2022届高考大一轮复习知识点精练：分段函数

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：分段函数，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 已知函数 fx=a⋅2x,x≥02−x,x<0a∈R，若 ff−1=1，则 a=
A. 14B. 12C. 2D. 1

2. 已知函数 fx=12x,x≥1fx+3,x<1，则 f−1=
A. 12B. 2C. 14D. 18

3. 已知实数 a≠0，函数 fx=2x+a,x<1−x−2a,x≥1，若 f1−a=f1+a，则 a 的值为
A. −34B. 34C. −35D. 35

4. 设函数 fx=1+lg22−x,x<12x−1,x≥1，则 f−2+flg212=
A. 3B. 6C. 9D. 12

5. 已知函数 fx=lg3x,x>013x,x≤0，那么不等式 fx≥1 的解集为
A. x−3≤x≤0B. xx≤−3或x≥0
C. x0≤x≤3D. xx≤0或x≥3

6. 已知函数 fx=ex−1,x≥0kx,x<0．若存在非零实数 x0，使得 f−x0=fx0 成立，则实数 k 的取值范围是
A. −∞,−1B. −∞,−1C. −1,0D. −1,0

7. 设函数 fx=3x−1,x<12x,x≥1，则满足 ffa=2fa 的 a 的取值范围是
A. 23,1B. 0,1C. 23,+∞D. 1,+∞

8. 已知函数 fx=ex−a,x≤02x−a,x>0a∈R，若函数 fx 在 R 上有两个零点，则实数 a 的取值范围是
A. 0,1B. 1,+∞C. 0,1D. −∞,1

9. 已知函数 fx=−12∣x+2∣+1,x<0x3,x≥0．若存在实数 a，b，c，当 aA. −4,0B. −3,0C. −4,0D. −3,0

10. 已知函数 fx=lg2x,x>1x2−1,x≤1，则 fxA. −1,+∞B. −1,1C. −12,+∞D. −12,1

11. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用．其定义黎曼函数 Rx 为：当 x=qp（p，q 为正整数，qp 是既约真分数）时 Rx=1p，当 x=0 或 x=1 或 x 为 0,1 上的无理数时 Rx=0．已知 a，b，a+b 都是区间 0,1 内的实数，则下列不等式一定正确的是
A. Ra+b≥Ra+RbB. Ra⋅b≥Ra⋅Rb
C. Ra+b≤Ra+RbD. Ra⋅b≤Ra⋅Rb

12. 某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过 800 元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过 800 元，则超过 800 元部分享受一定的折扣优惠，并按如表折扣分别累计计算：
可以享受折扣优惠金额折扣率不超过 500 元的部分5%超过 500 元的部分10%
若某顾客在此商场获得的折扣金额为 50 元，则此人购物实际所付金额为
A. 1500 元B. 1550 元C. 1750 元D. 1800 元

13. 已知函数 fx=ax+5,x≤11x,x>1 是 R 上的减函数，则 a 的范围是
A. −∞,0B. −4,+∞C. −∞,−4D. −4,0

14. 若 fx=2−2ax,x>14−a2x−16,x≤1 是 R 上的增函数，则实数 a 的取值范围为
A. 1,+∞B. 4,8C. 4,8D. 1,8

15. 定义 maxa,b=a,a≥bb,aA. −2,1
B. −∞,−3∪2,+∞
C. −∞,−3∪−2,1
D. −∞,−3∪2,+∞∪−2,1

16. 已知函数 fx=x+2,x>ax2+5x+2,x≤a，若函数 gx=fx−2x 恰有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是
A. −1,1B. −1,2C. −2,2D. 0,2

17. 已知函数 fx=x2+4a−3x+3a,x<0lgax+1+1,x≥0（a>0，且 a≠1）在 R 上单调递减，且关于 x 的方程 ∣fx∣=2−x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是
A. 0,23B. 23,34
C. 13,23∪34D. 13,23∪34

18. 已知函数 fx 满足对任意的 x∈R 都有 fx+2=fx，且当 −1≤x<1 时，fx=x3,x∉Zex,x∈Z，函数 gx=∣lgax∣,x>01x,x<0，若关于 x 的方程 fx=gx 在 −1,+∞ 恰有 5 个互异的实数解，则实数 a 的取值范围是
A. 7,9
B. 19,17∪7,9
C. 111,19∪9,11
D. 111,110∪110,19∪9,10∪10,11

19. 已知函数 fx=1+lgax+2,x≥−1x+12+4a,x<−1（a>0，且 a≠1）在区间 −∞,+∞ 上为单调函数，若函数 gx=∣fx∣−∣x−2∣ 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是
A. 14,12B. 14,34
C. 14,12∪1316D. 14,34∪1316

20. 函数 fx 是定义域为 R 的奇函数，且它的最小正周期是 T，已知 fx=x,x∈0,T4T2−x,x∈T4,T2，gx=fx+aa∈R．给出下列四个判断：
①对于给定的正整数 n，存在 a∈R，使得 gi⋅Tnfi⋅Tni=1n=0 成立；
②当 a=T4 时，对于给定的正整数 n，存在 k∈Rk≠1，使得 gki⋅Tnfi⋅Tni=1n=0 成立；
③当 a=kT4k∈Z 时，函数 gx+fx 既有对称轴又有对称中心；
④当 a=kT4k∈Z 时，gx+fx 的值只有 0 或 T4．
其中正确判断的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知函数 fx=x3−2x,x≥0ln−x,x<0，则 ff1= ．

22. 已知函数 fx=lg2x,x>03x,x≤0，则 ff12= ．

23. 已知函数 fx=lg3x+1−2,x≥0fx+3,x<0，则 f−2020= ．

24. 已知函数 fx=3x+2,x<1,x2+ax,x≥1, 若 ff0=4a，则实数 a= ．

25. 已知函数 fx=x4x2+16,x≥212x−a,x<2，若对任意的 x1∈2,+∞，都存在唯一的 x2∈−∞,2，满足 fx1=fx2，则实数 a 的取值范围为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 设函数 fx=2x−1,x≤0lg2x+1,x>0，如果 fx0<1，求 x0 的取值范围．

27. 已知 fx=2x+x−1，gx=x2,x≥0x−1,x<0，求 g−1，gf1 的值．

28. 已知函数 fx=x+22,x≥1x2+2,x<1．
（1）求 f−3，f1 的值；
（2）若 fx=16，求 x 的值．

29. 已知 n 为正整数，规定 f1x=fx，fn+1x=ffnx，且 fx=21−x,0≤x≤1x−1,1（1）解不等式 fx≤x；
（2）设集合 A=0,1,2，证明：对任意 x∈A，f3x=x．

30. 已知函数 fx=cx+1,0（1）求常数 c 的值；
（2）解不等式 fx>28+1．

31. 函数 fx=x 的函数值表示不超过 x 的最大整数，如 1.6=1，2=2，已知 0≤x<4．
（1）求函数 fx 的表达式．
（2）记函数 gx=x−fx，在平面直角坐标系中作出函数 gx 的图象；
（3）若方程 gx−lgax−12=0（a>0，且 a≠1）有且仅有一个实根，求 a 的取值范围．
答案
第一部分
1. A【解析】因为 ff−1=1，
所以 ff−1=f2−−1=f2=a⋅22=4a=1，
所以 a=14．
2. C
3. A【解析】当 a>0 时，1−a<1，则 f1−a=2−a，1+a>1，则 f1+a=−1−3a，
所以 2−a=−1−3a，则 a=−32（舍），
当 a<0 时，1−a>1，则 f1−a=−a−1，1+a<1，则 f1+a=2+3a，
所以 −a−1=3a+2，解得 a=−34．
4. C【解析】因为 −2<1，
所以 f−2=1+lg22−−2=3；
因为 lg212>1，
所以 flg212=2lg212−lg22=2lg26=6．
所以 f−2+flg212=9．
5. D
【解析】由 lg3x≥1，解得 x≥3，由 13x≥1，解得 x≤0，故 fx≥1 的解集为 xx≤0或x≥3．
6. A
7. C【解析】①当 a<23 时，fa=3a−1<1，ffa=33a−1−1=9a−4，2fa=23a−1，显然 ffa≠2fa．
②当 23≤a<1 时，fa=3a−1≥1，ffa=23a−1，2fa=23a−1，故 ffa=2fa．
③当 a≥1 时，fa=2a>1，ffa=22a，2fa=22a，故 ffa=2fa．综合①②③知 a≥23．
8. A【解析】画出函数 fx 的大致图象如图所示，
因为函数 fx 在 R 上有两个零点，
所以 fx 在 −∞,0 和 0,+∞ 上各有一个零点．
当 x≤0 时，fx 有一个零点，需 0当 x>0 时，fx 有一个零点，需 −a<0，即 a>0．
综上，09. B
10. C
【解析】因为函数 fx=lg2x,x>1x2−1,x≤1，则 fx所以当 x≤0 时，不等式 fx当 00，所以解集为 0当 x>1 时，不等式 fx1．
综上可得，不等式的解集为 −12,+∞．
11. B
12. A【解析】设此商场购物总金额为 x 元，可以获得的折扣金额为 y 元，
由题可知：y=0,01300，
因为 y=50>25，所以 x>1300，所以 0.1x−1300+25=50，
解得 x=1550，1550−50=1500，
故此人购物实际所付金额为 1500 元．
13. D
14. D【解析】因为 fx=2−2ax,x>14−a2x−16,x≤1 是 R 上的增函数，
所以 2−2a<0,4−12a>0,2−2a≥4−12a−16, 解得 115. C
16. B【解析】函数 fx=x+2,x>ax2+5x+2,x≤a，
由 x2+5x+2=2x，可得 x2+3x+2=0，
解得 x=−1，x=−2，y=x+2 与 y=2x 的交点为：2,4，
函数 y=fx 与 y=2x 的图象如图：
函数 gx=fx−2x 恰有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是：−1≤a<2．
17. C【解析】y=lgax+1+1 在 0,+∞ 递减，
函数 fx 在 R 上单调递减，则：
3−4a2≥0,0解得，
13≤a≤34，
由图象可知，
在 0,+∞ 上，∣fx∣=2−x 有且仅有一个解，
故在 −∞,0 上，∣fx∣=2−x 同样有且仅有一个解，
当 3a>2 即 a>23 时，联立 ∣x2+4a−3x+3a∣=2−x，
则 Δ=4a−22−43a−2=0，
解得 a=34 或 1（舍去），
当 1≤3a≤2 时，由图象可知，符合条件，
综上：a 的取值范围为 13,23∪34，
故选：C．
18. D【解析】根据有 fx+2=fx，
可得 fx 的周期为 2．
当 −1≤x<1 时，fx=x3,x∉Zex,x∈Z，
作出 fx 的图象，
从图象不难看出，当 x<0 时，gx=1x 与 fx 无交点；
当 x≥0 时，gx=∣lgax∣，
①若 a>1，gx=lgax，将 x 轴下方翻折，要使 gx=1x 与 fx 恰有 5 个交点，
则 f9<1,f11≥1, 且 f10≠1，
解得 9②若 0则 f9>−1,f11≤−1, 且 f10≠−1，
解得 111≤a<19，且 a≠110；
综上，可得 a 的取值范围是 111,110∪110,19∪9,10∪10,11．
19. D【解析】因为函数 fx=1+lgax+2,x≥−7x+12+6a,x<−1（a>0，且 a≠1），
当 x<−5 时，fx=x+12+3a，
所以 fx 再 −∞,−1 上单调递减，
又因为 fx 在区间 −∞,+∞ 上为单调函数，
所以 0解得 18≤a<1，
令 gx=∣fx∣−∣x−2∣＝8，即 ∣fx∣=∣x−2∣，
令 y1=∣fx∣，y8=∣x−2∣，
则函数 gx=∣fx∣−∣x−2∣ 有三个不同的零点，
等价于 y5=∣fx∣ 和 y2=∣x−2∣ 有三个不同的交点，
分别画出 y3=∣fx∣ 和 y2=∣x−2∣ 的图象如图所示，
由图可知，当 x≥−6 时，y1=∣fx∣ 和 y2=∣x−2∣ 有 2 个不同的交点，
故只需满足：当 x<−1 时，y5=∣fx∣ 和 y2=∣x−2∣ 有 7 个不同的交点，
即当 x<−1 时，x+15+4a=−x+2，化简 x3+3x+4a−8=0，
即 1−7a=x2+3xx<−6，
令 hx=x2+3xx<−2，即 y=hx 与 y=1−4a 有一个交点，画出函数 y=hx 的图象如下图所示，
易知，hxmin=h−52=−352+3×−72=−98，
h−1=−12+3×−1=−5，
所以 1−4a=−34 或 1−7a≥−2，
解得 a=1316 或 a≤36，
又因为 14≤a<6，
所以 a 的取值范围为 14,44∪1316．
20. C
第二部分
21. 0
【解析】因为函数 fx=x3−2x,x≥0ln−x,x<0，
所以 f1=1−2=−1，ff1=f−1=ln1=0．
22. 13
【解析】因为函数 fx=lg2x,x>03x,x≤0，
所以 f12=lg212=−1，
ff12=f−1=3−1=13．
23. −1
【解析】f−2020=f−2017=⋯=f−1=f2=lg32+1−2=−1．
24. 2
【解析】因为函数 fx=3x+2,x<1,x2+ax,x≥1,
所以 f0=2，f2=4+2a=4a，解得 a=2．
25. a∈−2,6
【解析】当 x1∈2,+∞ 时，x14x12+16∈0,116；
当 x2∈−∞,2 时，
（1）若 a≥2，则 fx=12x−a=12a−x 在 −∞,2 上是单调递增函数，
所以 fx2∈0,12a−2．
若满足题目要求，则 0,116⊆0,12a−2，
所以 12a−2>116=124，所以 a−2<4，a<6．
又 a≥2，所以 a∈2,6；
（2）若 a<2，
则 fx=12x−a=12a−x,x fx 在 −∞,a 上是单调递增函数，此时 fx∈0,1；
fx 在 a,2 上是单调递减函数，此时 fx∈122−a,1．
若满足题目要求，则 116≤122−a，
所以 a≥−2，又 a<2，所以 a∈−2,2．
综上，a∈−2,6．
第三部分
26. 当 x0≤0 时，fx0=2x0−1<1，解得 x0≤0，
当 x0>0 时，fx0=lg2x0+1<1=lg22．
解得 0综上所述，x0 的取值范围是 −∞,1．
27. 答：g−1=−2，gf1=g2=4．
28. （1） f−3=−32+2=11；
f1=1+22=9．
（2） 若 x≥1，则 x+22=16，
解得 x=2 或 x=−6（舍去）．
若 x<1，则 x2+2=16，
解得 x=14（舍去）或 x=−14．
综上，可得 x=2 或 x=−14．
29. （1） 当 0≤x≤1 时，由 21−x≤x，得 x≥23，故 23≤x≤1；
当 1综上可知，不等式的解集为 x23≤x≤2．
（2） 由题意可知，f0=2，f1=0，f2=1．
当 x=0 时，f30=fff0=ff2=f1=0；
同理，可求得当 x=1 时，f31=1；
当 x=2 时，f32=2．
故当 x∈A 时，恒有 f3x=x．
30. （1） 依题意 0因为 fc2=98，所以 c3+1=98，c=12．
（2） 由（1）得，fx=12x+1,0由 fx>28+1 得，
当 028+1，所以 24当 12≤x<1 时，2−4x+1>28+1，所以 12≤x<58．
综上可知，24所以 fx>28+1 的解集为 x2431. （1） fx=0,0≤x<1,1,1≤x<2,2,2≤x<3,3,3≤x<4.
（2） gx=x−fx=x,0≤x<1,x−1,1≤x<2,x−2,2≤x<3,x−3,3≤x<4, 图象如答图所示．
（3） 方程 gx−lgax−12=0 仅有一根等价于 gx 与 hx=lgax−12 的图象仅有一个交点．由答图可知：
当 0当 a>1 时，h2=lga32>1=lgaa 或 h3=lga52<1,h4=lga72≥1, 解得 1综上，a 的范围是 12,1∪1,32∪52,72．