2022届高考大一轮复习知识点精练：利用导数研究函数的图象与性质

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：利用导数研究函数的图象与性质，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 导函数 y=fʹx 的图象如图所示，则函数 y=fx 的图象可能是
A. B.
C. D.

2. 若函数 fx（x∈R）的图象如图所示，则其导函数 fʹx 的图象可能为
A. B.
C. D.

3. 函数 fx=x2−2xex 的图象大致是
A. B.
C. D.

4. 函数 y=xsinx+csx 的图象大致为
A. B.
C. D.

5. 已知函数 fx=lnx 与 gx=xe，则它们的图象交点个数为
A. 0B. 1C. 2D. 不确定

6. 已知函数 fx=xex,x≤0lnx,x>0，若 gx=fx−ax 有四个不同的零点，则 a 的取值范围为
A. 0,1eB. 1e,1C. 1,eD. e,+∞

7. 已知 a,b∈R，函数 fx=x,x<013x3−12a+1x2+ax,x≥0，若函数 y=fx−ax−b 恰有 3 个零点，则
A. a<−1，b<0B. a<−1，b>0C. a>−1，b<0D. a>−1，b>0

8. 已知 a,b∈R，函数 fx=x,x<013x3−12a+1x2+ax,x≥0，若函数 y=fx−ax−b 恰有 3 个零点，则
A. a<−1，b<0B. a<−1，b>0C. a>−1，b<0D. a>−1，b>0

9. 函数 y=1x−lnx+1 的图象大致为
A. B.
C. D.

10. 函数 fx=x2ex2 的大致图象为
A. B.
C. D.

11. 若函数 fx=x2ex−a 恰有三个零点，则实数 a 的取值范围是
A. 4e2,+∞B. 0,4e2C. 0,4e2D. 0,+∞

12. 函数 fx=1x−lnx−1 的图象大致是
A. B.
C. D.

13. 函数 fx=x2+2x⋅e2x 的图象大致是
A. B.
C. D.

14. 函数 fx=x2ln∣x∣∣x∣ 的图象大致是
A. B.
C. D.

15. 已知函数 fx=1−ex,x≥012x2+2x,x<0，函数 gx=kx−1，若方程 fx=gx 恰有三个实数解，则实数 k 的取值范围为
A. 1−5,0B. 0,1+5C. 0,3−5D. 0,3−5

16. 函数 fx=ex+2x−3 的零点所在的一个区间是
A. −12,0B. 0,12C. 12,1D. 1,32

17. 已知函数 fx 是定义在 R 上的奇函数，当 x<0 时，fx=exx+1，给出下列命题：
①当 x>0 时，fx=ex1−x；
②函数 fx 有 2 个零点；
③ fx>0 的解集为 −1,0∪1,+∞；
④ ∀x1,x2∈R，都有 fx1−fx2<2，
其中正确的命题是
A. ①③B. ②③C. ③④D. ②④

18. 已知函数 fx=e2x∣x∣（e 为自然对数的底数），关于 x 的方程 fx2−2afx+a−2＝0a∈R 恰有四个不同的实数根，则 a 的取值范围为
A. 1,+∞B. 2,+∞
C. e22e−1,+∞D. 4e2−24e−1,+∞

19. 已知函数 fx=ex,x≤1−x2+4x−3,1A. 0,1515∪1e,e3B. 0,1515∪1e,+∞
C. 0,1515D. 1e,+∞

20. 已知函数 fx=xex+1,x≥0x2+2x+1,x<0，若函数 y=ffx−a−1 有三个零点，则实数 a 的取值范围是
A. 1,1+1e∪2,3
B. 1,1+1e∪2,3∪3+1e
C. 1,1+1e∪2,3∪3+1e
D. 1,1+2e∪2,3

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知函数 fx=xe2x−1，则函数 fx 的极小值为 ，零点有 个．

22. 已知函数 fx=lnx,x≥12x3−3x2+1,x<1，则 x∈−1,e 时，fx 的最小值为 ，设 gx=fx2−fx+a，若函数 gx 有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是 ．

23. 已知函数 fx=lnx,x≥12x3−3x2+1,x<1，则 x∈−1,e 时，fx 的最小值为 ，设 gx=fx2−fx+a，若函数 gx 有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是 ．

24. 设 x3+ax+b=0，其中 a，b 均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 ．（写出所有正确条件的编号）
① a=−3，b=−3 ；
② a=−3，b=2 ；
③ a=−3，b>2 ；
④ a=0，b=2 ；
⑤ a=1，b=2．

25. 已知函数 fx 在 R 上满足 f−x=fx，且当 x∈0,+∞ 时，fx=13x3+23x2．函数 gx=sin3πx2，则函数 hx=fx−gx 在 R 上的零点个数为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 已知函数 fx=axlnx，a∈R．
（1）当 a=1 时，直线 l 与 y=fx 相切于点 e23,fe23．
（ⅰ）求 fx 的极值，并写出直线 l 的方程；
（ⅱ）若对任意的 x≥e 都有 fx≥mxemx，m>0，求 m 的最大值；
（2）若函数 gx=fx+x2 有且只有两个不同的零点 x1，x2，求证：x1x2>e2．

27. 已知函数 fx=x+2ln1+x−ax，a∈R．
（1）当 a=0 时，求 fx 在 x=0 处的切线方程；
（2）如果当 x>0 时，fx>0 恒成立，求实数 a 的取值范围；
（3）求证：当 a>2 时，函数 fx 恰有 3 个零点．

28. 已知函数 fx=−alnx−exx+ax，a∈R．
（1）当 a<0 时，讨论 fx 的单调性；
（2）设 gx=fx+xfʹx，若关于 x 的不等式 gx≤−ex+x22+a−1x 在 1,2 上有解，求 a 的取值范围．

29. 已知函数 fx=ex−ax−ln2a∈R．
（1）讨论函数 fx 的单调性；
（2）当 a=2 时，求函数 gx=fx+ln2−csx 在 −π2,+∞ 上的零点个数．

30. 已知 1（1）证明：函数 y=fx 在 0,+∞ 上有唯一零点；
（2）记 x0 为函数 y=fx 在 0,+∞ 上的零点，证明：
（ⅰ）a−1≤x0≤2a−1；
（ⅱ）x0fex0≥e−1a−1a．

31. 已知函数 fx=ax2−x，gx=blnx，且曲线 fx 与 gx 在 x=1 处有相同的切线．
（1）求实数 a，b 的值；
（2）求证：fx≥gx 在 0,+∞ 上恒成立；
（3）当 n∈6,+∞ 时，求方程 fx+x=ngx 在区间 1,en 内实根的个数．
答案
第一部分
1. D【解析】由题图知，当 x>0 时，fʹx>0，当 x<0 时，fʹx<0，
所以函数 fx 在 0,+∞ 上是增函数，在 −∞,0 上是减函数．
2. C【解析】由函数 fx（x∈R）的图象可知，fx 的单调递增区间为 1,4，单调递减区间为 −∞,1 和 4,+∞，因此，当 x∈1,4 时，fʹx>0，当 x∈−∞,1 和 x∈4,+∞ 时，fʹx<0，结合选项知选C．
3. A【解析】因为 f0=02−2×0e0=2，排除C；
因为 fʹx=x2−2ex，解 fʹx>3，
所以 x∈−∞,−2 或 x∈2,+∞ 时 fx 单调递增，D．
4. D【解析】因为 f0=1，排除A，C；fʹx=xcsx，显然在 0,π2 上，fʹx>0，所以函数为递增．
5. B
【解析】令 hx=lnx−xe，则 hʹx=1x−1e．
所以当 00，当 x>e 时，hʹx<0．
所以当 x=e 时，hx 取得最大值 he=0．
所以 hx=lnx−xe 只有一个零点，即 fx 与 gx 的图象只有 1 个交点．
6. A【解析】作出 fx=xex,x≤0lnx,x>0 的图象如下：
若 gx=fx−ax 有四个不同的零点，
则 fx−ax=2 有四个根，
即 y=fx 与 y=ax 有四个交点，
直线 y=ax 过原点，
当 a≤0 时，y=fx 与 y=ax 有两个交点，
当 a>0 时，直线 y=ax 与 y=fx=lnx 相切时，
不妨设切点为 x7,y0，
则 y0=lnx7, ⋯⋯①
y0=ax0, ⋯⋯②
fʹx=7x，
所以 k切=fʹx0=1x3=a, ⋯⋯③
由①②③得 x0=e，a=1e，
所以切线的斜率为 6e，
若 y=fx 与 y=ax 有四个交点，则 0综上，a 的取值范围为 0,1e．
7. C
8. C
9. A
10. A
11. B【解析】令 gx=x2ex，
则 gʹx=2xex+x2ex=xexx+2．
令 gʹx=0，得 x=0 或 x=−2，
所以 gx 在 −2,0 上单调递减，在 −∞,−2，0,+∞ 上单调递增．
所以 gx极大值=g−2=4e2，gx极小值=g0=0．
fx=x2ex−a 恰有三个零点，即 y=gx 的图象与直线 y=a 有三个交点，结合图象（略），可知 012. B【解析】易知函数 fx=1x−lnx−1 的定义域为 x∈0,1∪1,+∞．
设 gx=x−lnx−1x∈0,1∪1,+∞，
则 gʹx=1−1x，当 x∈1,+∞ 时，gʹx>0，gx 单调递增，当 x∈0,1 时，gʹx<0，gx 单调递减，则 gx>g1=0，则 fx 在 0,1 上单调递增，在 1,+∞ 上单调递减，且 fx>0．结合选项可知B正确．
13. A【解析】易得 fʹx=2x2+3x+1⋅e2x．
令 y=x2+3x+1，
易知 y=x2+3x+1 的图象是开口向上的抛物线，
且方程 x2+3x+1=0 有两个不相等的实数根，记为 x1，x2，
不妨设 x1当 x∈−∞,x1∪x2,+∞ 时，y>0，
当 x∈x1,x2 时，y<0，
所以 fx 在 −∞,x1，x2,+∞ 上单调递增，
在 x1,x2 上单调递减．
所以C，D选项不正确．
又当 x<−2 时，fx>0 恒成立，
所以B选项不正确．
14. D【解析】易知函数 fx 的定义域关于原点对称，且 f−x=−x2ln∣−x∣∣−x∣=fx，
所以函数 fx 为偶函数，其图象关于 y 轴对称，故B不正确，
当 x>0 时，fx=x2lnxx=xlnx，则 fʹx=1+lnx，令 fʹx>0，得 x>1e，令 fʹx<0，得 0所以 fx 在 0,1e 上递减，在 1e,+∞ 上递增，故A，C不正确故选D．
15. D
【解析】依题意，画出 fx=1−ex,x≥012x2+2x,x<0 的图象，如图．
直线 gx=kx−1 过定点 1,0，由图象可知，函数 gx 的图象与 fx=12x2+2x,x<0 的图象相切时，函数 fx，gx 的图象恰有两个交点．
下面利用导数法求该切线的斜率．
设切点为 Px0,y0，
由 fʹx=x+2,x<0，得 k=fʹx0=x0+2=12x02+2x0x0−1，
化简得 x02−2x0−4=0，解得 x0=1−5 或 x0=1+5（舍去），
要使方程 fx=9x 恰有三个实数解，则函数 fx，gx 的图象恰有三个交点，
结合图象可知 0所以实数 k 的取值范围为 0,3−5．
16. C【解析】f−12=e−12−1−3=−4+1e<0，
f0=e0+0−3=1−3=−2<0，
f12=e+1−3=e−2<0，
f1=e+2−3=e−1>0，
f12f1<0，
故零点在 12,1 内．
17. C【解析】①因为函数 fx 是在 R 上的奇函数，
所以 fx=−f−x，
令 x∈0,+∞，
则 −x∈−∞,0，fx=−f−x=−e−x1−x=e−xx−1，故①错；
②当 x<0 时，fx=exx+1=0，
因为 ex>0，
所以 x=−1 是函数的一个零点，同理可以求出当 x>0，x=1 是函数的一个零点，
因为函数 fx 是奇函数，
所以 f0=0，
综上所述，函数 fx 有 3 个零点，故②错；
由①可知函数 fx=exx+1,x<00,x=0e−xx−1,x>0，fx>0 的解集为 −1,0∪1,+∞，故③正确；
④当 x<0 时，fʹx=exx+1+ex=exx+2，
当 x∈−2,0 时，fʹx>0，fx 单增；
当 x∈−∞,−2 时，fʹx<0，fx 单减；
所以当 x<0，函数有最小值 fxmin=f−2=−e−2，
同理在 x>0 时，函数有最大值 fxmax=f2=e−2．
所以 ∀x1,x2∈R，都有 fx1−fx2<∣fxmax−fxmin∣=∣2e−2∣，
因为 0所以 2e−2<2，故④正确．
18. D【解析】因为 fx=e2x∣x∣，
x>0 时，fx=e2xx，fʹxe2x2x−4x2，
令 fʹx>0，解得：x>12，令 fʹx<0，解得：0故 fx 在 0,12 递减，12,+∞ 递增，
故 fxmin=f12=2e，
x<0 时，fx=−e2xx，fʹx=e2x2x−1x4>0，
函数 fx 的图象，如图示：
设 t=fx，方程 fx2−2afx+a−2=0
等价于 t6−2at+a−2=0，而 Δ=4a2−4a−2=4a4−4a+8>0，
若关于 x 的方程恰有四个不同的实数根，
则 02e，
设 gt=t2−2at+a−2，
则 g0>0,g2e<0 即 a−2>0,4e2−4ae+a−2<0 解得：a>4e2−24e−1．
故选：D．
19. A【解析】作 fx=ex,x≤1−x2+4x−3,1由 y=−x2+4x−31当直线 y=kx+2k>0 与圆 x−22+y2=1 相切时，则 ∣4k∣k2+1=1，解得 k=1515，对应图中分界线①；
再考虑直线 y=kx+2 与曲线 y=ex 相切，设切点坐标为 t,et，
对函数 y=ex 求导得 yʹ=ex，则所求切线的斜率为 et，
所求切线的方程为 y−et=etx−t，直线 y=kx+2 过定点 −2,0，
将点 −2,0 的坐标代入切线方程得 −et=et−2−t，解得 t=−1，
所以，切点坐标为 −1,1e，
所以 k=1e，对应图中分界③；
当直线 y=kx+2 过点 1,e 时，则有 3k=e，解得 k=e3，对应图中分界线②．
由于函数 gx=fx−k∣x+2∣ 有三个零点，由图象可知，实数 k 的取值为 0,1515∪1e,e3．
20. B
【解析】当 x<0 时，由 fx−1=0 得 x2+2x+1=1，得 x=−2 或 x=0（舍），
当 x≥0 时，由 fx−1=0 得 xex+1=1，得 x=0，
由 y=ffx−a−1=0 得 fx−a=0 或 fx−a=−2，
即 fx=a，fx=a−2，
作出函数 fx 的图象，
y=xex+1≥1x≥0，yʹ=1−xex，
当 x∈0,1 时，yʹ>0，函数 y 是增函数，
x∈1,+∞ 时，yʹ<0，函数 y 是减函数，
x=1 时，函数 y 取得最大值：1+1e，
当 1当 a−2=1+1e 时，即 a=3+1e 时，y=ffx−a−1 有 3 个零点，
当 a−2>1+1e 时，即 a>3+1e 时，y=ffx−a−1 有 2 个零点，
当 a=1+1e 时，则 y=ffx−a−1 有 2 个零点，
当 0当 1综上 a 的取值范围是：1,1+1e∪2,3∪3+1e．
第二部分
21. −12e−1，1
【解析】因为 fx=xe2x−1，fʹx=e2x+2xe2x=1+2xe2x，
令 fʹx=0，可得 x=−12，
如下表所示：
x−∞,−12−12−12,+∞f′x−0+fx单调递减极小值极大值
所以，函数 y=fx 的极小值为 f−12=−12e−1，
fx=0⇒e2x=1x，则函数 y=fx 的零点个数等于函数 y=e2x 与函数 y=1x 的图象的交点个数，如下图所示：
两个函数的图象有且只有一个交点，即函数 y=fx 只有一个零点．
22. −4，0,14
【解析】当 x∈1,e 时，fx=lnx，此时函数在区间上单调递增，故此时函数的最小值为 f1=ln1=0，
当 x∈−1,1 时，fx=2x3−3x2+1，则 fʹx=6x2−6x=0，x=1（舍）或 x=0，且有 fx 在 −1,0 上单调递增，在 0,1 上单调递减，因为 f−1=−2−3+1=−4令 t=fx，gx=0，即 t2−t=−a，作出函数 y=fx 的图象，如图所示，直线 y=t 与函数 y=fx 的图象最多只有三个交点，
所以 0即说明方程 t2−t=−a 有两个 0,1 内的不相等的根，亦即函数 y=t2−t 在 0,1 内的图象与直线 y=−a 有两个交点，
因为 y=t2−t=t−122−14，
根据 y=t2−t 的图象可知，−14<−a<0，
即实数 a 的取值范围为 023. −4，0,14
【解析】当 x∈1,e 时，fx=lnx，
此时函数在区间上单调递增，故此时函数的最小值为 f1=ln1=0，
当 x∈−1,1 时，fx=2x3−3x2+1，
则 fʹx=6x2−6x=0，x=1（舍）或 x=0，且有 fx 在 −1,0 上单调递增，在 0,1 上单调递减，
因为 f−1=−2−3+1=−4故函数 fx 在 −1,e 上的最小值为 −4；
令 t=fx，gx=0，即 t2−t=−a，
作出函数 y=fx 的图象，如图所示，直线 y=t 与函数 y=fx 的图象最多只有三个交点，
所以 0因为 y=t2−t=t−122−14，
根据 y=t2−t 的图象可知，−14<−a<0，
即实数 a 的取值范围为 024. ①③④⑤
【解析】设 fx=x3+ax+b．
当 a=−3，b=−3 时，fx=x3−3x−3，fʹx=3x2−3，
令 fʹx>0，得 x>1 或 x<−1 ；
令 fʹx<0，得 −1故 fx 在 −∞,−1 上为增函数，在 −1,1 上为减函数，在 1,+∞ 上为增函数，
又 f−1=−1，f1=−5，f3=15，
故方程 fx=0 只有一个实根，故①正确．
当 a=−3，b=2 时，fx=x3−3x+2，
易知 fx 在 −∞,−1 上为增函数，在 −1,1 上为减函数，在 1,+∞ 上为增函数，
又 f−1=4，f1=0，x→−∞ 时，fx→−∞，
从而方程 fx=0 有两个根，故②错．
当 a=−3，b>2 时，fx=x3−3x+b，
易知 fx 的极大值为 f−1=2+b>0，极小值为 f1=b−2>0，
x→−∞ 时，fx→−∞，
故方程 fx=0 有且仅有一个实根，故③正确．
当 a=0，b=2 时，fx=x3+2，显然方程 fx=0 有且仅有个实根，故④正确．
当 a=1，b=2 时，fx=x3+x+2，fʹx=3x2+1>0，
则 fx 在 −∞,+∞ 上为增函数，
易知 fx 的值域为 R，
故 fx=0 有且仅有一个实根，故⑤正确．
综上，正确条件的编号有①③④⑤．
25. 7
【解析】函数 fx 在 R 上满足 f−x=fx，且当 x∈0,+∞ 时，fx=13x2+23x2，
可得 fx 为偶函数，图象关于 y 轴对称，且 x>0 时，fx 递增，gx=sin3πx2 的最小正周期为 23，分别作出函数 y=fx 和 y=gx 的图象，由图象可得它们有 7 个交点，则函数 hx=fx−gx 在 R 上的零点个数为 7．
第三部分
26. （1） （ⅰ）当 a=1 时，fx=xlnx，fʹx=lnx+x⋅1x=lnx+1，x>0．
令 fʹx=0，解得 x=1e．
当 x 变化时，fʹx，fx 的变化情况如表：
x0,1e1e1e,+∞fʹx−0+fx↘极小值↗
所以 fx 的极小值为 f1e=1eln1e=−1e，没有极大值，
又因为 fe23=e23lne23=23e23，fʹe23=lne23+1=23+1=53，
所以，直线 l 的方程为 y−23e23=53x−e23，即 5x−3y−3e23=0．
（ⅱ）对任意的 x≥e 都有 fx≥mxemx=emx⋅lnemx，即 fx≥femx 恒成立．
由 m>0，故 mx>0，所以 emx>1．
由（ⅰ）知 fx 在 1e,+∞ 单调递增，因此 x≥emx，可得 lnx≥mx，即 xlnx≥m，
当 x≥e 时，fx 的最小值为 fe=e，所以 m 的最大值为 e．
（2） 要证明 x1x2>e2，只需证明 lnx1x2>2 即可．
依题意，x1，x2 是方程 axlnx+x2=0 的两个不等实根，
因为 x>0，所以 alnx1+x1=0, ⋯⋯①alnx2+x2=0. ⋯⋯②
①，②相加得：alnx1+lnx2+x1+x2=0，
①，②相减得：alnx1−lnx2+x1−x2=0．
消去 a，整理得 lnx1x2lnx1x2=x1+x2x1−x2，lnx1x2=lnx1x2⋅x1+x2x1−x2=lnx1x2⋅x1x2+1x1x2−1，
不妨设 x1>x2，令 t=x1x2，则 t>1，
故只需证明当 t>1 时，lnt⋅t+1t−1>2，即证明 lnt>2t−1t+1，
设 ht=lnt−2t−1t+1，则 hʹt=1t−2t+1−t−1t+12=t−12tt+12>0，
于是 ht 在 1,+∞ 单调递增，从而 ht>h1=0，因此 lnt>2t−1t+1．
所以，x1x2>e2．
27. （1） 当 a=0 时，fx=x+2ln1+x，f0=0，
所以 fʹx=ln1+x+x+2x+1，
所以 fʹ0=2，
所以 fx 在 x=0 处的切线方程为 y=2x．
（2） 当 x>0 时，原不等式可化为 lnx+1−axx+2>0 恒成立，
令 hx=lnx+1−axx+2x>0，
所以
hʹx=1x+1−2ax+22=x2+4−2ax+4−2ax+1x+22.
当 a≤2 时，x2+4−2ax+4−2a>0，
所以 hʹx>0，
所以 hx 在 0,+∞ 上单调递增，
所以 hx=lnx+1−axx+2>h0=0，符合题意；
当 a>2 时，设 gx=x2+4−2ax+4−2a，
因为二次函数 gx 开口向上，g0=4−2a<0，
所以存在 x0∈0,+∞，使得 gx0=0，
当 x∈0,x0 时，gx<0，使得 hʹx0<0，
因此 hx 在 0,x0 上单调递减，
所以当 x∈0,x0 时，hx综上所述，a≤2．
（3） 当 a>2 时，因为 x>−1，
所以函数 fx 的零点个数等价于函数 hx=lnx+1−axx+2 的零点个数，
由（2）可得 hʹx=1x+1−2ax+22=x2+4−2ax+4−2ax+1x+22，
设 gx=x2+4−2ax+4−2a，
因为二次函数 gx 在 x∈R 时图象开口向上，g−1=1>0，g0=4−2a<0，
所以存在 x1∈−1,0，x2∈0,+∞，使得 gx1=0，gx2=0，
所以 hx=lnx+1−axx+2 在 −1,x1 上单调递增，在 x1,0 上单调递减，在 0,x2 上单调递减，在 x2,+∞ 上单调递增．
因为 h0=0，
所以 hx1>0，hx2<0，
又因为当 x=e−a−1 时，he−a−1=−a−ae−a−1e−a+1=−2ae−ae−a+1<0，
所以 hx 在 e−a−1,x1 上存在一个零点，
当 x=ea−1 时，hea−1=a−aea−1ea+1=2aea+1>0，
所以 hx 在 x2,ea−1 上存在一个零点，
又 h0=0．
综上所述，当 a>2 时，函数 fx 恰有 3 个零点．
28. （1） 由题意知，fʹx=−ax−xex−exx2+a=ax−exx−1x2，
令 Fx=ax−exx−1，
当 a<0 时，ax−ex<0 恒成立，
所以当 x>1 时，Fx<0；
当 00，
所以函数 fx 在 0,1 上单调递增，在 1,+∞ 上单调递减．
（2） 因为 gx=fx+xfʹx，
所以 gx=−alnx−ex+2ax−a，
由题意知，存在 x0∈1,2，使得 gx0≤−ex0+x022+a−1x0 成立，
即存在 x0∈1,2，使得 −alnx0+a+1x0−x022−a≤0 成立．
令 hx=−alnx+a+1x−x22−a，x∈1,2，
所以 hʹx=−ax+a+1−x=−x−ax−1x，x∈1,2．
① a≤1 时，x∈1,2，则 hʹx≤0，
所以函数 hx 在 1,2 上单调递减，
所以 hxmin=h2=−aln2+a≤0 成立，解得 a≤0，
所以 a≤0；
②当 10，解得 1令 hʹx<0，解得 a所以函数 hx 在 1,a 上单调递增，在 a,2 上单调递减，
又 h1=12，
所以 h2=−aln2+a≤0，解得 a≤0，
所以 a 无解；
③当 a≥2 时，x∈1,2，则 hʹx≥0，
所以函数 hx 在 1,2 上单调递增，
所以 hxmin=h1=12>0，不符合题意，舍去；
综上所述，a 的取值范围为 −∞,0．
29. （1） fx=ex−ax−ln2，其定义域为 R，fʹx=ex−a，
①当 a≤0 时，因为 fʹx>0，所以 fx 在 R 上单调递增．
②当 a>0 时，令 fʹx>0，得 x>lna，令 fʹx<0，得 x综上所述，当 a≤0 时，fx 在 R 上单调递增，当 a>0 时，fx 在 −∞,lna 上单调递减，在 lna,+∞ 上单调递增．
（2） 由已知得 gx=ex−2x−csx，x∈−π2,+∞，则 gʹx=ex+sinx−2．
①当 x∈−π2,0 时，
因为 gʹx=ex−1+sinx−1<0，
所以 gx 在 −π2,0 上单调递减，
所以 gx>g0=0，
所以 gx 在 −π2,0 上无零点；
②当 x∈0,π2 时，因为 gʹx 单调递增，且 gʹ0=−1<0，gʹπ2=eπ2−1>0，
所以存在 x0∈0,π2，使 gʹx0=0，
当 x∈0,x0 时，gʹx<0；当 x∈x0,π2 时，gʹx>0，
所以 gx 在 0,x0 上单调递减，在 x0,π2 上单调递增，且 g0=0，
所以 gx0<0，
又因为 gπ2=eπ2−π>0，
所以 gx0⋅gπ2<0，
所以 gx 在 x0,π2 上存在一个零点，
所以 gx 在 0,π2 上有两个零点．
③当 x∈π2,+∞ 时，gʹx=ex+sinx−2>eπ2−3>0，
所以 gx 在 π2,+∞ 上单调递增，
因为 gπ2>0，
所以 gx 在 π2,+∞ 上无零点．
综上所述，gx 在 −π2,+∞ 上的零点个数为 2．
30. （1） 因为 fʹx=ex−1，
因为 x>0，
所以 ex>1，
所以 fʹx>0，
所以 fx 在 0,+∞ 上单调递增，
因为 1所以 f2=e2−2−a≥e2−4>0，f0=1−a<0，
所以由零点存在定理得 fx 在 0,+∞ 上有唯一零点．
（2） （ⅰ）因为 fx0=0，
所以 ex0−x0−a=0，
所以 a−1≤x0≤2a−1⇔ex0−x0−1≤x02≤2ex0−x0−1，
令 gx=ex−x−1−x20一方面：hʹx=ex−1−x=h1x，h1ʹx=ex−1>0，
所以 hʹx>hʹ0=0，
所以 hx 在 0,2 单调递增，
所以 hx>h0=0，
所以 ex−x−1−x22>0，2ex−x−1>x2，
另一方面：
因为 1所以 a−1≤1，
所以当 x0≥1 时，a−1≤x0 成立，
因此只需证明当 0因为 gʹx=ex−1−2x=g1x，g1ʹx=ex−2=0⇒x=ln2，
当 x∈0,ln2 时，g1ʹx<0，当 x∈ln2,1 时，g1ʹx>0，
所以 gʹx因为 gʹ0=0，gʹ1=e−3<0，
所以 gʹx<0，
所以 gx 在 0,1 上单调递减，
所以 gx所以 ex−x−1综上，所以 ex0−x0−1≤x02≤2ex0−x0−1，
所以 a−1≤x0≤2a−1．
（ⅱ）tx0=x0fex0=x0fx0+a=x0ea−1x0+aea−2，
因为 tʹx0=2ea−1x0+aea−2>0，a−1≤x0≤2a−1，
所以 tx0≥ta−1=a−1ea−1a−1+aea−2=ea−1a−1+aa−1ea−2，
因为 1所以 ea>e，a≥2a−1，
所以 tx0≥e−1a−1+2a−1a−1ea−2，
只需证明 2a−1a−1ea−2≥e−1a−12，
即只需证明 4ea−22≥e−12a−1，
令 sa=4ea−22−e−12a−11则 sʹa=8eaea−2−e−12≥8ee−2−e−12>0，
所以 sa>s1=4e−22>0，即 4ea−22≥e−12a−1 成立，
因此 x0fex0≥e−1a−1a．
31. （1） 因为 f1=a−1，g1=0，f1=g1，
所以 a=1，
因为 fʹx=2ax−1，gʹx=bx，
所以 fʹ1=2a−1，gʹ1=b，
因为 fʹ1=gʹ1，即 2a−1=b，
所以 b=1．
（2） 设 ux=fx−gx=x2−x−lnxx>0，
uʹx=2x−1−1x=2x+1x−1x，
令 uʹx=0，则有 x=1．
当 x 变化时，uʹx，ux 的变化情况如下表：
x0,111,+∞uʹx−0+ux↘极小值↗
所以 ux≥u1=0，即 fx≥gx 在 0,+∞ 上恒成立．
（3） 设 hx=ngx−fx−x=nlnx−x2，其中 x∈1,en，
hʹx=nx−2x=−2x+2n2x−2n2x，
令 hʹx，则有 x=2n2．
当 x 变化时，hʹx，hx 的变化情况如下表：
x1,2n22n22n2,enhʹx+0−hx↗极大值↘
所以 hx极大值=h2n2=n2lnn2−1≥3ln3−1>0，
hen=n2−e2n=n+enn−en，
设 tx=x−ex，其中 x∈6,+∞，则 tʹx=1−ex<0，
所以 tx 在 6,+∞ 内单调递减，tx所以 x结合函数 hx 的图象，可知 hx 在区间 1,en 内有两个零点，
所以方程 fx+x=ngx 在区间 1,en 内实根的个数为 2．