2022届高考大一轮复习知识点精练：平面向量的数乘及其几何意义

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2022届高考大一轮复习知识点精练：平面向量的数乘及其几何意义 一、选择题（共20小题；共100分）1. AB=e1，CD=−5e1，且 AD=BC，则四边形 ABCD 是    A. 平行四边形 B. 菱形 C. 等腰梯形 D. 不等腰梯形 2. 如果 e1，e2 是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是    A. e1 与 e1+e2 B. e1−2e2 与 e1+2e2 C. e1+e2 与 e1−e2 D. e1−2e2 与 −e1+2e2 3. 若 a=−12b，b≠0，则    A. a 和 b 方向相同，∣a∣=2∣b∣ B. a 和 b 方向相同，∣b∣=2∣a∣ C. a 和 b 方向相反，∣a∣=2∣b∣ D. a 和 b 方向相反，∣b∣=2∣a∣ 4. 以下各说法中 ①若 AB∥CD，则 A，B，C，D 四点共线； ②若 a，b 是相反向量，则 a=b； ③若两非零向量 a，b 共线，则对于 λ，μ∈R，向量 λa+μb 必与 a 共线； ④若 a∥b，b∥c，则 a∥c． 正确说法的序号是    A. ①②③④ B. ②③④ C. ②④ D. ②③ 5. 设 b 是 a 的相反向量，则下列说法错误的是    A. a 与 b 的长度必相等 B. a∥b C. a 与 b 一定不相等 D. a+b=0 6. 已知向量 a，b 是两个不共线的向量，且向量 ma−3b 与 a+2−mb 共线，则实数 m 的值为    A. −1 或 3 B. 3 C. −1 或 4 D. 3 或 4 7. 设 a,b 为向量，则" a⋅b=ab“是”a∥b "的    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知点 O 是 △ABC 内一点，满足 OA+2OB=mOC，S△AOBS△ABC=47，则实数 m 为    A. 2 B. −2 C. 4 D. −4 9. 已知向量 a=4,m,2m+6，b=2,3,14m2，且 a∥b，则实数 m 的值等于    A. 6 B. −2 C. −6 D. 6 或 −2 10. 在 △ABC 中，点 P 满足 AP=2AB−AC，则    A. 点 P 不在直线 BC 上 B. 点 P 在 CB 的延长线上 C. 点 P 在线段 BC 上 D. 点 P 在 BC 的延长线上 11. 给出下列命题： ①在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，必有 AC=A1C1； ② a=b 是向量 a=b 的必要不充分条件； ③若空间向量 m，n，p 满足 m∥n，n∥p，则 m∥p． 其中正确的命题的个数是    A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 12. 设 a，b 是不共线的两个平面向量，已知 PQ=2a+kb，QR=a−b．若 P，Q，R 三点共线，则实数 k 的值为    A. 2 B. −2 C. 12 D. −12 13. 已知向量 a，b 不共线，且 PQ=a+3b，QR=−4a+2b，RS=6a+4b，则共线的三点是    A. P，Q，R B. P，R，S C. P，Q，S D. Q，R，S 14. 一直线 l 与平行四边形 ABCD 中的两边 AB，AD 分别交于点 E，F，且交其对角线 AC 于点 M，若 AB=2AE，AD=3AF，AM=λAB−μACλ,μ∈R，则 52μ−λ=    A. −12 B. 1 C. 32 D. −3 15. 已知 △ABC 的面积为 2，P，Q 分别是 AC，AB 上一点，且满足 PA+PC=0，QA=2BQ，则 △APQ 的面积为    A. 13 B. 12 C. 23 D. 1 16. 已知 a，b 是不共线的非零向量，AB=a+2b，BC=3a−b，CD=2a−3b，则四边形 ABCD 是    A. 梯形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 菱形 17. 已知 λ,μ∈R，则在以下各命题中，正确的命题共有    ① λ<0，a≠0 时，λa 与 a 的方向一定相反； ② λ>0，a≠0 时，λa 与 a 的方向一定相同； ③ λ≠0，a≠0 时，λa 与 a 是共线向量； ④ λμ>0，a≠0 时，λa 与 μa 的方向一定相同； ⑤ λμ<0，a≠0 时，λa 与 μa 的方向一定相反． A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 18. 设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则 OA+OB+OC+OD 等于    A. OM B. 2OM C. 3OM D. 4OM 19. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 an+1=an+a（n∈N*，a 为常数），若平面内的三个不共线的非零向量 OA，OB，OC 满足 OC=a1005OA+a1006OB，A，B，C 三点共线且该直线不过 O 点，则 S2010 等于    A. 1005 B. 1006 C. 2010 D. 2012 20. 已知 △ABC 满足 AB∣AB∣−AC∣AC∣=kBC（其中 k 是非零常数），则 △ABC 的形状一定是    A. 正三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 二、填空题（共5小题；共25分）21. 已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a+λb 与 −b−3a 共线，则 λ=  ． 22. 在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB+AD=λAO，则 λ=  ． 23. 已知非零向量 a，b，c 两两不平行，且 a∥b+c，b∥a+c，设 c=xa+yb，x,y∈R，则 x+2y=  ． 24. 已知抛物线 C:y=18x2 的焦点是 F，点 M 是其准线 l 上一点，线段 MF 交抛物线 C 于点 N．当 MN=23MF 时，△NOF 的面积是  ． 25. 已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD=120∘，点 E，F 分别在边 BC，DC 上，BC=3BE，DC=λDF．若 AE⋅AF=1，则 λ 的值为  ． 三、解答题（共6小题；共78分）26. 回答下列问题．（1）化简：1422a+4b−45a−2b；（2）若向量 a=3i+2j，b=2i−j，求 13a−b−a−23b+2b−a；（3）已知向量 a，b，且 5x+2y=a，3x−y=b，求 x，y． 27. 设 e1，e2 是两个不共线的平面向量，已知 CB=e1+3e2，CD=2e1−e2，BF=3e1−ke2，且 B，D，F 三点共线，求实数 k 的值． 28. 已知平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，设向量 OA=a，OB=b．（1）用向量 a，b 分别表示向量 DC，BC．（2）若 P 为直线 AB 上一点，k 是实数，且 AP=kAB，用向量 a，b 表示向量 OP． 29. 如图，已知在 △ABC 中，AC 的中点为 E，AB 的中点为 F，延长 BE 至点 P，使 EP=BE，延长 CF 至点 Q，使 FQ=CF．试用向量的方法证明 P，A，Q 三点共线． 30. 已知直角坐标平面上四点 A1,0，B4,3，C2,4，D0,2，求证：四边形 ABCD 是等腰梯形． 31. （1）设两个非零向量 e1,e2 不共线，如果 AB=2e1+3e2,BC=6e1+23e2,CD=4e1−8e2，求证：A,B,D 三点共线．（2）设 e1,e2 是两个不共线的向量，已知 AB=2e1+ke2，CB=e1+3e2，CD=2e1−e2，若 A,B,D 三点共线，求 k 的值．答案第一部分1. C 2. D 【解析】由 e1，e2 是平面内一组不共线的向量，又作为基底的向量，前提为不共线向量，所以对于选项ABC都为不共线向量，选项D中 e1−2e2 与 −e1+2e2 为共线向量，不可作为基底．故选：D．3. D 【解析】因为 a=−12b（b≠0），所以 a 和 b 方向相反，∣b∣=2∣a∣．4. D 【解析】由共线向量及相反向量的概念可知①错②对；由数乘概念和共线向量概念可知③对；在向量共线关系中，规定零向量与任意向量共线，所以要特别注意零向量．若 b 为零向量，则④错误．5. C 【解析】当 b 是 a 的相反向量时，a 与 b 的长度相等，即 a=b，所以A正确； a=−b，所以 a∥b，B正确；当 a=b=0 时，两向量相等，所以C错误；因为 a=−b，所以 a+b=0，D正确．6. A 【解析】因为向量 ma−3b 与 a+2−mb 共线，所以存在实数 k 使得：ma−3b=ka+2−mb，化为：m−ka+−3−k2−mb=0，因为向量 a，b 是两个不共线的向量，所以 m−k=0,−3−k2−m=0, 解得 m=3 或 −1．7. A 8. D 【解析】由 OA+2OB=mOC 得 13OA+23OB=m3OC，设 m3OC=OD，则 13OA+23OB=OD，所以 A，B，D 三点共线，如图所示，因为 OC 与 OD 反向共线，所以 ∣OD∣∣CD∣=mm−3，所以 S△AOBS△ABC=∣OD∣∣CD∣=mm−3=47，解得 m=−4．9. A 【解析】因为 a∥b，所以 42=m3=2m+614m2，由 42=m3 知 m=6，此时 2m+614m2=189=2，故 m=6．10. B 【解析】因为在 △ABC 中，点 P 满足 AP=2AB−AC，如图，点 D 在 AB 的延长线上且 AB=BD，点 P 在 CB 的延长线上且 CB=BP，由 2AB−AC=CD，CD=AP，所以点 P 在 CB 的延长线上，故B正确．11. B 【解析】①在正方体中 AC∥A1C1 且 AC=A1C1，所以 AC=A1C1，故①正确；②若 a=b，则 a 与 b 方向不一定相同，若 a=b，则 a=b，故 a=b 是 a=b 的必要不充分条件，故②正确；③若 n=0，则 m，p 方向任意，故③不正确．12. B 【解析】因为 a，b 是不共线的两个平面向量，所以 a−b≠0，即 QR≠0，因为 P，Q，R 三点共线，所以 PQ 与 QR 共线，所以存在实数 λ，使得 PQ=λQR，所以 2a+kb=λa−λb，所以 2=λ,k=−λ, 所以 k=−2．13. C 【解析】因为 PQ=a+3b，QR=−4a+2b，RS=6a+4b，所以 QR+RS=2a+6b=2a+3b=2PQ，即 QS=2PQ，又 QS 与 PQ 有公共点 Q，所以 P，Q，S 三点共线，经检验选项A，B，D中对应的点均不符合题意．14. A 【解析】AM=λAB−μAC=λAB−μAB+AD=λ−μAB−μAD=2λ−μAE−3μAF. 因为 E，M，F 三点共线，所以 2λ−μ+−3μ=1，即 2λ−5μ=1，所以 52μ−λ=−12．15. C 16. A 17. D 18. D 【解析】依题意知，点 M 是线段 AC 的中点，也是线段 BD 的中点，所以 OA+OC=2OM，OB+OD=2OM，所以 OA+OB+OC+OD=4OM．19. A 【解析】由 an+1=an+a 得，an+1−an=a；所以 an 为等差数列；由 OC=a1005OA+a1006OB，所以 A，B，C 三点共线；所以 a1005+a1006=a1+a2010=1，所以 S2010=12×2010=1005．20. C 【解析】在 △ABC 中，因为 AB∣AB∣−AC∣AC∣=kBC（其中 k 是非零常数），所以 AB∣AB∣−AC∣AC∣=kAC−AB，所以 AB∣AB∣+kAB=kAC+AC∣AC∣，所以 1∣AB∣+kAB=k+1∣AC∣AC，又 AB，AC 不共线，所以 1∣AB∣+k=k+1∣AC∣=0，所以 ∣AB∣=∣AC∣，所以 △ABC 是等腰三角形．又无法判断 △ABC 是否呈现其他形状，故 △ABC 一定是等腰三角形．故选C．第二部分21. −13【解析】由题意知存在 k∈R，使得 a+λb=k−b−3a，所以 λ=−k,1=3k, 解得 k=13,λ=−13.22. 2【解析】根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义求解．由向量加法的平行四边形法则，得 AB+AD=AC．又 O 是 AC 的中点，所以 AC=2AO，所以 AC=2AO，所以 AB+AD=2AO．又 AB+AD=λAO，所以 λ=2．23. −3【解析】因为非零向量 a，b，c 两两不平行，且 a∥b+c，b∥a+c，所以 a=mb+c⇒c=1ma−b， b=na+c⇒c=1nb−a，所以 1m=−1,−1=1n,⇒m=−1,n=−1. 因为 c=xa+yb，x,y∈R，所以 x=y=−1，所以 x+2y=−3，故答案为：−3．24. 433【解析】由题意知抛物线的标准方程为 x2=8y，所以焦点 F0,2，准线方程为 y=−2，设 NNʹ 垂直于准线且交准线于 Nʹ，如图，由抛物线的性质可得 ∣NNʹ∣=∣NF∣，因为 MN=23MF，可得 N 在 M，F 之间，所以 ∣MN∣=2∣NF∣=2∣NNʹ∣，所以 sin∠FMNʹ=NNʹMN=12，所以 tan∠FMNʹ=33，即直线 MF 的斜率为 33，所以直线 MF 的方程为 y=33x+2，将直线 MF 的方程代入抛物线的方程可得，x2−833x−16=0，解得 x=−43 或 x=43（舍），所以 S△NOF=12∣OF∣⋅xN=12×2×433=433.25. 2【解析】提示：由题意，AE⋅AF=AB+BE⋅AD+DF=AB+13BC⋅AD+1λDC 第三部分26. （1） 1422a+4b−45a−2b=144a+8b−20a+8b=14−16a+16b=−4a+4b.      （2） 原式=13a−b−a+23b+2b−a=13−1−1a+−1+23+2b=−53a+53b=−533i+2j+532i−j=−5+103i+−103−53j=−53i−5j.      （3） 将 3x−y=b 两边同乘 2 得 6x−2y=2b，其与 5x+2y=a 相加得 11x=a+2b，即 x=111a+211b，所以 y=3x−b=3111a+211b−b=311a−511b．27. 因为 B，D，F 三点共线，所以存在实数 λ，使得 BF=λBD．因为 BD=CD−CB=2e1−e2−e1+3e2=e1−4e2, BF=3e1−ke2，所以 3e1−ke2=λe1−4λe2，所以 3=λ,−k=−4λ, 解得 λ=3,k=12. 所以实数 k 的值为 12．28. （1） DC=AB=OB−OA=b−a，BC=OC−OB=−a−b．      （2） 因为 AP=kAB，所以 OP=OA+AP=OA+kAB=OA+kOB−OA=1−kOA+kOB=1−ka+kb.29. 因为 E 是 AC 的中点，F 是 AB 的中点，所以 AE=EC，AF=FB．又因为 BE=EP，CF=FQ，所以 BE=EP，CF=FQ，所以 AP=AE+EP=EC+BE=BC，QA=FA+QF=BF+FC=BC，所以 AP=QA．又因为向量 AP 与 QA 有公共点 A，所以 P，A，Q 三点共线．30. 由已知得，AB=4,3−1,0=3,3，CD=0,2−2,4=−2,−2．因为 3×−2−3×−2=0，所以 AB 与 CD 共线．又 AD=0,2−1,0=−1,2，BC=2,4−4,3=−2,1，且 −1×1−2×−2≠0，所以 AD 与 BC 不共线，所以四边形 ABCD 是梯形．因为 BC=−2,1，AD=−1,2，所以 ∣BC∣=5=∣AD∣，即 BC=AD．故四边形 ABCD 是等腰梯形．31. （1） 因为 BC=6e1+23e2，CD=4e1−8e2，所以 BD=BC+CD=10e1+15e2．又因为 AB=2e1+3e2，得 BD=5AB，即 BD∥AB，又因为 AB,BD 有公共点 B，所以 A,B,D 三点共线．      （2） DB=CB−CD=e1+3e2−2e1+e2=4e2−e1， AB=2e1+ke2，若 A,B,D 共线，则 AB∥DB，设 DB=λAB，所以 −1=2λ,4=λk⇒k=−8．