2022届高考大一轮复习知识点精练：均值不等式及其应用

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：均值不等式及其应用，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 函数 y=x2+2x−1x>1 的最小值是
A. 23+2B. 23−2C. 23D. 2

2. 设 x>0，y>0，若 2x+1y=1，则 yx 的
A. 最小值为 8B. 最大值为 8C. 最小值为 2D. 最大值为 2

3. 下列函数中最小值为 4 的是
A. y=x2+2x+4B. y=sinx+4sinx
C. y=2x+22−xD. y=lnx+4lnx

4. 已知 x,y∈0,+∞，x+y=1，则 xy 的最大值为
A. 1B. 12C. 13D. 14

5. 若 x>0，y>0 且 x+y=4，则下列不等式中恒成立的是
A. 1x+y>14B. 1x+1y≥1C. xy≥2D. 1xy≥1

6. 将一根长为 12 m 的铁管 AB 折成一个 60∘ 的角 ∠ACB，然后将 A，B 两端用木条封上，从而构成三角形 ACB 在不同的折法中，△ACB 面积 S 的最大值为
A. 9B. 93C. 18D. 183

7. 设正实数 a，b，c 满足 a2−3ab+4b2−c=0，则当 abc 取得最大值时，2a+1b−2c 最大值为 ( )
A. 0B. 1C. 94D. 3

8. 已知正数 m，n 满足 4m×8n=2，则 3m+2n 的最小值为
A. 24B. 18C. 16D. 12

9. 已知 ⊙M 的圆心在曲线 y=2xx>0 上，且 ⊙M 与直线 2x+y+1=0 相切，则 ⊙M 的面积的最小值为
A. 9π5B. 4πC. 5πD. 9π

10. 已知 △ABC 的外接圆圆心为 O，∠A=120∘，若 AO=xAB+yACx,y∈R，则 x+y 的最小值为
A. 12B. 23C. 32D. 2

11. 在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=3，P 为矩形内一点，且 AP=32，若 AP=λAB+μADλ,μ∈R，则 λ+3μ 的最大值为
A. 62B. 3+34C. 6+324D. 32

12. 设正实数 x，y，z 满足 x2−3xy+4y2−z=0．则当 xyz 取得最大值时，4x+1y−2z 的最大值为
A. 0B. 1C. 94D. 3

13. 已知正项等比数列 an 满足 a7=a6+2a5，若存在两项 am，an 使得 aman=4a1，则 1m+4n 的最小值为
A. 32B. 53C. 256D. 不存在

14. 如果两个正方形的边长之和为 1，那么它们的面积之和的最小值是
A. 14B. 12C. 1D. 2

15. 若 120，且 x+y=1，则 3x+4y 的最小值为
A. 7+23B. 7+43C. 7+63D. 7+83

17. 设 an 是等差数列.下列结论中正确的是
A. 若 a1+a2>0，则 a2+a3>0
B. 若 a1+a30，b>0，且 1a+1b=1，则 4a+b 的最小值是
A. 2B. 6C. 3D. 9

20. 已知棱长为 3 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线 AC1 为轴，则该圆柱侧面积的最大值为
A. 32πB. 23πC. 92π4D. 92π8

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知 x>0，y>0，且 2x+8y−xy=0，则 x+y 的最小值为 ．

22. 对于正数 a，b，称 a+b2 是 a，b 的算术平均值，并称 ab 是 a，b 的几何平均值．设 x>1，y>1，若 lnx，lny 的算术平均值是 1，则 ex，ey 的几何平均值（e 是自然对数的底）的最小值是 ．

23. 已知 a,b,c∈R+，且 ab+2ac=4，则 2a+2b+2c+8a+b+2c 的最小值是 ．

24. 已知正实数 x，y 满足 x+y=1x+9y+6，则 x+y 的最小值是 ．

25. 在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60∘．动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且 BE=λBC，DF=19λDC，则 AE⋅AF 的最小值为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 某网店有 3（万件）商品，计划在元旦旺季售出商品 x（万件）．经市场调查测算，花费 t（万元）进行促销后，商品的剩余量 3−x 与促销费 t 之间的关系为 3−x=kt+1（其中 k 为常数），如果不搞促销活动，只能售出 1（万件）商品．
（1）要使促销后商品的剩余量不大于 0.1（万件），促销费 t 至少为多少（万元）?
（2）已知商品的进价为 32（元/件），另有固定成本 3（万元）．定义每件售出商品的平均成本为 32+3x（元）．若将商品售价定为：“每件售出商品平均成本的 1.5 倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费 t 为多少（万元）时，该网店售出商品的总利润最大?此时商品的剩余量为多少?

27. 已知 a>0，b>0，a+b=2．
（1）求证：a+1+b+1≤22；
（2）若不等式 ∣2x+1∣−∣2x−3∣≥ab 对满足已知条件的所有 a，b 都成立，求实数 x 的取值范围．

28. 已知函数 fx=∣x+a∣+∣x−b∣．
（1）当 a=1，b=2 时，求不等式 fx≥5 的解集；
（2）设 a>0，b>0，若 fx 的最小值为 2，证明：1a+1b+1≥43．

29. 某校运会上无人机飞行表演，在水平距离 x∈10,24（单位：米）内的飞行轨迹如图所示，y 表示飞行高度（单位：米）．其中当 x∈10,20 时，轨迹为开口向上的抛物线的一段（端点为 M，Q），当 x∈20,24 时，轨迹为线段 QN，经测量，起点 M10,24，终点 N24,24，最低点 P14,8．
（1）求 y 关于 x 的函数解析式．
（2）在 A0,24 处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角 θ 的最小值．（精确到 0.1∘）

30. 设椭圆 M:y2a2+x2b2=1a>b>0 的离心率与双曲线 x2−y2=1 的离心率为倒数，且椭圆的长轴长为 4．
（1）求椭圆 M 的方程；
（2）若直线 y=2x+m 交椭圆 M 于 A，B 两点，P1,2 为椭圆 M 上一点，求 △PAB 面积的最大值．

31. 已知函数 fx=∣x−a∣+∣2x−1∣−1a∈R 的一个零点为 1．
（1）求不等式 fx≤1 的解集；
（2）若 1m+2n−1=am>0,n>1，求证：m+2n≥11．
答案
第一部分
1. A
2. A
3. C【解析】对于A，y=x2+2x+4=x+12+3≥3，当且仅当 x=−1 时取等号，所以其最小值为 3，A不符合题意；
对于B，因为 00，y=2x+22−x=2x+42x≥24=4，当且仅当 2x=2，即 x=1 时取等号，所以其最小值为 4，C符合题意；
对于D，y=lnx+4lnx，函数定义域为 0,1∪1,+∞，而 lnx∈R 且 lnx≠0，如当 lnx=−1，y=−5，D不符合题意．
4. D【解析】因为 x,y∈0,+∞，x+y=1，
所以有 1=x+y≥2xy⇒xy≤122=14，
当且仅当 x=y=12 时取等号．
故选：D．
5. B
【解析】对于A，因为 x+y=4，
所以 1x+y=14，
所以A不正确；
对于B，若 x>0，y>0，由 x+y=4，得 x+y4=1，
所以 1x+1y=14x+y1x+1y=142+yx+xy≥142+2=1，
当且仅当 x=y=2 时，等号成立，
所以B正确；
对于C，因为 x>0，y>0，由 x+y=4，
所以 4=x+y≥2xy，即 xy≤2，
当且仅当 x=y=2 时，等号成立，
所以C不正确；
对于D，由上面可知 xy≤2，则 xy≤4，得 1xy≥14，
所以D不正确．
6. B【解析】设 AC=x，00，且 a5≠0，
化简得 q2−q−2=0，解得 q=2 或 q=−1 （舍去）．
由 aman=4a1，得 a1qm−1⋅a1qn−1=16a12，
所以 qm+n−2=16=24，所以 m+n=6，
所以
1m+4n=1m+4n⋅m+n6=165+4mn+nm≥165+24mn⋅nm=32,
当且仅当 4mn=nm，即 m=2，n=4 时，等号成立．
14. B【解析】设两正方形的边长分别为 a，b，
则：a+b=1，a>0，b>0，
所以 2ab≤1，当且仅当 a=b=12 时取等号，
所以 ab≤14，
所以 a2+b2=a+b2−2ab=1−2ab≥1−12=12，
当且仅当 a=b=12 时取等号．
故选：B．
15. D
【解析】因为 120，
两边平方 y2=2x−1+5−2x+22x−1⋅5−2x=4+22x−1⋅5−2x，
又 22x−1⋅5−2x≤2x−1+5−2x=4，
所以 y2≤8，00，y>0，且 x+y=1，
所以 3x+4y=3x+4y×x+y=7+3yx+4xy≥7+23yx⋅4xy=7+43，
当且仅当 3yx=4xy，即 2x=3y 时等号成立，
所以 3x+4y 的最小值为 7+43．
17. C【解析】四个选项每个条件不同，可逐个判断，
对于选项A，由于 a2+a3=a1+a2+2d，故 a2+a3 的正负不能由 a1+a2 确定；
对于选项B，若 a1+a30，a+b=2，
所以 ab=ab2≤a+b22=1，当且仅当 a=b=1 时取等号，
所以 ab 的最大值为 1，
所以不等式 ∣2x+1∣−∣2x−3∣≥ab 对满足已知条件的所有 a，b 都成立，
等价于 ∣2x+1∣−∣2x−3∣≥1 成立，
当 x≤−12 时，不等式化为 −2x−1−3−2x≥1，
化简得 −4≥1，不成立，所以不等式无解；
当 −1232 时，不等式化为 2x+1−2x−3≥1，
化简得 4≥1，恒成立，所以 x>32，
所以 ∣2x+1∣−∣2x−3∣≥1 的解集为 34,+∞．
综上，实数 x 的取值范围是 34,+∞．
28. （1） 将 a=1，b=2 代入 fx≥2，
等价于：x≤−1,1−7x≥5 或 −10，得 −22