2022届高考大一轮复习知识点精练：平面向量数乘的坐标运算

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：平面向量数乘的坐标运算，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 已知平面向量 a=1,x，b=y,1，若 a∥b，则实数 x，y 一定满足
A. xy−1=0B. xy+1=0C. x−y=0D. x+y=0

2. 已知向量 a=1,k，b=k,2，若 a 与 b 方向相同，则 k 等于
A. 1B. ±2C. −2D. 2

3. 已知向量 a=a,a+2，b=1,2，且向量 a 与 b 共线，则实数 a 的值为
A. 3B. 4C. 2D. 2

4. 已知向量 a=2,2，b=x,4，若 3a+4b∥5b−a，则 x=
A. 2B. 3C. 4D. 5

5. 设向量 a=3x,−2，b=−6,2，若 a∥b，则 x=
A. −29B. 29C. −2D. 2

6. 已知平面向量 a=4,2，b=x,3，a∥b，则实数 x 的值等于
A. 6B. 1C. 32D. −32

7. 平面向量 m=1,2−b 与 n=2,aa>0,b>0 共线，则 1a+1b 的最小值为
A. 42B. 2C. 34+22D. 3+22

8. 设向量 OA=1,−2，OB=2m,−1，OC=−2n,0，m,n∈R，O 为坐标原点，若 A，B，C 三点共线，则 m+n 的最大值为
A. −3B. −2C. 2D. 3

9. 如图，四边形 ABCD 是正方形，延长 CD 至点 E，使得 DE=CD．若 P 为线段 DC 上的点，CP=PD，且 AP=mAE+nAB，则 m−n=
A. 1B. 2C. −1D. −12

10. 在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上．若 AP=λAB+μAD，则 λ+μ 的最大值为
A. 3B. 22C. 5D. 2

11. 已知 a，b 为两个非零向量，若 a=x1,y1，b=x2,y2，则“x1x2=y1y2”是“a∥b”的
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件

12. 已知 M3,−2，N−5,−1，且 MP=12MN，则 P 点的坐标为
A. −8,1B. −1,−32C. 1,32D. 8,−1

13. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A1,0，B0,1，C 为坐标平面内第一象限内的点，且 ∠AOC=π4，∣OC∣=2，若 OC=λOA+μOB，则 λ+μ=
A. 22B. 2C. 2D. 42

14. 已知向量 OM=1,0，ON=0,2，NP=tNM，则当 OP 取最小值时，实数 t=
A. 13B. 15C. 45D. 23

15. 已知向量 OA=1,−3，OB=2,−1，OC=k+1,k−2，若 A，B，C 三点不能构成三角形，则实数 k 应满足的条件是
A. k=−2B. k=12C. k=1D. k=−1

16. 已知向量 a=2,−3，b=1,2，p=9,4，若 p=ma+nb，则 m+n 等于
A. 3B. 5C. 7D. 9

17. 向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量 λa+b 与 c 共线，则实数 λ=
A. −2B. −1C. 1D. 2

18. 已知向量 a=1,2，b=2,x，a+b 与 b 平行，则实数 x 的值为
A. 1B. 2C. 3D. 4

19. 在 △ABC 中，AB=6，BC=8，AB⊥BC，M 是 △ABC 外接圆上一动点，若 AM=λAB+μAC，则 λ+μ 的最大值是
A. 1B. 54C. 43D. 2

20. 已知向量 m=sinA,12 与向量 n=3,sinA+3csA 共线，其中 A 是 △ABC 的内角，则角 A 的大小为
A. π6B. π4C. π3D. π2

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知 a=m−2,−3，b=−1,m，若 a∥b，则 m= ．

22. 已知 AD 为 △ABC 的中线，G 为重心，点 A 为 6,−2，点 G 为 4,0，则点 D 的坐标为 ．

23. 设两个向量 a=λ+2,λ2−cs2θ，b=μ,μ2+sinθ，其中 λ,μ,θ∈R．若 a=2b，则 λμ 的最小值为 ．

24. 已知点 A1,1，B−1,5，若 AC=12AB，则点 C 的坐标为 ．

25. 在 △ABC 中，已知 A−4,0，B4,0，且 sinA−sinB=12sinC，则点 C 的轨迹方程是 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 已知向量 a=1,2，向量 b=−3,2．
（1）求向量 a−2b 的坐标；
（2）当实数 k 为何值时，向量 ka+b 与向量 a−2b 共线?

27. 已知 OA=1,1，OB=3,−1，OC=a,b．
（1）若 A，B，C 三点共线，求 a+b 的值．
（2）若 AC=2AB，求点 C 的坐标．

28. 已知 a=−1,2，b=2,1，求：
（1）2a+3b；
（2）a−3b；
（3）12a−13b．

29. 已知三点 A2,3，B5,4，C7,10，点 P 满足 AP=AB+λACλ∈R．
（1）当 λ 为何值时，点 P 在函数 y=x 的图象上?
（2）若点 P 在第三象限，求实数 λ 的取值范围．

30. 已知 A，B，C 三点的坐标分别为 −1,0，3,−1，1,2，且 AE=13AC，BF=13BC，求证 EF∥AB．

31. 已知抛物线 C:y2=2px 经过点 P1,2．过点 Q0,1 的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N．
（1）求直线 l 的斜率的取值范围；
（2）设 O 为原点，QM=λQO，QN=μQO，求证：1λ+1μ 为定值．
答案
第一部分
1. A【解析】因为 a∥b，
所以 1×1−xy=0，即 xy−1=0．
2. D【解析】向量 a=1,k，b=k,2，若 a 与 b 方向相同，则 k>0,k2−1×2=0,
解得 k=2．
3. D
4. C【解析】由向量 a=2,2，b=x,4，
所以 3a+4b=6+4x,22，5b−a=5x−2,18；
又 3a+4b∥5b−a，
所以 186+4x−225x−2=0，解得 x=4．
5. D
【解析】向量 a=3x,−2，b=−6,2，
若 a∥b，则 2×3x−−2×−6=0，
解得 x=2．
6. A
7. C【解析】平面向量 m=1,2−b 与 n=2,aa>0,b>0 共线，
所以 a−22−b=0，
所以 a+2b=4，
所以
1a+1b=141a+1ba+2b=143+2ba+ab≥143+22ba⋅ab=34+22.
当且仅当 a=42−4，b=4−2 时取等号．
8. A【解析】由题意易知，AB∥AC，其中 AB=OB−OA=2m−1,1，AC=OC−OA=−2n−1,2，
所以 2m−1×2=1×−2n−1，得 2m+1+2n=1，2m+1+2n≥22m+n+1，
所以 2m+n+1≤2−2，即 m+n≤−3．
9. D【解析】由题意，设正方形 ABCD 的边长为 1，建立平面直角坐标系如图所示，
则 A0,0，B1,0，C1,1，D0,1，E−1,1，
所以 AB=1,0，AE=−1,1，AD=0,1，
所以 AP=mAE+nAB=n−m,m，
又因为 P 为 CD 的中点，
所以 AP=DP+AD=12AB+AD=12,0+0,1=12,1，
所以 n−m=12,m=1, 解得 m=1,n=32,
所以 m−n=−12．
10. A
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系．
设 A0,1，B0,0，C2,0，D2,1，Px,y，
易得圆的半径 r=25，即圆 C 的方程是 x−22+y2=45，
AP=x,y−1，AB=0,−1，AD=2,0，
若满足 AP=λAB+μAD，则 x=2μ,y−1=−λ,
μ=x2，λ=1−y，
所以 λ+μ=x2−y+1，
设 z=x2−y+1，即 x2−y+1−z=0，点 Px,y 在圆 x−22+y2=45 上，
所以圆心 2,0 到直线 x2−y+1−z=0 的距离 d≤r，即 ∣2−z∣14+1≤25，解得 1≤z≤3，
所以 z 的最大值是 3，即 λ+μ 的最大值是 3，故选A．
11. A【解析】已知 a，b 为两个非零向量，
若 a=x1,y1，b=x2,y2，
则当“x1x2=y1y2”时，“a∥b”成立，
当“a∥b”时，x1y2−x2y1=0，
即“x1x2=y1y2”不一定成立，
故则“x1x2=y1y2”是“a∥b”的充分不必要条件．
12. B【解析】设 Px,y，则 MP=x−3,y+2，
而 12MN=12−8,1=−4,12，
所以 x−3=−4,y+2=12, 解得 x=−1,y=−32,
所以 P−1,−32．
13. A【解析】因为 ∣OC∣=2，∠AOC=π4，
所以 C2,2，
又因为 OC=λOA+μOB，
所以 2,2=λ1,0+μ0,1=λ,μ，
所以 λ=μ=2，λ+μ=22．
14. C【解析】由 NP=tNM 知 P 在直线 MN 上，当 OP⊥MN 时，OP 最小，
如图，
MN=12+22=5，又 ON2=NPNM，
所以 NP=NO2MN=225=455，NP=45NM，
这时 NP=45MN，t=45．
15. C
【解析】因为 A，B，C 三点不能构成三角形，
则 A，B，C 三点共线，则 AB∥AC，
又 AB=OB−OA=1,2，AC=OC−OA=k,k+1，
所以 2k−k+1=0，即 k=1．
16. C【解析】由于 p=ma+nb，即 9,4=2m,−3m+n,2n=2m+n,−3m+2n，
所以 2m+n=9 且 −3m+2n=4，
解得 m=2，n=5，
所以 m+n=7．
17. D
18. D【解析】由已知 a+b=3,2+x，
又 a+b∥b，
所以 3x=22+x，解得：a=4，
故选：D．
19. C【解析】以 AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
设 M 的坐标为 5csθ,5sinθ，过点 B 作 BD⊥x 轴，
因为 sinA=45，AB=6，
所以 BD=ABsinA=245，AD=ABcsA=185，
所以 OD=AO−AD=75，
所以 B−75,245，
又 A−5,0，B5,0，
所以 AB=185,245，AC=10,0，AP=5csθ+5,5sinθ，
因为 AM=λAB+μAC，
所以 5csθ+5,5sinθ=λ185,245+μ10,0，
所以 μ=12csθ−38sinθ+12，λ=2524sinθ，
所以 λ+μ=12csθ+23sinθ+12=56sinθ+φ+12，
当 sinθ+φ=1 时，λ+μmax=56+12=43．
20. C
【解析】因为 m∥n，
所以 sinAsinA+3csA−32=0，
所以 2sin2A+23sinAcsA=3，
所以 1−cs2A+3sin2A=3，
所以 sin2A−π6=1，
因为 A∈0,π，
所以 2A−π6∈−π6,11π6．
因此 2A−π6=π2，解得 A=π3．
第二部分
21. −1 或 3
22. 3,1
23. −6
【解析】因为 a=2b，
所以 λ+2=2μ,λ2−cs2θ=μ+2sinθ,
消去 λ 得 2μ−22−μ=2sinθ+cs2θ，
即有 4μ2−9μ+4=2sinθ−sin2θ+1=−sinθ−12+2，
因为 −1≤sinθ≤1，
所以 0≤sinθ−12≤4，−4≤−sinθ−12≤0，
所以 −2≤2−sinθ−12≤2，
所以 −2≤4μ2−9μ+4≤2，
解得 14≤μ≤2，
所以 12≤1μ≤4，
所以 λμ=2−2μ，
所以 −6≤2−2μ≤1，
所以 λμ 的最小值为 −6．
24. 0,3
【解析】因为 A1,1，B−1,5，
所以 AB=−2,4．
设 Ca,b，则 AC=a−1,b−1，
又 AC=12AB，
所以 a−1,b−1=12−2,4，
所以 a−1=−1，b−1=2，故 a=0，b=3，
所以点 C 的坐标为 0,3．
25. x24−y212=1x<−2
【解析】因为 sinA−sinB=12sinC，由正弦定理得 a−b=12c，即 ∣CB∣−∣CA∣=4<8=∣AB∣，所以点 C 的轨迹是以 A，B 为焦点的双曲线的左支，且 a=2，c=4，所以 b2=c2−a2=12．
所以点 C 的轨迹方程为 x24−y212=1x<−2．
第三部分
26. （1） 因为 a=1,2，b=−3,2，
所以 a−2b=1,2−2−3,2=7,−2．
（2） 因为 ka+b=k1,2+−3,2=k−3,2k+2，a−2b=7,−2，ka+b 与 a−2b 共线，
所以 72k+2=−2k−3，
解得 k=−12．
故当 k=−12 时，向量 ka+b 与向量 a−2b 共线
27. （1） 由题意知，AB=OB−OA=2,−2，AC=OC−OA=a−1,b−1．
因为 A，B，C 三点共线，
所以 AB∥AC，
所以 2b−1−−2×a−1=0，
所以 a+b=2．
（2） 因为 AC=2AB，
所以 a−1,b−1=22,−2=4,−4，
所以 a−1=4,b−1=−4, 解得 a=5,b=−3,
所以点 C 的坐标为 5,−3．
28. （1） 2a+3b=2−1,2+32,1=−2,4+6,3=4,7.
（2） a−3b=−1,2−32,1=−1,2−6,3=−7,−1.
（3） 12a−13b=12−1,2−132,1=−12,1−23,13=−76,23.
29. （1） 设 Px1,y1，
则 AP=x1−2,y1−3，
因为 AB=3,1，AC=5,7，
所以 AP=AB+λAC=3,1+λ5,7=3+5λ,1+7λ，
所以 x1−2=3+5λ,y1−3=1+7λ,
所以 x1=5+5λ,y1=4+7λ,
所以点 P 的坐标是 5+5λ,4+7λ．
令 5+5λ=4+7λ，得 λ=12，
所以当 λ=12 时，点 P 在函数 y=x 的图象上．
（2） 当点 P 在第三象限时，有 5+5λ<0,4+7λ<0 成立，
解得 λ<−1．
所以实数 λ 的取值范围是 −∞,−1．
30. 设 E，F 的坐标分别为 x1,y1，x2,y2，
依题意有 AC=2,2，BC=−2,3，AB=4,−1．
因为 AE=13AC，
所以 x1+1,y1=132,2，
所以 x1=−13，y1=23，
所以点 E 的坐标为 −13,23．
同理，点 F 的坐标为 73,0，
所以 EF=83,−23．
又 AB=4,−1，且 83×−1−4×−23=0，
所以 EF∥AB．
31. （1） 把点 P1,2 代入 y2=2px，
得 p=2，
所以 y2=4x，
设 l:y=kx+1，
联立 y=kx+1,y2=4x,
ky2−4y+4=0，
由题意有 Δ>0，
即 16−4k⋅4>0，
解得 k<1 .
因为直线 PA 、 PB 与 y 轴均有交点，
所以 k≠0，且 A 、 B 两点坐标不能取 1,−2，
于是 k≠−3 .
综上，k 的取值范围是 k<−3 或 −3 （2） 设 MxM,yM，NxN,yN，
由 QM=λQO 有 xM,yM−1=λ0,−1，
所以 λ=1−yM，
同理 μ=1−yN，
设 Ax1,y1，Bx2,y2，
由（1）有 y1+y2=4k,y1y2=4k,
直线 PA 的方程为
y−2=y1−2x1−1x−1=y1−2y124−1x−1=4y1+2x−1,
令 x=0，得 yM=2y1y1+2，
同理有 yN=2y2y2+2，
1λ+1μ=11−yM+11−yN=2+y12−y1+2+y22−y2=8−2y1y24−2y1+y2+y1y2=8−8k4−8k+4k=2,
所以 1λ+1μ 为定值 2．