−8x 在区间 −2,2 上
A. 有 3 个零点B. 有 2 个零点C. 有 1 个零点D. 没有零点

3. 若函数 fx 在定义域 x∣x∈R且x≠0 上是偶函数，且在 0,+∞ 上单调递减，f2=0，则函数 fx 的零点
A. 只有一个B. 只有两个C. 至少有两个D. 无法判断

4. 已知函数 fx=2x−1,x≤11+lg2x,x>1，则函数 fx 的零点为
A. 12，0B. −2，0C. 12D. 0

5. 二次函数 y=x2−1 的零点为
A. 1,0，−1,0B. 1，−1
C. 1D. −1

6. 函数 fx=2x2−3x+1 的零点是
A. −12，−1B. 12，1C. 12，−1D. −12，1

7. 已知函数 fx=lg2−x,x<0x3−3x+2,x≥0，若关于 x 的函数 y=f2x−bfx+1 有 8 个不同的零点，则实数 b 的取值范围是
A. 2,4B. 2,4C. 2,52D. 2,52

8. 已知函数 fx=∣lnx∣，gx=0,01，若关于 x 的方程 fx+m=gx 恰有三个不相等的实数解，则 m 的取值范围是
A. 0,ln2B. −2−ln2,0
C. −2−ln2,0D. 0,2+ln2

9. 已知函数 fx=2x−1,0≤x≤1fx−1+m,x>1 在定义域 0,+∞ 上单调递增，且对于任意 a≥0，方程 fx=a 有且只有一个实数解，则函数 gx=fx−x 在区间 0,2nn∈N* 上所有零点的和为
A. nn+12B. 22n−1+2n−1C. 1+2n22D. 2n−1

10. 已知函数 fx=−x2+3x−2,−3≤x≤1ln1x,1A. ln33,1eB. 0,12eC. 0,1eD. ln33,12e

11. 设 x 表示不超过 x 的最大整数，则函数 fx=2x−2x−1 的零点个数是
A. 1B. 2C. 3D. 无数个

12. 已知函数 fx=x+2,x>ax2+5x+2,x≤a，若函数 gx=fx−2x 恰有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是
A. −1,1B. −1,2C. −2,2D. 0,2

13. 定义在 R 上的奇函数 fx，当 x≥0 时，fx=lg12x+1,x∈0,11−∣x−3∣,x∈1,+∞，则关于 x 的函数 Fx=fx−a0A. 2a−1B. 2−a−1C. 1−2aD. 1−2−a

14. 若函数 fx=x+a−x2−2（a>0）没有零点，则 a 的取值范围是
A. 2,+∞B. 2,+∞
C. 0,1∪2,+∞D. 0,1∪2,+∞

15. 已知函数 fx=x∣x−2∣，x∈R，若方程 fx=a−∣x−1∣ 恰有 5 个互异的实数根，则实数 a 的取值范围是
A. 1,54B. 54,+∞C. 1,+∞D. −∞,54

16. 若 fx=x−1x，则函数 y=f4x−x 的零点是
A. 12B. −12C. 2D. −2

17. 设随机变量 X 服从二项分布 X∼B5,12，则函数 fx=x2+4x+X 存在零点的概率是
A. 56B. 45C. 3132D. 12

18. 已知函数 fx 满足对任意的 x∈R 都有 fx+2=fx，且当 −1≤x<1 时，fx=x3,x∉Zex,x∈Z，函数 gx=∣lgax∣,x>01x,x<0，若关于 x 的方程 fx=gx 在 −1,+∞ 恰有 5 个互异的实数解，则实数 a 的取值范围是
A. 7,9
B. 19,17∪7,9
C. 111,19∪9,11
D. 111,110∪110,19∪9,10∪10,11

19. 已知函数 fx=kx+1,x≤0lnx,x>0，则下列关于函数 y=ffx+1 的零点个数的判断正确的是
A. 当 k>0 时，有 3 个零点，当 k<0 时，有 2 个零点
B. 当 k>0 时，有 4 个零点，当 k<0 时，有 1 个零点
C. 无论 k 为何值，均有 2 个零点
D. 无论 k 为何值，均有 4 个零点

20. 已知 0A. 2B. 3C. 4D. 与 a 的值有关

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 设一元二次方程 x2−6x−3=0 的两个实根为 x1，x2，则 x12+x22= ．

22. 已知函数 fx=x2−ax−b 的两个零点是 2 和 3，则函数 gx=bx2−ax−1 的零点是 ．

23. 函数 fx=∣x+1∣−3,x≤0lnx,x>0，若直线 y=kx−1 与函数 y=fx 有 3 个公共点，则实数 k 的取值范围是 ．

24. 已知函数 fx=1x+1−3,x∈−1,03x,x∈0,1，且函数 gx=fx−mx−m 在 −1,1 内有且仅有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是 ．

25. 若 a，b 是函数 fx=x2−px+q（p>0，q>0）的两个不同的零点，且 a，b，−2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p+q 的值等于 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 求函数 fx=xx−2x−3 的零点，作出其图象的草图，并解不等式 fx>0．

27. 判断下列函数是否存在零点．如果存在，求出零点．
（1）fx=x2+4x−12x−2；
（2）fx=x3−x；
（3）fx=4x+5；
（4）fx=lg3x+1．

28. 已知函数 fx=2a⋅4x−2x−1．
（1）当 a=1 时，求函数 fx 的零点．
（2）若 fx 有零点，求实数 a 的取值范围．

29. 已知函数 fx=lg2x2+4lg2x+m，x∈18,4，m 为常数．
（1）若函数 fx 存在大于 1 的零点，求实数 m 的取值范围；
（2）设函数 fx 有两个互异的零点 α，β，求实数 m 的取值范围，并求 α⋅β 的值．

30. 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点．
（1）fx=−x2+2x−1；
（2）fx=x4−x2；
（3）fx=4x+5；
（4）fx=lg3x+1．

31. 已知函数 t=lg2x，fx=lg2x2−6lg2x+8．
（1）求函数 t=lg2x 在区间 1,32 上的最大值与最小值；
（2）求函数 fx 的零点；
（3）求函数 fx 在区间 1,32 上的值域．
答案
第一部分
1. B
2. B【解析】fx=x3−2x2−8x=xx2−2x−8=xx+2x−4，
令 fx=0，得 x=−2 或 x=0 或 x=4，
所以 fx 在 −2,2 上有 2 个零点．
3. B【解析】因为 fx 在 0,+∞ 上单调递减，f2=0，
所以 fx 在 0,+∞ 上有且仅有一个零点 2．
又 fx 是偶函数，
所以 fx 在 −∞,0 上有且仅有一个零点 −2．
故函数 fx 只有两个零点 −2 和 2．
4. D
5. B
【解析】令 y=x2−1=0，解得 x1=1，x2=−1．故函数 y=x2−1 的零点为 1，−1．
6. B【解析】方程 2x2−3x+1=0 的两根分别为 x1=1，x2=12，
所以函数 fx=2x2−3x+1 的零点是 12，1．
7. D【解析】令 gx=x3−3x+2，x≥0．g′x=3x+1x−1，
可得函数 gx 在 0,1 内单调递减．
在 1,+∞ 上单调递增，
画出函数 fx 的图象，f0=2．
由关于 x 的函数 y=f2x−bfx+1 有 8 个不同的零点，
则 Δ=b2−4>0，且 fx=b±b2−42，
直线 y=b+b2−42，y=b−b2−42 分别与 y=fx 的图象有四个交点，
所以 b2−4>0，2≥b+b2−42>b−b2−42>0，
解得：2所以 b 的取值范围是 2,52．
8. C【解析】解法一：关于 x 的方程 fx+m=gx 恰有三个不相等的实数解，
即方程 m=gx−fx 恰有三个不相等的实数解，
即 y=m 与 y=gx−fx 有三个不同的交点，
令 hx=gx−fx=lnx,0当 1当 x≥2 时，hʹx=2x−1x=2x2−1x>0，hx 单调递增；
且当 x→1 时，2−x2−lnx→1，
当 x→2 时，2−x2−lnx=−2−ln2，x2−lnx−6→−2−ln2，
当 x=3 时，x2−lnx−6=3−ln3>1，
据此绘制函数 hx 的图象如图所示，
结合函数图象可知，满足题意时 m 的取值范围是 −2−ln2,0．
解法二：由 x≥2 时，由 gʹ2>fʹ2 可知，fx+m 过点 2,−2 时为满足 3 个交点的 m 取值的下边界，
所以结合图象可知 m∈−2−ln2,0．
9. B【解析】因为函数 fx=2x−1,0≤x≤1fx−1+m,x>1 在定义域 0,+∞ 上单调递增，
所以 m≥1，
由对于任意 a≥0，方程 fx=a 有且只有一个实数解，
所以函数 fx=2x−1,0≤x≤1fx−1+m,x>1 在定义域 0,+∞ 上的图象连续，所以 m=1，
其图象如图，
函数 gx=fx−x 在区间 0,2nn∈N* 上所有零点分别为 0，1，2，3，⋯2n，
所以所有零点的和等于 2n1+2n2=2n−1+22n−1．
10. A
【解析】由于函数 gx=ax−∣fx∣ 有 3 个零点，则方程 ∣fx∣−ax=0 有三个根，
故函数 y=∣fx∣ 与 y=ax 的图象有三个交点．
由于函数 fx=−x2+3x−2,−3≤x≤1ln1x,1从图象可知，当直线 y=ax 位于图中两虚线之间时两函数有三个交点，
设图中切点 B 的坐标为 t,s，则斜率 k=a=lnxʹx=t=1t，
又 t,s 满足：s=at,s=lnt,
解得 t=e，
所以斜率 k=a=1t=1e，由题，设 A3,yA，代入 ∣fx∣ 求得 yA=ln3，
所以 A3,ln3，
所以斜率 k=ln3−03−0=ln33，且 A 点能取到．
所以 a 的取值范围为 ln33,1e．
11. C【解析】函数 fx=2x−2x−1 的零点的个数等价于方程 2x−2x−1=0 的解的个数，
又方程 2x−2x−1=0 的解的个数等价于函数 y=2x−1 与函数 y=2x 的图象交点的个数，
易得函数 y=2x−1 与函数 y=2x 的图象有 3 个交点，
它们分别为 0,0，lg23,2，lg25,4，
由此可知，函数 fx=2x−2x−1 的零点的个数是 3 个．
故选C．
12. B【解析】函数 fx=x+2,x>ax2+5x+2,x≤a，
由 x2+5x+2=2x，可得 x2+3x+2=0，
解得 x=−1，x=−2，y=x+2 与 y=2x 的交点为：2,4，
函数 y=fx 与 y=2x 的图象如图：
函数 gx=fx−2x 恰有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是：−1≤a<2．
13. C【解析】由题意，作函数 y=fx 与 y=a 的图象如下，
结合图象，
设函数 Fx=fx−a0则 x1+x2=−6，x4+x5=6，−lg0.5−x3+1=a，x3=1−2a，
故 x1+x2+x3+x4+x5=−6+6+1−2a=1−2a．
14. D【解析】令 fx=x+a−x2−2=0，
则 a−x2=2−x，
可理解为 y=a−x2,y=2−x 的两个函数图象无公共交点．
y=a−x2 表示以 0,0 为圆心，a 为半径的半圆．
易知 y=2−2 为偶函数，
可考虑 y=2−x（x>0），
当直线与半圆相切时，d=r=a=21+1=1，
因为没有交点，
所以 a<1，即 0而当 a=2 时，即 a=2 时恰好有 3 个交点，则当 a>2 时，即 a>2 时又无交点，
所以 a 的取值范围是 0,1∪2,+∞．
15. A
【解析】由 fx=a−∣x−1∣，则 x∣x−2∣=a−∣x−1∣．
则 x∣x−2∣+∣x−1∣=a．
令 hx=x∣x−2∣+∣x−1∣=−x2+x+1,x≤1−x2+3x−1,1作出 hx 的图象如下：
由图可知若 a=hx 有 5 个互异实根，即 y=a 与 y=hx 有五个交点，
则 116. A【解析】根据函数零点的概念，函数 y=f4x−x 的零点就是方程 f4x−x=0 的根，
解方程 f4x−x=0，即 4x−14x−x=0，得 x=12．
17. C【解析】因为函数 fx=x2+4x+X 存在零点，
所以 Δ=16−4X≥0，
所以 X≤4．
因为 X 服从 X∼B5,12，
所以 PX≤4=1−PX=5=1−125=3132．
18. D【解析】根据有 fx+2=fx，
可得 fx 的周期为 2．
当 −1≤x<1 时，fx=x3,x∉Zex,x∈Z，
作出 fx 的图象，
从图象不难看出，当 x<0 时，gx=1x 与 fx 无交点；
当 x≥0 时，gx=∣lgax∣，
①若 a>1，gx=lgax，将 x 轴下方翻折，要使 gx=1x 与 fx 恰有 5 个交点，
则 f9<1,f11≥1, 且 f10≠1，
解得 9②若 0则 f9>−1,f11≤−1, 且 f10≠−1，
解得 111≤a<19，且 a≠110；
综上，可得 a 的取值范围是 111,110∪110,19∪9,10∪10,11．
19. B【解析】分四种情况讨论．
（1）当 x>1 时，lnx>0，
所以 y=ffx+1=lnlnx+1，
此时的零点为 x=e1e>1，无论 k 为何值，都有一个零点．
（2）当 0所以 y=ffx+1=klnx+1+1，
则 k>0 时，有一个零点，k<0 时，klnx+2>0，没有零点；
（3）当 x<0，kx+1≤0 时，y=ffx+1=k2x+k+2，
则 k>0 时，kx≤−1，k2x≤−k，
可得 k2x+k≤0，有一个零点，
若 k<0 时，则 k2x+k≥0，没有零点；
（4）当 x<0，kx+1>0 时，y=ffx+1=lnkx+1+1，
则 k>0，即 y=0 可得 kx+1=1e，有一个零点，若 k<0 时 kx>0，没有零点．
综上可知，当 k>0 时，有 4 个零点；当 k<0 时，有 1 个零点．
20. A
【解析】设 y1=ax，y2=lgax，分别作出它们的图象如图所示．
由图可知，有两个交点，故方程 ax=lgax 有两个根．
第二部分
21. 42
【解析】设一元二次方程 x2−6x−3=0 的两个实根为 x1，x2，
则 x1+x2=6，x1x2=−3，
则 x12+x22=x1+x22−2x1x2=36+6=42，
即 x12+x22=42．
22. −12，−13
23. 0,1
【解析】作 fx 的图象如图：
直线 y=kx−1 过点 0,−1，
设过 0,−1 的直线与 y=lnx 相切，切点为 x0,y0，k=yʹx=x0=1x0，
所以 y−lnx0=1x0x−x0，代入 0,−1，
即 lnx0=0，解得 x0=1，即 k=1，
所以直线 y=kx−1 的斜率为 024. −94,−2∪0,32
【解析】函数 gx=fx−mx−m 在 −1,1 内有且仅有两个不同的零点，即函数 fx 与函数 y=mx+1 在 −1,1 内有且仅有两个不同的交点，y=mx+1 表示过点 −1,0，斜率为 m 的直线，绘制函数 fx 的图象如图所示，考查临界情况：
首先考查经过点 −1,0 且与 y=1x+1−3 相切的直线方程的斜率：设 y=mx+1 与 y=1x+1−3 的切点为 x0,y0，
则 yʹ=m=1−x0+12,y0=mx0+1=1x0+1−3, 所以 x0=−13,m=−94,
由 K−1,0，B0,−2 可得 kKB=−2−00−−1=−2，
由 K−1,0，C1,3 可得 kKC=3−01−−1=32，
结合图象可得实数 m 取值范围是 −94,−2∪0,32．
25. 9
【解析】由已知得 a+b=p，ab=q，
∵ p>0,q>0，∴ a>0,b>0．
又 a，b，−2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，
∴ 2b=a−2ab=4 ⋯⋯① 或 2a=b−2ab=4 ⋯⋯②
解①得 a=4b=1;
解②得 a=1b=4.
∴ p=a+b=5，q=1×4=4．
第三部分
26. 令 fx=0，即 x−2x−3=0，可得 x=0 或 x=2 或 x=3．
因此，所求函数的零点是 0，2．
27. （1） 令 fx=x2+4x−12x−2=0，得 x2+4x−12=0，且 x−2≠0，解得 x=−6．
所以函数 fx 存在零点，且零点为 −6．
（2） x3−x=xx2−1=xx−1x+1．
令 fx=xx−1x+1=0，解得 x=0 或 x=1 或 x=−1．
所以函数 fx 存在零点，且零点为 0，1，−1．
（3） 令 fx=4x+5=0，显然方程 4x+5=0 无实数根，
所以函数 fx 不存在零点．
（4） 令 fx=lg3x+1=0，解得 x=0．
所以函数 fx 存在零点，且零点为 0．
28. （1） 当 a=1 时，fx=2a⋅4x−2x−1，
令 fx=0，即 2×2x2−2x−1=0，
解得 2x=1 或 2x=−12（舍去），
所以 x=0，
所以函数 fx 的零点为 x=0．
（2） 若 fx 有零点，则方程 2a⋅4x−2x−1=0 有解．
又 2a=2x+14x=12x+14x=12x+122−14，
因为 12x>0，
所以 2a>14−14=0，即 a>0，
所以实数 a 的取值范围是 0,+∞．
29. （1） 令 lg2x=t，x∈18,4，
则 gt=t2+4t+mt∈−3,2．
由于函数 fx 存在大于 1 的零点，
所以关于 t 的方程 t2+4t+m=0 在 t∈0,2 内存在实数根．
由 t2+4t+m=0，得 m=−t2−4，t∈0,2，
所以 m∈−12,0，
所以 m 的取值范围是 −12,0．
（2） 函数 fx 有两个互异的零点 α，β，
则函数 gt 在 −3,2 内有两个互异的零点 t1，t2，
其中 t1=lg2α，t=lg2β，
所以 Δ=16−4m>0,g−3≥0,g2≥0,
解得 3≤m<4，
所以实数 m 的取值范围是 3,4．
根据根与系数的关系，可知 t1+t2=−4，即 lg2α+lg2β=−4，
所以 lg2α⋅β=−4，得 α⋅β=2−4=116．
30. （1） 令 −x2+2x−1=0，
解得 x1=x2=1，
所以函数 fx=−x2+2x−1 的零点为 1．
（2） 令 fx=x2x−1x+1=0，
解得 x=0 或 x=1 或 x=−1，
故函数 fx=x4−x2 的零点为 0，−1 和 1．
（3） 令 4x+5=0，则 4x=−5，
因为 4x>0，−5<0，
所以方程 4x+5=0 无实数解．
所以函数 fx=4x+5 不存在零点．
（4） 令 lg3x+1=0，解得 x=0，
所以函数 fx=lg3x+1 的零点为 0．
31. （1） 因为对数函数 t=lg2x 是增函数，
在区间 1,32 上，当 x=1 时，t 有最小值 lg21=0，
当 x=32 时，t 有最大值 lg232=5．
（2） 令 fx=lg2x2−6lg2x+8=t2−6t+8=0，
解得 t=2 或 t=4．
当 t=2 时，lg2x=2，x=4；
当 t=4 时，lg2x=4，x=16，
因此函数 fx 的零点为 x=4 和 x=16．
（3） fx=lg2x2−6lg2x+8=t2−6t+8=t−32−1，
由（I）得 0≤t≤5，
所以 t=3 时，fx 有最小值 −1，
所以当 t=0 时，fx=8，
当 t=5 时，fx=3，
因此，函数 fx 的值域为 −1,8．