2022届高考大一轮复习知识点精练：函数的值域的概念与求法

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：函数的值域的概念与求法，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 下表表示 y 是 x 的函数，则函数的值域是
xx<22≤x≤3x>3y−101
A. y−1≤y≤1B. R
C. y2≤y≤3D. −1,0,1

2. 下列函数中，值域为 0,+∞ 的是
A. y=x2B. y=2xC. y=2xD. y=∣lg2x∣

3. 已知定义在 R 上的函数 fx 满足 fx+2=fx，当 0≤x≤1 时，fx=x13，则 f178=
A. 12B. 2C. 18D. 8

4. 已知函数 fx=1+x3，若 a∈R，则 fa+f−a=
A. 0B. 2+2a3C. 2D. 2−2a3

5. 已知函数 y=fx 满足 fx+1=2fx，且 f5=3f3+4，则 f4=
A. 16B. 8C. 4D. 2

6. 下列函数中，值域为区间 2,+∞ 的是
A. fx=2x2B. fx=2x+1
C. fx=∣x∣+2D. fx=x+1x

7. 函数 y=3∣x∣−1 的定义域为 −1,2，则函数的值域为
A. 2,8B. 0,8C. 1,8D. −1,8

8. 设函数 fx=sinθ3x3+3csθ2x2+tanθ，其中 θ∈0,5π12，则导数 fʹ1 的取值范围是
A. −2,2B. 2,3C. 3,2D. 2,2

9. 下列函数中，与函数 y=1x 的定义域与值域相同的是
A. y=sinxB. y=lg2xC. y=xD. y=elnx

10. 设函数 gx=x2−2x∈R，fx=gx+x+4,xA. −94,0∪1,+∞B. 0,+∞
C. 94,+∞D. −94,0∪2,+∞

11. 若函数 fx 的值域是 12,3，则函数 Fx=fx+1fx 的值域是
A. 12,3B. 2,103C. 52,103D. 3,103

12. 函数的 y=−x2−6x−5 值域为
A. 0,+∞B. 0,2C. 2,+∞D. 2,+∞

13. 已知函数 fx=a−1x+4−2a,x<11+lg2x,x≥1，若 fx 的值域为 R，则实数 a 的取值范围是
A. 1,2B. −∞,2C. 0,2D. 2,+∞

14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 x∈R，用 x 表示不超过 x 的最大整数，则 y=x 称为高斯函数．例如：−2.1=−3，3.1=3，已知函数 fx=2x+32x+1，则函数 y=fx 的值域为
A. 0,1,2,3B. 0,1,2C. 1,2,3D. 1,2

15. 函数 fx=11+x2x∈R 的值域是
A. 0,1B. 0,1C. 0,1D. 0,1

16. 函数 y=cs2x+sinx−1 的值域为
A. −14,14B. 0,14C. −2,14D. −1,14

17. 已知函数 fx=x2+ax+b 的图象过坐标原点，且满足 f−x=f−1+x, 则函数 fx 在 −1,3 上的值域为
A. 0,12B. −14,12C. −12,12D. 34,12

18. 已知函数 fx 的值域为 −32,38，则函数 gx=fx+1−2fx 的值域为
A. 12,78B. 12,1
C. 78,1D. 0,12∪78,+∞

19. 已知 x1，x2 是实系数一元二次方程 x2−3ax+a2+5=0 的两个虚数根，则函数 fx=∣x1+x2∣ 的值域为
A. 0,6B. 0,6C. 6,+∞D. 6,+∞

20. 已知 y=lg2x2−2x+17 的值域为 m,+∞，当正数 a，b 满足 23a+b+1a+2b=m 时，则 7a+4b 的最小值为
A. 94B. 5C. 5+224D. 9

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知函数 y=fx 的图象如图所示，则 y=fx 的定义域是 ，值域是 ．

22. 函数 fx=lg23x+1 的值域为 ．

23. 若函数 fx=x+abx+2a（常数 a,b∈R）是偶函数，且它的值域为 −∞,4，则该函数的解析式 fx= ．

24. 若函数 fx=lg2kx2+2k−1x+14 的值域为 R，则实数 k 的取值范围为 ．

25. 已知函数 gx=ax+1，fx=2x−1,0≤x≤2−x2,−2≤x<0，对 ∀x1∈−2,2，∃x2∈−2,2，使 gx1=fx2 成立，则实数 a 的取值范围是 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 画出下列函数的图象，并说出函数的定义域、值域；
（1）y=3x；
（2）y=8x；
（3）y=−4x+5；
（4）y=x2−6x+7．

27. 画出函数 y=x∣1−x2∣1−x2 的图象，并根据图象指出函数的值域．

28. 已知幂函数 fx=x−k2+k+2k∈Z 满足 f2（1）求 k 的值并求出相应的 fx 的解析式；
（2）对于（1）中得到的函数 fx，试判断是否存在 qq>0，使函数 gx=1−q⋅fx+2q−1⋅x 在区间 −1,2 上的值域为 −4,178?若存在，求出 q；若不存在，说明理由．

29. 已知函数 fx=1−2x，gx=x−12x2．
（1）求 fgx，gfx．
（2）若函数 hx=f1x+f1x2，求 hx 的值域．

30. 已知定理：“若 a，b 为常数，gx 满足 ga+x+ga−x=2b，则函数 y=gx 的图象关于点 a,b 中心对称”，设函数 fx=x2+a−a2x−a，定义域为 A=xx≠a,x∈R．
（1）试求 y=fx 的图象对称中心，并用上述定理证明．
（2）对于给定的 x1∈A，设计构造过程：x2=fx1，x3=fx2，⋯，xn+1=fxn．如果 xi∈Ai=2,3,4⋯，构造过程将继续下去；如果 xi∉A，构造过程将停止．若对任意 xi∈A，构造过程可以无限进行下去，求 a 的取值范围．

31. 设 μx 表示不小于 x 的最小整数，例如 μ0.3=1，μ−2.5=−2．
（1）解方程 μx−1=3；
（2）设 fx=μx⋅μx，n∈N*，试分别求出 fx 在区间 0,1，1,2 以及 2,3 上的值域；若 fx 在区间 0,n 上的值域为 Mn，求集合 Mn 中的元素的个数；
（3）设实数 a>0，gx=x+a⋅μxx−2，hx=sinπx+2x2−5x+7，若对于任意 x1,x2∈2,4 都有 gx1>hx2，求实数 a 的取值范围．
答案
第一部分
1. D【解析】函数值只有 −1，0，1 三个数值，故值域为 −1,0,1．
2. C
3. A【解析】因为 fx+2=fx，
所以 f178=f2+18=f18，
因为 18∈0,1，
所以 f18=1813=12313=12．
4. C【解析】根据题意，函数 fx=1+x3，则 fa=1+a3，f−a=1+−a3=1−a3，则有 fa+f−a=2．
5. B
6. C
7. B【解析】当 x=0 时，ymin=30−1=0，
当 x=2 时，ymax=32−1=8，故值域为 0,8．
8. D【解析】fʹx=x2sinθ+3xcsθ，fʹ1=sinθ+3csθ=2sinθ+π3．当 θ∈0,5π12 时，θ+π3∈π3,34π，所以 sinθ+π3∈22,1，从而 fʹ1∈2,2．
9. D【解析】由函数 y=1x 的定义域为 0,+∞，值域 0,+∞，
对于A：y=sinx 的定义域为 0,+∞，值域 −1,1，
所以A错误；
对于B：y=lg2x 的定义域为 0,+∞，值域 R，
所以B错误；
对于C：y=x 的定义域为 0,+∞，值域 0,+∞，
所以C错误；
对于D：y=elnx 的定义域为 0,+∞，值域 0,+∞，
所以D正确．
10. D
【解析】x0，即 x>2 或 x<−1，
此时 fx=x2+x+2，此时 fx 的取值范围是 2,+∞．
而 x≥gx 等价于 x2−x−2≤0，即 −1≤x≤2，
此时 fx=x2−x−2，此时 fx 的取值范围是 −94,0．
所以 fx 的值域是 −94,0∪2,+∞，
故选D．
11. B【解析】令 fx=t，y=t+1t，则 t∈12,3．
当 t∈12,1 时，y=t+1t 单调递减，
当 t∈1,3 时，y=t+1t 单调递增，
又当 t=12 时，y=52；
当 t=1 时，y=2；
当 t=3 时，y=103，
所以函数 Fx 的值域为 2,103．故选B．
12. B【解析】设 μ=−x2−6x−5μ≥0，
则原函数可化为：y=μ．
又因为 μ=−x2−6x−5=−x+32+4≤4，
所以 0≤μ≤4，故 μ∈0,2，
所以函数 y=−x2−6x−5 的值域为 0,2．
13. A
14. D
15. B
【解析】令 t=1+x2，则 t∈1,+∞，又 y=1t 在 t∈1,+∞ 单调递减．
所以 fx=11+x2x∈R 值域为 0,1，所以选择B．
16. C
17. B【解析】由题可知，fx 关于 x=−12 对称，
所以 −a2=−12，所以 a=1，
又 fx 的图象过坐标原点，所以 f0=b=0，
所以 fx=x2+x，因为 x∈−1,3，
所以当 x∈−1,−12 时，fx 单调递减，
当 x∈−12,3 时，fx 单调递增，
所以当 x=−12 时，fxmin=−14；
当 x=3 时，fxmax=12，故 fx 的值域为 −14,12．
18. B
19. B【解析】由方程 x2−3ax+a2+5=0 有两个虚数根可得 −3a2−4a2+5<0，解得 ∣a∣<2，
而 fx=∣x1+x2∣=∣3a∣，所以，函数 fx 的值域是 0,6．
20. A
【解析】因为 y=lg2x2−2x+17=lg2x−12+16 的值域为 m,+∞，
所以 m=4，
所以 46a+2b+1a+2b=4，
所以
7a+4b=146a+2b+a+2b46a+2b+1a+2b=145+6a+2ba+2b+4a+2b6a+2b≥14×5+4=94,
当且仅当 6a+2ba+2b=4a+2b6a+2b 时取等号，
所以 7a+4b 的最小值为 94．
第二部分
21. −3,3，1,5
22. 0,+∞
【解析】因为 3x>0，
所以 3x+1>1，
所以 lg23x+1>0，
所以 fx 的值域为 0,+∞．
23. −2x2+4
【解析】fx=bx2+ab+2x+2a2 为偶函数，则 ab+2=0．
当 a=0 时，fx=bx2，此时它的值域不可能为 −∞,4；
当 b=−2 时，fx=−2x2+2a2，则 2a2=4，从而 fx=−2x2+4．
24. 0,14∪1,+∞
【解析】设 u=kx2+2k−1x+14 的值域为 A，y=lg2u 的定义域为 B，易知 B=0,+∞，
当 k=0 时，u=−x+14，A=R，
则 A∩B=0,+∞，函数 fx 的值域为 R，符合题意；
当 k≠0 时，依题意得 k>0，B⊆A，
因此 2k−12−4×k×14≥0，
解得 k≤14 或 k≥1，
此时 k 的取值范围是 0,14∪1,+∞．
综上所述，实数 k 的取值范围为 0,14∪1,+∞．
25. −1,1
【解析】设 gx 在 −2,2 上的值域为 M，fx 在 −2,2 上的值域为 N，
由题意，可知需满足 M⊆N．
经计算：N=−4,3，故当 a≥0 时，
令 g2≤3,g−2≥−4, 解得 0≤a≤1；当 a<0 时，
令 g−2≤3,g2≥−4. 解得 −1≤a<0，综合可得 a∈−1,1．
第三部分
26. （1） 定义域为 R，值域为 R．，
（2） 定义域为 −∞,0∪0,+∞，值域为 −∞,0∪0,+∞．，
（3） 定义域为 R，值域为 R．，
（4） 定义域为 R，值域为 −2,+∞．，
27. 由题意，得 y=x,−11．
作出函数图象如图所示．
根据图象可知函数的值域为 yy≠1,且y≠−1．
28. （1） 因为 f2所以 fx 在第一象限是单调递增函数，故 −k2+k+2>0，解得 −1又因为 k∈Z，所以 k=0 或 k=1，当 k=0 或 k=1 时 −k2+k+2=2，所以 fx=x2．
（2） 假设存在 qq>0 满足题设，由（1）知 gx=−qx2+2q−1x+1，x∈−1,2，
因为 g2=−1，所以两个最值点只能在端点 −1,g−1 和顶点 2q−12q,4q2+14q 处取得，
而 4q2+14q−g−1=4q2+14q−2−3q=4q−124q≥0，
所以 gxmax=4q2+14q=178，gxmin=g−1=2−3q=−4，解得 q=2，
所以存在 q=2 满足题意．
29. （1） 因为 fx=1−2x，gx=x−12x2，
所以 fgx=1−2gx=1−2×x−12x2=1−2x+1x2x≠0；
gfx=fx−12fx2=1−2x−121−2x2x≠12．
（2） 函数 hx=f1x+f1x2=1−2×1x+1−2×1x2=2−2x−2x2=−21x+122+52．
因为 1x∈R，且 1x≠0，但是 x=−1 时，1x+122=14，
所以 hx 的值域是 −∞,52．
30. （1） 因为 fa+x+fa−x=a+x2+a−a2x+a−x2+a−a2−x=4a，
由已知定理得，y=fx 的图象关于点 a,2a 成中心对称．
（2） 因为 fx=x2+a−a2x−a=x−a+ax−a+2a，
所以当 a>0 时，fx=x2+a−a2x−a 的值域为 −∞,2a−2a∪2a+2a,+∞，
当 a=0 时，fx=x2+a−a2x−a 的值域为 −∞,0∪0,+∞，
当 a<0 时，fx=x2+a−a2x−a 的值域为 R，
因为构造过程可以无限进行下去，
所以 fx=x2+a−a2x−a≠a 对任意 x∈A 恒成立，
所以 a>2a−2aa<2a+2a或a=0a>0，
由此得到 0≤a<4．
31. （1） 由题意得：2解得：3 （2） 当 x∈0,1 吋，μx=1，x⋅μx=x∈0,1，于是 μx⋅μx=1，值域为 1，
当 x∈1,2 时，μx=2，x⋅μx=2x∈2,4，于是 μx⋅μx=3或4，值域为 3,4，
当 x∈2,3 时，μx=3，x⋅μx=3x∈6,9，于是 μx⋅μx=7或8或9，值域为 7,8,9，
设 n∈N*，当 x∈n−1,n 时，μx=n，
所以 x⋅μx=nx 的取值范围为 n2−n,n2，
所以 fx 在 x∈n−1,n 上的函数值的个数为 n，
由于区间 n2−n,n2 与 n+12−n+1,n+12 的交集为空集，
故 Mn 中的元素个数为 1+2+3+⋯+n=nn+12．
（3） 由于 0<1x2−5x+7≤43，1≤sinπx+2≤3，
因此 hx≤4，当 x=52 时取等号，即 x∈2,4 时，hx 的最大值为 4，
由题意得 x∈2,4 时，gx>4 恒成立，当 x∈2,3 时，
a>2x−x23 恒成立，
因为 2x−x23max=3，
所以 a>3，
当 x∈3,4 时，a>32x−x24 恒成立，
因为 32x−x24<94，
所以 a≥94，
综合得，实数 a 的取值范围是 3,+∞．