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2022届高考大一轮复习知识点精练：集合相等
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这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：集合相等，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 下列命题中正确的
① 0 与 0 表示同一个集合；
②由 1，2，3 组成的集合可表示为 1,2,3 或 3,2,1；
③方程 x−12x−2=0 的所有解的集合可表示为 1,1,2；
④集合 x4A. 只有①和④B. 只有②和③
C. 只有②D. 以上语句都不对
2. 若 a2,0,−1=a,b,0，则 a2011+b2011 的值为
A. 0B. 1C. −1D. 2
3. 下列集合中，不同于另外三个集合的是
A. xx=1B. xx2=1
C. 1D. yy−12=0
4. 已知集合 A=x0A. 0B. −12C. 2D. 5
5. 已知集合 A=2,−1，集合 B=m2−m,−1，且 A=B，则实数 m 等于
A. 2B. −1C. 2 或 −1D. 4
6. 若 1,2=xx2+bx+c=0，则
A. b=−3，c=2B. b=3，c=−2C. b=−2，c=3D. b=2，c=−3
7. 下列关系正确的是
A. 3∈y∣y>πB. a,b=b,a
C. 0.3∉QD. x∣x2+2,x∈R=∅
8. 下列各组中集合 P 与 Q 表示同一个集合的是
A. P 是由元素 1，3，π 构成的集合，Q 是由元素 π，1，∣−3∣ 构成的集合
B. P 是由 π 构成的集合，Q 是由 3.1415926 构成的集合
C. P 是由 2，3 构成的集合，Q 是由有序数对 2,3 构成的集合
D. P 是满足不等式 −1≤x≤1 的自然数构成的集合，Q 是方程 x2=1 的解集
9. 下列各组集合中表示同一集合的是
A. M=3,2，N=2,3
B. M=3,2，N=2,3
C. M=x,y∣x+y=1，N=y∣x+y=1
D. M=1,2，N=1,2
10. 设 a,b∈R，集合 1,a+b,a=0,ba,b，则 b−a=
A. 1B. −1C. 2D. −2
11. 设 a,b∈R，集合 1,a+b,a=0,b,ba，则 b−a 等于
A. 1B. −1C. 2D. −2
12. 下列各组集合中表示同一集合的是
A. M=3,2，N=2,3
B. M=2,3，N=3,2
C. M=x,yx+y=1，N=yx+y=1
D. M=2,3，N=2,3
13. 已知 a,b∈R，集合 A=1,a+b,a，B=0,ba,b．若 A=B，则 b−a 的值是
A. 1B. −1C. 2D. −2
14. 已知集合 P=yy=x2+1，Q=xy=x2+1，L=x,yy=x2+1，M=xx≥1，则
A. P=QB. Q=LC. L=MD. M=P
15. 下列各组中的两个集合 M 和 N，表示同一集合的是
A. M=π，N=3.14159
B. M=2,3，N=2,3
C. M=x∣−1D. M=1,3,π，N=π,1,−3∣
16. 设 a,b∈R，集合 1,a+b,a=0,b,ba，则 b−a 等于
A. 1B. −1C. 2D. −2
17. 已知集合 P=x 2x−13x−2=2x−13x−2,x∈R，则下列集合中与 P 相等的是
A. x 2x−13x−2>0,x∈R
B. x 2x−13x−2≥0,x∈R
C. x y=lg2x−13x−2
D. x y=2x−13x−2+3x−20
18. 已知集合 P=x2x−13x−2=2x−13x−2,x∈R，则下列集合中与 P 相等的是
A. x2x−13x−2>0,x∈R
B. x2x−13x−2≥0,x∈R
C. xy=lg2x−13x−2
D. xy=2x−13x−2+3x−20
19. 已知 M=a−3,2a−1,a2+1，N=−2,4a−3,3a−1，若 M=N，则实数 a 的值为
A. 1B. 3C. 1 或 3D. −1
20. 已知函数 fx=m⋅2x+x2+nx，记集合 A=xfx=0,x∈R，集合 B=xffx=0,x∈R．若 A=B，且 A，B 都不是空集，则 m+n 的取值范围是
A. 0,4B. −1,4C. −3,5D. 0,7
二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知 A∪1,2,3=1,2,3,4，则集合 A 所有可能的个数是 ．
22. 设关于 x 的方程 ∣x−2∣+∣2x−3∣=∣ax+b∣a,b∈R 解集为 M，关于 x 的不等式 x−22x−3≥0 的解集为 N，若集合 M=N，则 a⋅b= ．
23. 若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”．对于集合 A=−1,12,1，B=xax2=1,a≥0，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则实数 a 的值为 ．
24. 若由“a，ba，1”三个元素构成的集合 A 与由“a2，a+b，0”三个元素构成的集合 B 相等，则 a2019+b2020 的值为 ．
25. 已知集合 A=a,a−1，B=2,y，C=x1（1）若 A=B，则 y 的值为 ；
（2）若 A⊆C，则 a 的取值范围为 ．
三、解答题（共6小题；共78分）
26. 已知集合 P=2,x,y，Q=2x,2,y2，且 P=Q, 求 x，y 的值．
27. 已知非空集合 S 的元素都是整数，且满足：对于任意给定的 x,y∈S（x，y 可以相同），有 x+y∈S 且 x−y∈S．
（1）集合 S 能否为有限集，若能，求出所有有限集，若不能，请说明理由；
（2）证明：若 3∈S 且 5∈S，则 S=Z．
28. 已知集合 X=xx=2n+1,n∈Z，Y=yy=4k±1,k∈Z，试证明 X=Y．
29. 设集合 A=a,a2,b+1，B=0,a,b 且 A=B．求 a，b 的值．
30. 已知集合 A=a,ab,lg2ab 和集合 B=0,a,b，若 A=B，求实数 a，b 的值．
31. 已知集合 A=x−2≤x≤5．
（1）若 B⊆A，B=xm+1≤x≤2m−1,m为常数，求实数 m 的取值范围．
（2）若 A⊆B，B=xm+1≤x≤2m−1,m为常数，求实数 m 的取值范围．
（3）若 B=xm+1≤x≤2m−1,m为常数，是否存在实数 m，使得 A=B?若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由．
答案
第一部分
1. C【解析】① 0 表示元素，不是集合，所以①错误；
②根据集合元素的无序性可知，由 1，2，3 组成的集合可表示为 1,2,3 或 3,2,1，正确；
③根据集合元素的互异性可知，满足方程的解为 1,2，所以③错误；
④满足 42. A
3. B【解析】选项A，C，D中的集合均为 1，而 xx2=1=−1,1．
4. C【解析】因为 B=x−125. C
【解析】因为 A=B，
所以 m2−m=2，
所以 m=2 或 m=−1，
故选C．
6. A【解析】由题意知 1，2 为方程 x2+bx+c=0 的两个根，
所以 1+2=−b,1×2=c,
解得 b=−3，c=2．
故选A．
7. D
8. A【解析】由于A中 P，Q 元素完全相同，所以 P 与 Q 表示同一个集合；而 B，C，D中元素不相同，所以 P 与 Q 不能表示同一个集合．
9. B【解析】A中 M，N 都为点集，元素为点的坐标，顺序不同表示的点不同；
C中 M，N 分别表示点集和数集；
D中 M 为数集，N 为点集．
10. C
【解析】因为 1,a+b,a=0,ba,b，a≠0，
所以 a+b=0，则 ba=−1，
所以 a=−1，b=1，
所以 b−a=2．
11. C【解析】根据题意，集合 1,a+b,a=0,b,ba，且 a≠0，
所以 a+b=0，即 a=−b，
所以 ba=−1，且 b=1，
所以 a=−1，b=1，则 b−a=2．
12. B
13. C
14. D
15. D
16. C
17. D【解析】集合 P=x 2x−13x−2=2x−13x−2,x∈R=x 2x−13x−2≥0，
所以 P=x 2x−13x−2≥0 且 3x−2≠0，故A，B选项不正确；
选项C：x y=lg2x−13x−2=x 2x−13x−2>0，故C不正确；
选项D：x y=2x−13x−2+3x−20=x 2x−13x−2≥0 且 3x−2≠0，故D选项正确．
18. D
19. A【解析】因为 M=N，
所以 a−3+2a−1+a2+1=−2+4a−3+3a−1，
即 a2−4a+3=0，解得 a=1 或 a=3．
当 a=1 时，M=−2,1,2，N=−2,1,2，满足 M=N；
当 a=3 时，M=0,5,10，N=−2,9,8，不满足 M=N，舍去．
故所求实数 a 的值为 1．
20. A
第二部分
21. 8
22. −15
23. 0 或 1 或 4
【解析】因为 B=xax2=1,a≥0，
所以若 a=0，则 B=∅，满足 B 为 A 的子集，此时 A 与 B 构成“全食”；
若 a>0，则 B=xx2=1a,a≥0=1a,−1a，
若 A 与 B 构成“全食”或“偏食”，1a=1 或 1a=12，解得 a=1 或 a=4．
综上，实数 a 的值为 0 或 1 或 4．
24. −1
【解析】根据集合中元素的互异性，集合 A 中的三个元素“a，ba，1”互不相同，得 a≠1 且 a≠0，
由集合相等得 a2=1,a=a+b,ba=0 或 a+b=1,a2=a,ba=0.
解得 a=−1,b=0 或 a=1,b=0（舍去）．
所有 a2019+b2020=−12019=−1．
25. 1 或 3，3【解析】（1）若 a=2，则 A=1,2，
所以 y=1．
若 a−1=2，则 a=3，A=2,3，
所以 y=3，
综上，y 的值为 1 或 3．
（2）因为 C=x2所以 2所以 3第三部分
26. x=0，y=1 或 x=14，y=12．
27. （1） S=0．
（2） 证明略．
28. ①设 x0∈X，则 x0=2n0+1，且 n0∈Z．
若 n0 是偶数，可设 n0=2m，m∈Z，则 x0=4m+1，所以 x0∈Y；
若 n0 是奇数，可设 n0=2m−1，m∈Z，则 x0=22m−1+1=4m−1，所以 x0∈Y．
所以不论 n0 是奇数还是偶数，都有 x0∈Y，所以 X⊆Y．
②又设 y0∈Y，则 y0=4k0+1 或 y0=4k0−1，k0∈Z．
因为 y0=4k0+1=2⋅2k0+1 或 y0=4k0−1=2⋅2k0−1+1，
又 k0∈Z，所以 2k0∈Z，2k0−1∈Z，所以 y0∈X，所以 Y⊆X．
由①②，得 X=Y．
29. 由集合 A=B 知，a≠0，
所以 b+1=0，即 b=−1，
此时 A=a,a2,0，B=0,a,−1，
所以 a=−1，
所以 A=−1,1,0，B=0,1,−1，满足集合中元素的互异性，
所以 a=−1，b=−1．
30. a=−1，b=−1．
31. （1） ①若 B=∅，满足 B⊆A，则 m+1>2m−1，解得 m<2．
②若 B≠∅，满足 B⊆A，如图 1 所示，
则 2m−1≥m+1,m+1≥−2,2m−1≤5, 解得 2≤m≤3．
由①②可知，符合题意的实数 m 的取值范围为 mm≤3．
（2） 若 A⊆B，如图 2 所示，
依题意有 m+1≤−2,2m−1≥5,m+1≤2m−1, 即 m≤−3,m≥3,m≥2.
此时 m 的取值范围是 ∅，即不存在实数 m，使 A⊆B．
（3） 假设存在满足题意的实数 m．若 A=B，则必有 m+1=−2 且 2m−1=5，此时无解．即不存在实数 m 使得 A=B．
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 下列命题中正确的
① 0 与 0 表示同一个集合；
②由 1，2，3 组成的集合可表示为 1,2,3 或 3,2,1；
③方程 x−12x−2=0 的所有解的集合可表示为 1,1,2；
④集合 x4
C. 只有②D. 以上语句都不对
2. 若 a2,0,−1=a,b,0，则 a2011+b2011 的值为
A. 0B. 1C. −1D. 2
3. 下列集合中，不同于另外三个集合的是
A. xx=1B. xx2=1
C. 1D. yy−12=0
4. 已知集合 A=x0
5. 已知集合 A=2,−1，集合 B=m2−m,−1，且 A=B，则实数 m 等于
A. 2B. −1C. 2 或 −1D. 4
6. 若 1,2=xx2+bx+c=0，则
A. b=−3，c=2B. b=3，c=−2C. b=−2，c=3D. b=2，c=−3
7. 下列关系正确的是
A. 3∈y∣y>πB. a,b=b,a
C. 0.3∉QD. x∣x2+2,x∈R=∅
8. 下列各组中集合 P 与 Q 表示同一个集合的是
A. P 是由元素 1，3，π 构成的集合，Q 是由元素 π，1，∣−3∣ 构成的集合
B. P 是由 π 构成的集合，Q 是由 3.1415926 构成的集合
C. P 是由 2，3 构成的集合，Q 是由有序数对 2,3 构成的集合
D. P 是满足不等式 −1≤x≤1 的自然数构成的集合，Q 是方程 x2=1 的解集
9. 下列各组集合中表示同一集合的是
A. M=3,2，N=2,3
B. M=3,2，N=2,3
C. M=x,y∣x+y=1，N=y∣x+y=1
D. M=1,2，N=1,2
10. 设 a,b∈R，集合 1,a+b,a=0,ba,b，则 b−a=
A. 1B. −1C. 2D. −2
11. 设 a,b∈R，集合 1,a+b,a=0,b,ba，则 b−a 等于
A. 1B. −1C. 2D. −2
12. 下列各组集合中表示同一集合的是
A. M=3,2，N=2,3
B. M=2,3，N=3,2
C. M=x,yx+y=1，N=yx+y=1
D. M=2,3，N=2,3
13. 已知 a,b∈R，集合 A=1,a+b,a，B=0,ba,b．若 A=B，则 b−a 的值是
A. 1B. −1C. 2D. −2
14. 已知集合 P=yy=x2+1，Q=xy=x2+1，L=x,yy=x2+1，M=xx≥1，则
A. P=QB. Q=LC. L=MD. M=P
15. 下列各组中的两个集合 M 和 N，表示同一集合的是
A. M=π，N=3.14159
B. M=2,3，N=2,3
C. M=x∣−1
16. 设 a,b∈R，集合 1,a+b,a=0,b,ba，则 b−a 等于
A. 1B. −1C. 2D. −2
17. 已知集合 P=x 2x−13x−2=2x−13x−2,x∈R，则下列集合中与 P 相等的是
A. x 2x−13x−2>0,x∈R
B. x 2x−13x−2≥0,x∈R
C. x y=lg2x−13x−2
D. x y=2x−13x−2+3x−20
18. 已知集合 P=x2x−13x−2=2x−13x−2,x∈R，则下列集合中与 P 相等的是
A. x2x−13x−2>0,x∈R
B. x2x−13x−2≥0,x∈R
C. xy=lg2x−13x−2
D. xy=2x−13x−2+3x−20
19. 已知 M=a−3,2a−1,a2+1，N=−2,4a−3,3a−1，若 M=N，则实数 a 的值为
A. 1B. 3C. 1 或 3D. −1
20. 已知函数 fx=m⋅2x+x2+nx，记集合 A=xfx=0,x∈R，集合 B=xffx=0,x∈R．若 A=B，且 A，B 都不是空集，则 m+n 的取值范围是
A. 0,4B. −1,4C. −3,5D. 0,7
二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知 A∪1,2,3=1,2,3,4，则集合 A 所有可能的个数是 ．
22. 设关于 x 的方程 ∣x−2∣+∣2x−3∣=∣ax+b∣a,b∈R 解集为 M，关于 x 的不等式 x−22x−3≥0 的解集为 N，若集合 M=N，则 a⋅b= ．
23. 若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”．对于集合 A=−1,12,1，B=xax2=1,a≥0，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则实数 a 的值为 ．
24. 若由“a，ba，1”三个元素构成的集合 A 与由“a2，a+b，0”三个元素构成的集合 B 相等，则 a2019+b2020 的值为 ．
25. 已知集合 A=a,a−1，B=2,y，C=x1
（2）若 A⊆C，则 a 的取值范围为 ．
三、解答题（共6小题；共78分）
26. 已知集合 P=2,x,y，Q=2x,2,y2，且 P=Q, 求 x，y 的值．
27. 已知非空集合 S 的元素都是整数，且满足：对于任意给定的 x,y∈S（x，y 可以相同），有 x+y∈S 且 x−y∈S．
（1）集合 S 能否为有限集，若能，求出所有有限集，若不能，请说明理由；
（2）证明：若 3∈S 且 5∈S，则 S=Z．
28. 已知集合 X=xx=2n+1,n∈Z，Y=yy=4k±1,k∈Z，试证明 X=Y．
29. 设集合 A=a,a2,b+1，B=0,a,b 且 A=B．求 a，b 的值．
30. 已知集合 A=a,ab,lg2ab 和集合 B=0,a,b，若 A=B，求实数 a，b 的值．
31. 已知集合 A=x−2≤x≤5．
（1）若 B⊆A，B=xm+1≤x≤2m−1,m为常数，求实数 m 的取值范围．
（2）若 A⊆B，B=xm+1≤x≤2m−1,m为常数，求实数 m 的取值范围．
（3）若 B=xm+1≤x≤2m−1,m为常数，是否存在实数 m，使得 A=B?若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由．
答案
第一部分
1. C【解析】① 0 表示元素，不是集合，所以①错误；
②根据集合元素的无序性可知，由 1，2，3 组成的集合可表示为 1,2,3 或 3,2,1，正确；
③根据集合元素的互异性可知，满足方程的解为 1,2，所以③错误；
④满足 4
3. B【解析】选项A，C，D中的集合均为 1，而 xx2=1=−1,1．
4. C【解析】因为 B=x−12
【解析】因为 A=B，
所以 m2−m=2，
所以 m=2 或 m=−1，
故选C．
6. A【解析】由题意知 1，2 为方程 x2+bx+c=0 的两个根，
所以 1+2=−b,1×2=c,
解得 b=−3，c=2．
故选A．
7. D
8. A【解析】由于A中 P，Q 元素完全相同，所以 P 与 Q 表示同一个集合；而 B，C，D中元素不相同，所以 P 与 Q 不能表示同一个集合．
9. B【解析】A中 M，N 都为点集，元素为点的坐标，顺序不同表示的点不同；
C中 M，N 分别表示点集和数集；
D中 M 为数集，N 为点集．
10. C
【解析】因为 1,a+b,a=0,ba,b，a≠0，
所以 a+b=0，则 ba=−1，
所以 a=−1，b=1，
所以 b−a=2．
11. C【解析】根据题意，集合 1,a+b,a=0,b,ba，且 a≠0，
所以 a+b=0，即 a=−b，
所以 ba=−1，且 b=1，
所以 a=−1，b=1，则 b−a=2．
12. B
13. C
14. D
15. D
16. C
17. D【解析】集合 P=x 2x−13x−2=2x−13x−2,x∈R=x 2x−13x−2≥0，
所以 P=x 2x−13x−2≥0 且 3x−2≠0，故A，B选项不正确；
选项C：x y=lg2x−13x−2=x 2x−13x−2>0，故C不正确；
选项D：x y=2x−13x−2+3x−20=x 2x−13x−2≥0 且 3x−2≠0，故D选项正确．
18. D
19. A【解析】因为 M=N，
所以 a−3+2a−1+a2+1=−2+4a−3+3a−1，
即 a2−4a+3=0，解得 a=1 或 a=3．
当 a=1 时，M=−2,1,2，N=−2,1,2，满足 M=N；
当 a=3 时，M=0,5,10，N=−2,9,8，不满足 M=N，舍去．
故所求实数 a 的值为 1．
20. A
第二部分
21. 8
22. −15
23. 0 或 1 或 4
【解析】因为 B=xax2=1,a≥0，
所以若 a=0，则 B=∅，满足 B 为 A 的子集，此时 A 与 B 构成“全食”；
若 a>0，则 B=xx2=1a,a≥0=1a,−1a，
若 A 与 B 构成“全食”或“偏食”，1a=1 或 1a=12，解得 a=1 或 a=4．
综上，实数 a 的值为 0 或 1 或 4．
24. −1
【解析】根据集合中元素的互异性，集合 A 中的三个元素“a，ba，1”互不相同，得 a≠1 且 a≠0，
由集合相等得 a2=1,a=a+b,ba=0 或 a+b=1,a2=a,ba=0.
解得 a=−1,b=0 或 a=1,b=0（舍去）．
所有 a2019+b2020=−12019=−1．
25. 1 或 3，3
所以 y=1．
若 a−1=2，则 a=3，A=2,3，
所以 y=3，
综上，y 的值为 1 或 3．
（2）因为 C=x2
26. x=0，y=1 或 x=14，y=12．
27. （1） S=0．
（2） 证明略．
28. ①设 x0∈X，则 x0=2n0+1，且 n0∈Z．
若 n0 是偶数，可设 n0=2m，m∈Z，则 x0=4m+1，所以 x0∈Y；
若 n0 是奇数，可设 n0=2m−1，m∈Z，则 x0=22m−1+1=4m−1，所以 x0∈Y．
所以不论 n0 是奇数还是偶数，都有 x0∈Y，所以 X⊆Y．
②又设 y0∈Y，则 y0=4k0+1 或 y0=4k0−1，k0∈Z．
因为 y0=4k0+1=2⋅2k0+1 或 y0=4k0−1=2⋅2k0−1+1，
又 k0∈Z，所以 2k0∈Z，2k0−1∈Z，所以 y0∈X，所以 Y⊆X．
由①②，得 X=Y．
29. 由集合 A=B 知，a≠0，
所以 b+1=0，即 b=−1，
此时 A=a,a2,0，B=0,a,−1，
所以 a=−1，
所以 A=−1,1,0，B=0,1,−1，满足集合中元素的互异性，
所以 a=−1，b=−1．
30. a=−1，b=−1．
31. （1） ①若 B=∅，满足 B⊆A，则 m+1>2m−1，解得 m<2．
②若 B≠∅，满足 B⊆A，如图 1 所示，
则 2m−1≥m+1,m+1≥−2,2m−1≤5, 解得 2≤m≤3．
由①②可知，符合题意的实数 m 的取值范围为 mm≤3．
（2） 若 A⊆B，如图 2 所示，
依题意有 m+1≤−2,2m−1≥5,m+1≤2m−1, 即 m≤−3,m≥3,m≥2.
此时 m 的取值范围是 ∅，即不存在实数 m，使 A⊆B．
（3） 假设存在满足题意的实数 m．若 A=B，则必有 m+1=−2 且 2m−1=5，此时无解．即不存在实数 m 使得 A=B．
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