2022届高考大一轮复习知识点精练：平面向量的实际应用问题

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：平面向量的实际应用问题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 一质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知 F1，F2 成 90∘ 角，且 F1，F2 的大小分别为 2 N 和 4 N，则 F3 的大小为
A. 6 NB. 2 NC. 25 ND. 27 N

2. 河水的速度为 2 km/h，一艘小船以 10 km/h 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为
A. 10 km/hB. 226 km/hC. 46 km/hD. 12 km/h

3. 人骑自行车的速度是 v1，风速为 v2，则逆风行驶的速度为
A. v1−v2B. v1+v2
C. v1−v2D. v1v2

4. 一条河的宽度为 d，一艘船出发到河的正对岸 B 处，船速为 v1，水速为 v2，则船行到 B 处时，行驶速度大小为
A. v12−v22B. v12+v22C. v12+v22D. v12−v22

5. 一艘船以 5 km/h 的速度行驶，同时河水的速度为 2 km/h，则船的实际航行速度的范围是
A. 3,7km/hB. 3,7km/hC. 3,7km/hD. 3,7km/h

6. 某人在静水中游泳的速度为 43 km/h，水流的速度为 4 km/h．若他沿着垂直于河岸的方向游泳前进，则他实际前进的方向与河岸的夹角为
A. 90∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘

7. 已知力 F 的大小 F=10，在 F 的作用下产生的位移 s 的大小 s=14，F 与 s 的夹角为 60∘，则 F 做的功为
A. 7B. 10C. 14D. 70

8. 点 P 在平面上做匀速直线运动，速度向量 v=4,−3（即点 P 的运动方向与 v 相同，且每秒移动的距离为 ∣v∣ 个单位），设开始时点 P 的坐标为 −10,10，则 5 秒后点 P 的坐标为
A. −2,4B. −30,25C. 10,−5D. 5,−10

9. 已知作用于原点的两力 F1=1,1，F2=2,3，为使它们平衡，需加力 F3 为
A. 3,4B. −3,4C. −3,−4D. 3,−4

10. 已知三个力 F1=−2,−1，F2=−3,2，F3=4,−3 同时作用于某一物体上，为了使物体保持平衡，现加一个力 F4，则 F4 等于
A. −1,−2B. 1,−2C. −1,2D. 1,2

11. 已知作用在点 A 的三个力 f1=3,4，f2=2,−5，f3=3,1 且 A1,1，则合力 f=f1+f2+f3 的终点坐标为
A. 9,1B. 1,9C. 9,0D. 0,9

12. 两个大小相等的共点力 F1，F2，当它们夹角为 90∘ 时，合力大小为 20 N，则当它们的夹角为 120∘ 时，合力大小为
A. 40 NB. 102 NC. 202 ND. 103 N

13. 已知三个力 f1=−2,−1，f2=−3,2，f3=4,−3 同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力 f4，则 f4=
A. −1,−2B. 1,−2C. −1,2D. 1,2

14. 某人骑自行车的速度为 v1，风速为 v2，则逆风行驶的速度为
A. v1−v2B. v1+v2
C. v1−v2D. v1v2

15. 当两人提起重量为 ∣G∣ 的旅行包时，夹角为 θ，两人用力大小都为 ∣F∣．若 ∣F∣=∣G∣，则 θ=
A. 30∘B. 60∘C. 90∘D. 120∘

16. 如图所示，在重 600 N 的物体上拴两根绳子，与铅垂线的夹角分别为 30∘，60∘，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为
A. 3003 N，3003 NB. 150 N，150 N
C. 3003 N，300 ND. 300 N，300 N

17. 在 △ABC 中，点 D 满足 AD=34AB，P 为 △ABC 内一点，且满足 AP=310AB+25AC，则 S△APDS△ABC=
A. 310B. 920C. 635D. 935

18. 设 O 为 △ABC 的外心，且 OA+OB+2OC=0，则 △ABC 的内角 C=
A. π6B. π4C. π3D. π2

19. 已知 O 是正三角形 ABC 内部一点，OA+2OB+3OC=0，则 △OAC 的面积与 △OAB 的面积之比是
A. 32B. 23C. 2D. 13

20. 在 △ABC 内，存在一点 P，使 ∣PA∣2+∣PB∣2+∣PC∣2 最小，则点 P 是 △ABC 的
A. 重心B. 外心C. 垂心D. 内心

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 坐标平面内一只小蚂蚁以速度 v=1,2 从点 A4,6 处移动到点 B7,12 处，其所用时间为 ．

22. 一条河的两岸平行，河水从西向东流去，一艘船从河的南岸某处出发驶向北岸．已知船的速度 ν1=20 km/h，水流速度 ν2=10 km/h，要使该船行驶的航程最短，则船速 ν1 的方向与河的南岸上游的夹角为 ．

23. 若一个质点同时受到同一平面内三个力 F1，F2，F3 的作用，其中 ∣F1∣=2 N，方向为北偏东 30∘；∣F2∣=4 N，方向为北偏东 60∘；∣F3∣=6 N，方向为北偏西 30∘．建立如图所示的平面直角坐标系，则合力 F= ．

24. 河水流速的大小为 2 m/s，一艘快艇以 10 m/s 的速度向垂直于河岸的方向行驶，则快艇在静水中的速度的大小为 m/s．

25. 一条河的两岸平行，河的宽度为 560 m，一艘船从一岸出发到河对岸，已知船的静水速度 ∣v1∣=6 km/h，水流速度 ∣v2∣=2 km/h，则行驶航程最短时，所用时间是 min（精确到 1 min）．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 在静水中划船的速度的大小是每分钟 40 m，水流速度的大小是每分钟 20 m，如果一小船从岸边某处出发，沿着垂直于水流的方向到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里?

27. 如图，用两根绳子把质量为 10 千克的物体 W 吊在水平杆子 AB 上，∠ACW=150∘，∠BCW=120∘，如果绳子的质量忽略不计，求 A 处和 B 处所受力的大小．

28. 如图所示，为了调运物资，一艘船从江的南岸 A 点出发，以 53 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东 5 km/h．
（1）试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行速度的大小与方向（用与江水的速度方向的夹角表示）．

29. 一辆消防车从 A 地去 B 地执行任务，先从 A 地沿北偏东 30∘ 方向行驶 2 千米到达 D 地，然后从 D 地沿北偏东 60∘ 方向行驶 6 千米到达 C 地，最后从 C 地沿南偏西 30∘ 方向行驶 2 千米到达 B 地．
（1）在如图所示的坐标系中画出 AD，DC，CB，AB．
（2）求 B 地相对于 A 地的位置．

30. 如图，用两根绳子把重 10 N 的物体 W 吊在水平杆子 AB 上，∠ACW=150∘，∠BCW=120∘，求 A 处和 B 处所受力的大小．（绳子的重量忽略不计）

31. 以某市人民广场的中心为原点建立平面直角坐标系，x 轴指向东，y 轴指向北．一个单位长度表示实际路程 100 米，一人步行从广场入口 A2,0 处出发，始终沿一个方向匀速前进，6 分钟时路过少年宫 C，10 分钟后到达科技馆 B−3,5．
（1）求此人的位移（说明此人行走的距离和方向）及此人行走的速度（用坐标表示）；
（2）求少年宫 C 点相对于广场中心所在的位置（参考数据：tan18∘26ʹ=13）．
答案
第一部分
1. C
2. B
3. B
4. D
5. D
6. D【解析】如图，
用 OA 表示水速，OB 表示该人游泳的速度，则他的实际前进方向与河岸的夹为 ∠AOC．
于是 tan∠AOC=∣AC∣∣OA∣=∣OB∣∣OA∣=∣v静∣∣v水∣=3，
所以 ∠AOC=60∘．
7. D【解析】F 做的功为 F⋅s=Fscs60∘=10×14×12=70．
8. C
9. C
10. D
11. A【解析】f=f1+f2+f3=3,4+2,−5+3,1=8,0，
设合力 f 的终点为 Px,y，则 OP=OA+f=1,1+8,0=9,1．
12. B【解析】F1=F2=Fcs45∘=102，当 θ=120∘，由平行四边形法则知：F合=F1=F2=102 N．
13. D【解析】由物理知识知 f1+f2+f3+f4=0，故 f4=−f1+f2+f3=1,2．
14. B【解析】由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为 v1+v2．注意速度是有方向和大小的，是一个向量．
15. D
【解析】如图所示．
∣F1∣=∣F2∣=∣G∣2csθ2．
又因为 ∣F1∣=∣F2∣=∣G∣，
所以 2csθ2=1．
所以 θ=120∘．
16. C
17. A
18. B【解析】
由 O 为 △ABC 的外心，设 OD 垂直平分 AB．又 OA+OB+2OC=0，且 ∣OA∣=∣OB∣=∣OC∣ ，而 OB+OA=2OD ，所以 ∣OD∣=22∣OA∣=22∣OB∣ ，所以 ∠BOD=45∘，∠BOA=90∘ ，得 ∠C=45∘ .
19. B【解析】由已知得 OA+OC+2OB+2OC=0．如图，D,E 分别是对应边的中点．
由平行四边形法则知
OA+OC=2OE,2OB+2OC=4OD,
故 OE=−2OD．由于 △ABC 为正三角形，故
S△AOC=23S△ADC=23×12×S△ABC=13S△ABC.
又 D,E 是中点，故 O 到 AB 的距离是正三角形 ABC 高的一半．所以 S△AOB=12×S△ABC．
∴ △OAC 的面积与 △OAB 的面积之比为 23．
20. A
【解析】以 BC 所在直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系．设 B−a,0，Ca,0，Am,n，Px,y，则
∣PA∣2+∣PB∣2+∣PC∣2=x−m2+y−n2+x+a2+y2+x−a2+y2=3x2+3y2−2mx−2ny+2a2+m2+n2=3x−m32+3y−n32+2a2+23m2+23n2.
要使上式取最小值，只需 x=m3，y=n3，即 x=−a+a+m3,y=0+0+n3.
所以点 P 为 △ABC 的重心．
第二部分
21. 3
【解析】设所用时间为 t，则 AB=tv，即 3,6=t1,2，所以 t=3．
22. 60∘
【解析】设船的实际速度为 ν，则 ν=ν1+ν2，
记 ν1 与 ν 的夹角为 θ，要使船行驶的航程最短，
则 ν⊥ν2，
所以 sinθ=ν2ν1=12，
所以 θ=30∘，
所以船速 ν1 的方向与河的南岸上游的夹角为 60∘．
23. 23−2,2+43
【解析】由题图可知 F1=1,3，F2=23,2，F3=−3,33，
所以 F=F1+F2+F3=23−2,2+43．
24. 226
【解析】设河水的流速为 v1，快艇在静水中的速度为 v2，快艇的实际速度为 v，
则 ∣v1∣=2 m/s，∣v∣=10 m/s，v⊥v1，
所以 v2=v−v1，
所以 ∣v2∣=∣v∣2+∣v1∣2=226m/s．
25. 6
第三部分
26. 如图所示，设向量 OA 的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量 OB 的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OACB，连接 OC．
依题意得 OC⊥OA，BC=OA=20，OB=40，
所以 ∠BOC=30∘．
故船应向上游且与河岸夹角为 60∘ 的方向行进．
27. ∣CE∣=∣CW∣cs30∘=10⋅32=53，∣CF∣=∣CW∣cs60∘=10×12=5．
所以 A 处受力为 85 牛，B 处受力为 49 牛．
28. （1） 如图所示，
AD 表示船速，AB 表示江水的速度．
易知 AD⊥AB，以 AD，AB 为邻边作矩形 ABCD，则 AC 表示船实际航行的速度．
（2） 在 Rt△ABC 中，∣AB∣=5，∣BC∣=∣AD∣=53，
所以 ∣AC∣=∣AB∣2+∣BC∣2=52+532=100=10km/h．
因为 tan∠CAB=∣BC∣∣AB∣=3，
所以 ∠CAB=60∘．
因此，船实际航行速度的大小为 10 km/h，方向与江水的速度方向的夹角为 60∘．
29. （1） 向量 AD，DC，CB，AB 如图所示．
（2） 由题意知 AD=BC，
所以 AD=BC，AD∥BC，
则四边形 ABCD 为平行四边形，
所以 AB=DC，则 B 地相对于 A 地的位置为“在北偏东 60∘ 的方向且距 A 地 6 千米处”．
30. 如图所示，
设 CE，CF 分别表示 A 处，B 处所受的力，10 N 的重力用 CG 表示，则 CE+CF=CG．
易得 ∠ECG=180∘−150∘=30∘，∠FCG=180∘−120∘=60∘，∠FGE=90∘，
所以易证得四边形 ECFG 为矩形，
所以 ∣CE∣=∣CG∣cs30∘=10×32=53N，
∣CF∣=∣CG∣cs60∘=10×12=5N，
所以 A 处所受力的大小为 53 N，B 处所受力的大小为 5 N．
31. （1） 依题意知 AB=−3,5−2,0=−5,5，∣AB∣=−52+52=52，∠xAB=135∘．
所以此人在沿北偏西 45∘ 方向行走．
因为 t=16 小时，所走的实际距离 s=∣AB∣×100=5002（米），
所以此人的位移为北偏西 45∘ 方向 5002 米．
设此人行走速度为 v=x,y．
因为 ∣v∣=st=30002（米/时）=302（百米/时），
所以 x=∣v∣cs135∘=−30（百米/时），
y=∣v∣sin135∘=30（百米/时），
又一个单位长度表示实际路程 100 米，
所以 v=−30,30．
（2） 因为 AC=610AB=35AB，OC=OA+AC=2,0+35−5,5=−1,3，
所以 ∣OC∣=10，tan∠COy=13，
所以 ∠COy=18∘26ʹ．
即少年宫 C 位于距离广场中心 10010 米，且在北偏西 18∘26ʹ 处．