2022届高考大一轮复习知识点精练：利用导数求函数的切线方程

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：利用导数求函数的切线方程，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 已知函数 fx=csx，则曲线 y=fx 在点 π2,fπ2 处的切线的斜率为
A. 0B. −1C. 1D. 2

2. 函数 fx=x4−2x3 的图象在点 1,f1 处的切线方程为
A. y=−2x−1B. y=−2x+1C. y=2x−3D. y=2x+1

3. 若直线 y=12x+b 是曲线 y=lnxx>0 的一条切线，则实数 b 的值为
A. 2B. ln2+1C. ln2−1D. ln2

4. 已知函数 fx=x3，则曲线 y=fx 的切线中斜率等于 1 的切线的条数为
A. 1B. 2C. 3D. 不确定

5. 正弦曲线 y=sinx 上切线的斜率等于 12 的点的坐标为
A. π3,32
B. −π3,−32 或 π3,32
C. 2kπ+π3,32k∈Z
D. 2kπ+π3,32 或 2kπ−π3,−32k∈Z

6. 已知点 P 在曲线 y=4ex+1 上，α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 α 的取值范围是
A. 0,π4B. π4,π2C. π2,3π4D. 3π4,π

7. 曲线 y=xe−2x+1 在 x=1 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为
A. eB. e2C. 2eD. 1e

8. 若直线 l 与曲线 y=x 和 x2+y2=15 都相切，则 l 的方程为
A. y=2x+1B. y=2x+12C. y=12x+1D. y=12x+12

9. 已知函数 fx=x3，则曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线与直线 ax−y+1=0 垂直，则 a 的值为
A. −3B. −13C. 3D. 13

10. 偶函数 fx=xex−ae−x 的图象在 x=1 处的切线斜率为
A. 2eB. eC. 2eD. e+1e

11. 已知曲线 y=ex−1 在 x=x0 处的切线方程为 ex−y+t=0，则
A. x0=1，t=−1B. x0=1，t=−e
C. x0=−1，t=−1D. x0=−1，t=−e

12. 若点 P 是曲线 y=x2−lnx 上任意一点，则点 P 到直线 x−y−2=0 的最小距离为
A. 2B. 22C. 12D. 3

13. 设 a 为实数，函数 fx=x3+ax2+a−2x 的导函数是 fʹx，且 fʹx 是偶函数，则曲线 y=fx 在原点处的切线方程为
A. y=−2xB. y=3xC. y=−3xD. y=−4x

14. 若函数 fx=exsinx，则此函数图象在点 4,f4 处的切线的倾斜角为
A. π2B. 0C. 钝角D. 锐角

15. 设函数 fx=2sinx−a−3cs2x+ax．若 fx 为奇函数，则曲线 y=fx 在点 0,0 处的切线方程为
A. y=3xB. y=5xC. y=−5xD. y=−3x

16. 已知曲线 y=fx 在点 x=0 处的切线方程为 y=3x+1，则曲线 y=fxex 在点 x=0 处的切线方程为
A. y=2x−1B. y=2x+1C. y=x−1D. y=x+1

17. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 与函数 y=xx≥0 的图象交于点 P，若函数 y=x 的图象在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F−4,0，则双曲线的离心率是
A. 17+44B. 17+34C. 17+24D. 17+14

18. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 与函数 y=xx≥0 的图象交于点 P，若函数 y=x 的图象在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F−4,0，则双曲线的离心率是
A. 17+14B. 17+24C. 17+34D. 17+44

19. 定义在 −1,1 上的函数 fx 满足 fx+1=1fx+1，当 x∈0,1 时，fx=x，若函数 gx=fx−12−mx−m+1 在 −1,1 内恰有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是
A. 32,+∞B. 32,258C. 32,2516D. 23,34

20. 若函数 fx=lnxx>0 的图象与函数 gx=x2+2x+ax<0 的图象有公切线，则实数 a 的取值范围是
A. ln12e,+∞B. −1,+∞
C. 1,+∞D. −ln2,+∞

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知函数 fx=m2x+13−2ex，若曲线 y=fx 在 0,f0 处的切线与直线 4x+y−2=0 平行，则 m= ．

22. 曲线 fx=12x2+xlnx 在点 1,f1 处的切线与直线 ax−y−1=0 垂直，则 a= ．

23. 曲线 fx=1x+ln1x 在点 1,f1 处的切线方程是 ．

24. 已知曲线 y=x+lnx 在点 1,1 处的切线与曲线 y=ax2+a+2x+1 相切，则 a= ．

25. 曲线 y=2x−1x+2 在点 −1,−3 处的切线方程为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 已知函数 fx=x3+1．求：
（1）曲线 y=fx 在点 0,1 处的切线方程；
（2）过点 1,1 且与曲线 y=fx 相切的直线方程．

27. 求过曲线 y=sinx 上一点 Pπ6,12 且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程．

28. 曲线 fx=e2xcs3x 在点 0,1 处的切线与直线 l 平行，且与直线 l 之间的距离为 5，求直线 l 的方程．

29. 设曲线 fx=−ex−2x（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 l1，若总有曲线 gx=ax+2csx 上某点处的切线 l2，使得 l1⊥l2，求实数 a 的取值范围．

30. 已知函数 fx=ax2+2ln2−xa∈R，设曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线为 l．
（1）求切线 l 的方程；
（2）若直线 l 与圆 C:x2+y2=14 相切，求实数 a 的值；
（3）若直线 l 与圆 C:x2+y2=14 相交，求实数 a 的取值范围．

31. 已知函数 fx=x2+2mex．
（1）当 m=1 时，求曲线 y=fx 在 0,f0 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若关于 x 的方程 x2fx=1+2me2x 恰有四个不同的解，求 m 的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】因为 fx=csx，所以 fʹx=−sinx，所以 fʹπ2=−sinπ2=−1，所以曲线 fx=csx 在点 π2,fπ2 处的切线的斜率为 −1
2. B【解析】因为 fx=x4−2x3，
所以 fʹx=4x3−6x2，
所以 f1=−1，fʹ1=−2，
因此，所求切线的方程为 y+1=−2x−1，即 y=−2x+1．
3. C【解析】因为 y=lnx 的导数为 yʹ=1x，
所以令 1x=12，得 x=2，
所以切点坐标为 2,ln2，
代入直线 y=12x+b，得 b=ln2−1．
4. B【解析】设切点坐标为 x0,y0，
因为 fx=x3，
所以 fʹx=3x2，
所以 fʹx0=3x02=1，
所以 x0=±33，
所以曲线 y=fx 的切线中斜率等于 1 的切线有 2 条．
5. D
【解析】设斜率等于 12 的切线与正弦曲线的切点为 Px0,y0，
因为 y=sinx，
所以 yʹ=csx，
所以 csx0=12，
所以 x0=2kπ+π3 或 x0=2kπ−π3k∈Z，
当 x0=2kπ+π3k∈Z 时，y0=32，
当 x0=2kπ−π3k∈Z 时，y0=−32，
所以正弦曲线 y=sinx 上切线的斜率等于 12 的点的坐标为 2kπ+π3,32 或 2kπ−π3,−32k∈Z．
6. D【解析】因为 y=4ex+1，
所以 yʹ=−4exex+12=−4exex2+2ex+1=−4ex+1ex+2．
因为 ex+1ex≥2（当且仅当 ex=1ex，即 x=0 时，等号成立），
所以 ex+1ex+2≥4，
所以 yʹ∈−1,0，
即 tanα∈−1,0，又 α∈0,π，
所以 α∈3π4,π．
7. C
8. D【解析】设直线 l 在曲线 y=x 上的切点为 x0,x0，则 x0>0，
函数 y=x 的导数为 yʹ=12x，则直线 l 的斜率 k=12x0，
设直线 l 的方程为 y−x0=12x0x−x0，即 x−2x0y+x0=0，
由于直线 l 与圆 x2+y2=15 相切，则 x01+4x0=15，
两边平方并整理得 5x02−4x0−1=0，解得 x0=1，x0=−15（舍），
则直线 l 的方程为 x−2y+1=0，即 y=12x+12．
9. B【解析】由函数 fx=x3 的导数为 fʹx=3x2，
可得曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线斜率为 3，
由切线与直线 ax−y+1=0 垂直，可得 a=−13．
10. A
【解析】因为 fx 为偶函数，
所以 f−x=fx，
即 −xe−x−aex=xex−ae−x，解得 a=1，
故 fx=xex−e−x，
则 fʹx=ex−e−x+ex+e−xx，
则 fʹ1=e1−e−1+e1+e−1=2e．
故函数 fx=xex−ae−x 的图象在 x=1 处的切线斜率为 2e．
11. A
12. A【解析】若点 P 是曲线 y=x2−lnx 上任意一点，
则当曲线在点 P 处的切线和直线 x−y−2=0 平行时，
点 P 到直线 x−y−2=0 的距离最小．
易知直线 x−y−2=0 的斜率为 1，
由 y=x2−lnx，得 yʹ=2x−1x，
令 yʹ=1 解得 x=1 或 x=−12（舍去），
当 x=1 时，y=1，
故曲线 y=x2−lnx 上和直线 x−y−2=0 平行的切线的切点坐标为 1,1，
点 1,1 到直线 x−y−2=0 的距离 d=∣1−1−2∣2=2，
故点 P 到直线 x−y−2=0 的最小距离为 2．
13. A【解析】因为 fx=x3+ax2+a−2x，
所以 fʹx=3x2+2ax+a−2，
又 fʹx 是偶函数，
所以 2a=0，即 a=0，
所以 fʹx=3x2−2，则 fʹ0=−2，
所以曲线 y=fx 在原点处的切线方程为 y=−2x．
14. C【解析】因为 fx=exsinx，
所以 fʹx=exsinx+excsx=exsinx+csx，
所以 fʹ4=e4sin4+cs4．
因为 π<4<3π2，
所以 sin4<0，cs4<0，
所以 fʹ4<0．
由导数的几何意义，知此函数图象在点 4,f4 处的切线的倾斜角为钝角．
15. B
【解析】因为 fx 为奇函数，且其定义域为 R，
故 f0=−a−3=0，解得 a=3．
故 fx=2sinx+3x，fʹx=2csx+3，
则 fʹ0=5，
故过点 0,0 处的切线方程为 y=5x．
16. B【解析】由切线方程 y=3x+1，得 f0=1，fʹ0=3．
设 gx=fxex，
则 gʹx=exfʹx−exfxex2=fʹx−fxex，
所以 g0=f0e0=1，gʹ0=fʹ0−f0e0=2，
所以曲线 y=fxex 在点 x=0 处的切线方程为 y−1=2x，
即 y=2x+1．
17. D【解析】设 P 的坐标为 m,m，由左焦点 F−4,0，函数的导数 fʹx=12x，
则在 P 处的切线斜率 k=fʹm=12m=mm+4，即 m+4=2m，得 m=4，则 P4,2，
设右焦点为 A4,0，则 2a=∣PF∣−∣PA∣=64+4−0+4=217−1，即 a=17−1，
因为 c=4，
所以双曲线的离心率 e=ca=17+14．
18. A【解析】设 P 的坐标为 m,m，
由左焦点 F−4,0，函数的导数 fʹx=12x，
则在 P 处的切线斜率 k=fʹm=12m=mm+4，
即 m+4=2m，得 m=4，则 P4,2，
设右焦点为 A4,0，则 2a=∣PF∣−∣PA∣=64+4−0+4=217−1，即 a=17−1，
因为 c=4，
所以双曲线的离心率 e=ca=17+14．
19. C【解析】当 x∈−1,0 时，x+1∈0,1，fx=1fx+1−1=1x+1−1，
若函数 gx=fx−12−mx−m+1 在 −1,1 内恰有 3 个零点，即方程 fx−12−mx−m+1=0 在 −1,1 内恰有 3 个根，
也就是函数 y=fx−12 与 y=mx+m−1 的图象有三个不同交点，
作出函数图象如图：
由图可知，过点 −1,−1 与点 −13,0 的直线的斜率为 32；
设过点 −1,1，且与曲线 y=1x+1−1−12=−3x−12x+1 相切的切点为 x0,y0，
则 yʹ∣x=x0=−1x0+12=y0−1x0−−1，
又因为 y0=−3x0−12x0+1，解得 x0=−15,y0=−14,
则切点为 −15,−14．
所以切线的斜率为 k=1+14−1−−15=−2516，由对称性可知，
过点 −1,−1 与曲线 fx−12 在 −1,0 上相切的切线的斜率为 2516．
所以使函数 y=fx−12 与 y=mx+m−1 的图象有三个不同交点的 m 的取值范围为 32,2516．
20. A
【解析】设公切线与函数 fx=lnxx>0 的图象相切于点 Ax1,lnx1x1>0，则切线方程为 y−lnx1=1x1x−x1，即 y=1x1x+lnx1−1．设公切线与函数 gx=x2+2x+ax<0 的图象相切于点 Bx2,x22+2x2+ax2<0，则切线方程为 y−x22+2x2+a=2x2+1x−x2，即 y=2x2+1x−x22+a，
所以 1x1=2x2+1,lnx1−1=−x22+a,
所以 a=lnx1+12x1−12−1=−ln1x1+141x1−22−1，令 t=1x1，
因为 x2<0所以 0<1x1<2，
所以 0设 ht=14t2−t−lnt0所以 ht 在 0,2 上为减函数，则 ht>h2=−ln2−1=ln12e，
所以 a∈ln12e,+∞．
第二部分
21. −13
【解析】因为函数 fx=m2x+13−2ex，
所以 fʹx=6m2x+12−2ex，fʹ0=6m−2，
所以 6m−2=−4，解得 m=−13．
22. −12
【解析】因为 fx=12x2+xlnx，
所以 fʹx=x+lnx+1，
因此，曲线 fx=12x2+xlnx 在点 1,f1 处的切线斜率为 k=fʹ1=1+1=2，
又该切线与直线 ax−y−1=0 垂直，
所以 a=−12．
23. 2x+y−3=0
24. 8
【解析】方法一：由 y=x+lnx 得 yʹ=1+1x，所以曲线 y=x+lnx 在点 1,1 处的切线的斜率 k=2，故切线方程为 y=2x−1．
因为 y=2x−1 与曲线 y=ax2+a+2x+1 相切，
所以 y=2x−1,y=ax2+a+2x+1, 消去 y 得 ax2+ax+2=0．
因为 a≠0 且 Δ=a2−4×2a=0，
所以 a=8．
方法二：同方法一，得曲线 y=x+lnx 在点 1,1 处的切线方程为 y=2x−1．
因为直线 y=2x−1 与曲线 y=ax2+a+2x+1 相切，设切点的坐标为 x0,y0，
所以 y0=2x0−1 ⋯⋯①．
由 yʹ=2ax+a+2，得 2ax0+a+2=2 ⋯⋯②．
由题意知 a≠0，由 ② 可得 x0=−12．
把 x0=−12 代入 ①，得 y0=−2，
所以点 −12,−2 在曲线 y=ax2+a+2x+1，故 a=8．
25. 5x−y+2=0
【解析】由题，当 x=−1 时，y=−3，故点在曲线上．
求导得：yʹ=2x+2−2x−1x+22=5x+22，
所以 yʹ∣x=−1=5．故切线方程为 5x−y+2=0．
第三部分
26. （1） 由 fx=x3+1，得 fʹx=3x2．
曲线 y=fx 在点 0,1 处的切线的斜率 k=fʹ0=0，则曲线 y=fx 在点 0,1 处的切线方程为 y=1．
（2） 设切点的坐标为 x0,x03+1，则所求切线的斜率为 3x02，则所求切线方程为 y−x03+1=3x02x−x0，
将点 1,1 的坐标代入，得 −x03=3x021−x0，
解得 x0=0 或 x0=32．
当 x0=32 时，所求直线方程为 27x−4y−23=0；
当 x0=0 时，所求直线方程为 y=1．
综上，过点 1,1 且与曲线 y=fx 相切的直线方程为 27x−4y−23=0 或 y=1．
27. 易知 yʹ=csx，所以曲线 y=sinx 在点 Pπ6,12 处的切线的斜率 k=csπ6=32，则与该切线垂直的直线的斜率为 −233，
故所求直线方程为 y−12=−233x−π6，
即 123x+18y−23π−9=0．
28. 因为 fx=e2xcs3x，
所以
fʹx=e2xcs3xʹ=e2xʹcs3x+e2xcs3xʹ=2e2xcs3x−3e2xsin3x=e2x2cs3x−3sin3x,
所以 fʹ0=2．
所以曲线 fx 在点 0,1 处的切线方程为 y−1=2x−0，即 2x−y+1=0．
由直线 l 与切线平行，可设直线 l 的方程为 2x−y+c=0c≠1，
两平行线间的距离 d=∣c−1∣5=5，
解得 c=6 或 c=−4．
所以直线 l 的方程为 2x−y+6=0 或 2x−y−4=0．
29. 因为 fx=−ex−2x，
所以 fʹx=−ex−2，易知 fʹx<−2．
设切线 l1 的斜率为 k1，则有 k1<−2，
所以 −k1>2，
所以 −1k1∈0,12，
因为 gx=ax+2csx，
所以 gʹx=a−2sinx，
设切线 l2 的斜率为 k2，则有 k2∈a−2,a+2．
因为 l1⊥l2，
所以 k1k2=−1，
所以 −1k1=k2，
因为曲线 fx=−ex−2x 上任意一点处的切线为 l1，总有曲线 gx=ax+2csx 上某点处的切线 l2，使得 l1⊥l2，
所以 a+2≥12,a−2≤0,
所以 −32≤a≤2，
所以实数 a 的取值范围为 −32,2．
30. （1） 由题意得 f1=a，fʹx=2ax+2x−2x<2，
所以 fʹ1=2a−2，
所以切线 l 的方程为 y−a=2a−2x−1，
即 2a−1x−y+2−a=0．
（2） 若直线 l 与圆 C:x2+y2=14 相切，则圆心 C0,0 到直线 l 的距离等于半径，
即 ∣2−a∣4a−12+1=12，
解得 a=118．
（3） 若直线 l 与圆 C:x2+y2=14 相交，
则圆心 C0,0 到直线 l 的距离小于半径，
即 ∣2−a∣4a−12+1<12，
解得 a>118，
即实数 a 的取值范围为 118,+∞．
31. （1） 当 m=1 时，fx=x2+2ex，故 f0=2，
又 fʹx=2x+2ex，
故切线方程的斜率 k=fʹ0=2，
则切线方程为：y−2=2x−0，
即 y=2x+2；
该切线与 x 轴交于点 A−1,0，与 y 轴交于点 B0,2，
故围成的三角形的面积为 S=12×1×2=1．
（2） 由 x2fx=1+2me2x 即 x4+2mx2ex−1+2me2x=0，
得 x4e2x+2mx2ex−2m−1=0，
令 t=x2ex，
可得 t2+2mt−2m−1=0，
令 gx=x2ex，
则 gʹx=2x−x2ex，
令 gʹx=0，
解得：x=0或2，
x，gʹx，gx 的变化如下表：
x−∞,000,222,+∞gʹx−0+0−gx单调递增极小值0单调递增极大值4e2单调递减
函数 gx 的图象如下：
由于 x4+2mx2ex−1+2me2x=0 有四个不同的解，
而关于 t 的二次方程 t2+2mt−1−2m=t−1t+2m+1=0，
解得：t1=1，t2=−2m−1，
故 0<−2m−1<4e2
得：−2e2−12