2022届高考大一轮复习知识点精练：辅助角公式

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：辅助角公式，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 设函数 fx=sinθ3x3+3csθ2x2+tanθ，其中 θ∈0,5π12，则导数 fʹ1 的取值范围是
A. −2,2B. 2,3C. 3,2D. 2,2

2. 已知函数 fx=sinx+acsx，当 x=π4 时，fx 取得最大值，则 a 的值为
A. −3B. −1C. 1D. 3

3. A 为 △ABC 的内角，则 sinA+csA 的取值范围是
A. 2,2B. −2,2C. −1,2D. −2,2

4. 已知函数 fx=asinx−bcsx（a，b 为常数，a≠0，x∈R）在 x=π4 处取得最小值，则函数 y=f3π4−x 是
A. 偶函数，且它的图象关于点 π,0 对称
B. 偶函数，且它的图象关于点 3π2,0 对称
C. 奇函数，且它的图象关于点 3π2,0 对称
D. 奇函数，且它的图象关于点 π,0 对称

5. csα+3sinα 化简为
A. 2sinπ3+αB. 2sinπ6+αC. 12sinπ3+αD. 12sinπ6+α

6. 在 △ABC 中，已知 tanA+B2=sinC，给出以下四个论断：
① tanA⋅ctB=1；
② 1③ sin2A+cs2B=1；
④ cs2A+cs2B=sin2C．
其中正确的是
A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③

7. 若 α 是满足 sinα+csα=2 的最小正角，则 sinα+sin2α+⋯+sin8α=
A. −1B. 22C. 1D. 0

8. 已知函数 fx=2cs2x2+sinx，则 fx 的最大值为
A. 2+1B. 2−1C. −2+1D. −2−1

9. 函数 fx=sin2x−cs2x+23sinxcsx 的最小值为
A. −2B. −3C. −2D. −1

10. 已知函数 fx=2cs2x2+sinx，则 fx 的最大值为
A. 2+1B. 2−1C. −2+1D. −2−1

11. 已知函数 fx=sinx2+csx2，则
A. fx 的最大值为 2B. fx 的最小正周期为 π
C. fx 的图象关于 x=5π2 对称D. fx 为奇函数

12. 函数 fx=csxsinx−csx+1 的最小正周期和最大值分别为
A. 2π 和 1B. π 和 2C. π 和 2+12D. 2π 和 2+12

13. 若关于 x 的方程 sinx+csx−2sinxcsx+1−a=0，x∈−π4,π4 有两个不同解，则实数 a 的取值范围为
A. 2,94B. 2,52C. 2,52D. 2,94

14. 函数 fx=sin2x−cs2x+23sinxcsx 的图象的一条对称轴为
A. x=π6B. x=π4C. x=π3D. x=π2

15. 若 α∈0,2π，则使不等式 csπ2−α≥sinπ2+α 成立的 α 的取值范围是
A. π4,π2B. π2,π
C. π4,5π4D. π4,π2∪π,5π4

16. 若 3csx−3sinx=23sinx+α，则角 α 在
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

17. 为了得到函数 y=sin2x−3cs2x 的图象，可以将函数 y=2sinx 的图象
A. 先向右平移 π6 个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的 12，纵坐标不变
B. 先向左平移 π6 个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变
C. 先向左平移 π3 个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变
D. 先向右平移 π3 个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的 12，纵坐标不变

18. 已知锐角 △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a=1，b2+c2−bc=1，则 △ABC 面积的取值范围是
A. 36,34B. 36,44C. 312,34D. 312,34

19. 已知函数 fx=3sinωx+csωxω>0 在区间 −π4,π3 上恰有一个最大值点和最小值点，则实数 ω 的取值范围为
A. 83,7B. 83,4C. 4,203D. 203,7

20. 若 x=α 时，函数 fx=3sinx+4csx 取得最小值，则 sinα 等于
A. 35B. −35C. 45D. −45

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 如图，在 △ABC 中，AC=BC，C=π2，点 O 是 △ABC 外一点，OA=2，OB=1，则平面四边形 OACB 面积的最大值是 ．

22. 若将 3sinα−csα 化成 Asinα+φA<0,0≤φ<2π 的形式，则 φ= ．

23. 若 3sinx−3csx=23sinx+φ，φ∈−π,π，则 φ= ．

24. 将 csα+3sinα 化成 Acsα+φA>0,0<φ<π 的形式是 ．

25. 若函数 fx=sinωxcsωx+3cs2ωx 的图象关于直线 x=π3 对称，则正数 ω 的最小值为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 解答题．
（1）已知 sinα=13，α∈π2,π，求 tanα 的值；
（2）若 csx−3sinx=2sinx+φ，求 φ 的一个值．

27. 求证：12sin2x1tanx2−tanx2+32cs2x=sin2x+π3．

28. 是否存在锐角 α，使得 sinα，csα 是关于 x 的方程 x2−a+1x+2a2=0 的两个实数解?若存在，求出 a 的值及相应的 α；若不存在，说明理由．

29. 已知函数 fx=2sin2π4+x−3cs2x．
（1）求 fx 的周期和单调递增区间；
（2）若关于 x 的方程 fx−m=2 在 x∈π4,π2 上有解，求实数 m 的取值范围．

30. 已知函数 fx=sinx−csxsin2xsinx．
（1）求 fx 的定义域及最小正周期；
（2）求 fx 的单调递增区间．

31. 已知函数 fx=2cs2x−1⋅sin2x+12cs4x．
（1）求 fx 的最小正周期及单调递减区间；
（2）若 α∈0,π，且 fα4−π8=22，求 tanα+π3 的值．
答案
第一部分
1. D【解析】fʹx=x2sinθ+3xcsθ，fʹ1=sinθ+3csθ=2sinθ+π3．当 θ∈0,5π12 时，θ+π3∈π3,34π，所以 sinθ+π3∈22,1，从而 fʹ1∈2,2．
2. C【解析】因为 fx=sinx+acsx=1+a2sinx+φ，
所以 fxmax=1+a2，依题意 fπ4=22+22a=1+a2，解得 a=1．
3. C
4. D
5. B
6. B【解析】因为 tanA+B2=sinC，所以 sinA+B2csA+B2=2sinA+B2csA+B2，
整理求得 csA+B=0，所以 A+B=90∘．
所以 tanA⋅ctB=tanA⋅tanA 不一定等于 1，①不正确；
所以 sinA+sinB=sinA+csA=2sinA+45∘，
45∘所以 1 cs2A+cs2B=cs2A+sin2A=1，sin2C=sin290∘=1，
所以 cs2A+cs2B=sin2C，所以④正确；
sin2A+cs2B=sin2A+sin2A=2sin2A=1 不一定成立，故③不正确．
综上知②④正确．
7. D
8. A【解析】fx=2cs2x2+sinx=1+csx+sinx=2sinx+π4+1，
当 x+π4=2kπ+π2，即 x=2kπ+π4，k∈Z 时，fx 的最大值为 2+1．
9. A【解析】因为 fx=sin2x−cs2x+23sinxcsx=−cs2x+3sin2x=2sin2x−π6，
所以函数的最小值为 −2．
10. A
【解析】fx=2cs2x2+sinx=1+csx+sinx=2sinx+π4+1，
当 x+π4=2kπ+π2，即 x=2kπ+π4，k∈Z 时，fx 的最大值为 2+1．
11. C
12. C【解析】fx=csxsinx−csx+1=12sin2x−1+cs2x2+1=22sin2x−π4+12，
函数的最小正周期为：T=π，
当 sin2x−π4=1 时，函数的最大值为：2+12．
13. D【解析】因为 sinx+csx−2sinxcsx+1−a=0，x∈−π4,π4，
所以 a=sinx+csx−2sinxcsx+1，
设 t=sinx+csx，则 2sinxcsx=t2−1，
t=sinx+csx=2sinx+π4，在 −π4,π4 上单调递增，则 t∈0,2，
所以 a=t−t2+2=−t−122+94 在 0,2 上有两个不同的解．
即 y=−t−122+94 与 y=a 的图象有两个不同的交点．
如图所示：
所以实数 a 的取值范围为 2,94．
14. C【解析】因为 fx=sin2x−cs2x+23sinxcsx=−cs2x+3sin2x=2sin2x−π6，
又 f13π=2sin12π=2 取得函数的最大值，
所以函数 fx 的图象的一条对称轴为 x=13π．
15. C
【解析】csπ2−α≥sinπ2+α⇔sinα≥csα⇔sinα−csα≥0⇔2sinα−π4≥0，
所以 2kπ≤α−π4≤π+2kπ，即 π4+2kπ≤α≤5π4+2kπ．
又 α∈0,2π，
所以 α∈π4,5π4．
16. B
17. D【解析】函数 y=sin2x−3cs2x=2sin2x−π3，所以将函数 y=2sinx 的图象向右平移 π3 个单位，得到 y=sinx−π3 的图象，再将所得图象的横坐标缩短为原来的 12，纵坐标不变得到 y=2sin2x−π3 的图象．
18. A【解析】因为 a=1，b2+c2−bc=1，
所以 b2+c2−a2=bc，
所以 csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，
所以 sinA=32，
所以由 132=bsinB=csinC，
可得：b=233sinB，c=233sinC=233sin2π3−B，
所以
S△ABC=12bcsinA=34×233sinB×233sin2π3−B=33sinB32csB+12sinB=36sin2B−π6+312.
因为 B 为锐角，可得：π6可得：π6<2B−π6<5π6，
所以 sin2B−π6∈12,1，
可得：S△ABC=36sin2B−π6+312∈36,34．
19. B【解析】函数 fx=3sinωx+csωx=2sinωx+π6ω>0．
令：ωx+π6=t，
所以：fx=2sint，
在区间 −π4,π3 上恰有一个最大值点和最小值点，
则：函数 y=2sint 恰有一个最大值点和一个最小值点在区间 −πω4+π6,ωπ3+π6，
则：−3π2<−πω4+π6≤−π2,π2<ωπ3+π6<3π2,
解得：83≤ω<203,1<ω<4,
即：83≤ω<4．
20. B
【解析】fx=3sinx+4csx=535sinx+45csx=5sinx+θ，
其中 csθ=35，sinθ=45．
若 x=α 时，fx 取得最小值，
则 α+θ=−π2+2kπ，k∈Z，
即 α=−π2+2kπ−θ，k∈Z，
则
sinα=sin−π2−θ+2kπ=sin−π2−θ=−csθ=−35.
第二部分
21. 2+54
【解析】由题意可知 △ABC 为等腰直角三角形，设 AC=BC=m，则 AB=2m．
设 ∠AOB=θ，则 △AOB 中，由 OA=2，OB=1 及余弦定理可知 12+22−2m2=4csθ，
所以 m2=5−4csθ2，
所以 S△OAB=12×2×1×sinθ=sinθ，S△ABC=m22=54−csθ．
记平面四边形 OACB 的面积为 S，
则 S=54−csθ+sinθ=54+2sinθ−π4．
因为 0<θ<π，
所以 −π4<θ−π4<3π4，
所以当 θ−π4=π2，
即 θ=3π4 时，
平面四边形 OACB 面积的最大值是 2+54．
22. 5π6
【解析】方法一：3sinα−csα=−2sinα+φ=−2sinαcsφ−2csαsinφ，
由待定系数法，得 −2csφ=3,−2sinφ=−1⇒csφ=−32,sinφ=12.
又 0≤φ<2π，
所以 φ=5π6．
方法二：由辅助角公式及诱导公式 sinx=−sinx+π，
可得 3sinα−csα=2sinα−π6=−2sinα+5π6，即 φ=5π6．
23. −π6
24. 2csα−π3
25. 14
第三部分
26. （1） 由已知 sinα=13，
又 sin2α+cs2α=1，
且 α∈π2,π，
所以 csα=−1−sin2α，
即 csα=−223，
所以 tanα=−24．
（2） 由于 csx−3sinx=2sinx+φ，则
csx−3sinx=2sinxcsφ+2csxsinφ，
于是 2sinφ=1，2csφ=−3，
即 sinφ=12，csφ=−32，
所以 φ 的一个值是 5π6．（答案不唯一）
27. 左边=12sin2xcsx2sinx2−sinx2csx2+32cs2x=12sin2x⋅cs2x2−sin2x2sinx2csx2+32⋅cs2x=sin2x⋅csxsinx+32cs2x=12sin2x+32cs2x=sin2x+π3=右边,
原等式得证．
28. 利用 sinα+csα2=1+2sinα⋅csα，
即 a+12=1+2×2a2，得 a=0 或 a=23．
当 a=0 时，sinα⋅csα=0（舍）；
当 a=23 时，sinα+csα=53∉−2,2 也应舍去．
因此满足条件的锐角 α 不存在．
29. （1） fx=2sin2π4+x−3cs2x=1−csπ2+2x−3cs2x=1+sin2x−3cs2x=2sin2x−π3+1，
周期 T=π；2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，
解得 fx 的单调递增区间为 kπ−π12,kπ+5π12k∈Z．
（2） x∈π4,π2，所以 2x−π3∈π6,2π3，
sin2x−π3∈12,1，
所以 fx 的值域为 2,3．
而 fx=m+2，所以 m+2∈2,3，即 m∈0,1．
30. （1） 由 sinx≠0 可知原函数的定义域为 xx≠kπ,k∈Z．
对原函数进行化简可得
fx=sinx−csxsin2xsinx=sinx−csx2sinxcsxsinx=2sinx−csxcsx=sin2x−1−cs2x=2sin2x−π4−1.
所以最小正周期为 π．
（2） 根据 fx=sinx 的单调递增区间及原函数的定义域可得出：
原函数的单调递增区间为 −π8+kπ,kπ,kπ,3π8+kπk∈Z．
31. （1） fx=2cs2x−1sin2x+12cs4x=cs2xsin2x+12cs4x=12sin4x+cs4x=22sin4x+π4,
所以 fx 的最小正周期 T=π2．
令 2kπ+π2≤4x+π4≤2kπ+32πk∈Z，
得 kπ2+π16≤x≤kπ2+5π16k∈Z．
所以 fx 的单调递减区间为 kπ2+π16,kπ2+5π16k∈Z．
（2） 因为 fα4−π8=22，即 sinα−π4=1．
因为 α∈0,π，−π4<α−π4<3π4，所以 α−π4=π2，故 α=3π4．
因此
tanα+π3=tan3π4+tanπ31−tan3π4tanπ3=−1+31+3=2−3.