2022届高考大一轮复习知识点精练：函数的周期性

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：函数的周期性，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 已知函数 fx 满足对一切 x∈R，fx+2=−1fx 都成立，且当 x∈1,3 时，fx=2−x，则 f2023 等于
A. 14B. 18C. 116D. 132

2. 已知定义在 R 上的函数 fx 满足 f−x=−fx，f3−x=fx，则 f2019 等于
A. −3B. 0C. 1D. 3

3. 函数 fx 的定义域为 R，若 fx+1 与 fx−1 都是奇函数，则
A. fx 是偶函数B. fx 是奇函数
C. fx=fx+2D. fx+3 是奇函数

4. 已知函数 fx 满足 f0=2，且对任意 x∈R 都满足 fx+3=−fx，则 f2019 的值为
A. 2019B. 2C. 0D. −2

5. 已知定义在 R 上的奇函数 fx 满足 fx+2=fx，且 f1=0，当 x∈0,1 时，fx=2x+x．设 a=f5，b=f13，c=f−52，则 a，b，c 的大小关系为
A. b>a>cB. a>c>bC. c>a>bD. b>c>a

6. 意大利数学家列昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例、引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，⋯，设该数列为 Fn，则 F1=F2=1，Fn=Fn−1+Fn−2n≥3,n∈N+，此数列在很多领域中都有广泛的应用．若此数列被 2 除后的余数构成一个新数列 an，则数列 an 的前 2019 项之和为
A. 672B. 673C. 1346D. 2019

7. 已知定义在 R 上的函数 fx 满足 fx+2=fx，当 0≤x<1 时，fx=x13，则 f178=
A. 12B. 2C. 18D. 8

8. 设函数 fx 的定义域为 R，fx+1 为奇函数，fx+2 为偶函数，当 x∈1,2 时，fx=ax2+b．若 f0+f3=6，则 f92=
A. −94B. −32C. 74D. 52

9. 已知函数 fx 的定义域为 R，且满足：fx 是偶函数，fx−1 是奇函数，若 f0.5=3，则 f2012+f2014+f−2.5 等于
A. −9B. 9C. −3D. 3

10. 已知 fx 是定义域为 −∞,+∞ 的奇函数，满足 f1−x=f1+x，若 f1=2，则 f1+f2+f3+⋯+f50=
A. −50B. 0C. 2D. 50

11. 设函数 fx 的定义域为 R，满足 fx+1=2fx，且当 x∈0,1 时，fx=xx−1，若对任意 x∈−∞,m，都有 fx≥−89，则 m 的取值范围是
A. −∞,94B. −∞,73C. −∞,52D. −∞,83

12. 已知函数 fx 满足 fx+1=−fx，且当 0≤x<1 时，fx=1−x，若函数 gx=fx−ax 有 4 个零点，则实数 a 的取值范围是
A. −13,−14∪13,12B. −13,−14∪13,12
C. −14,−15∪15,14D. −14,−15∪15,14

13. 已知函数 fx 是定义在 R 上的奇函数，fx−4=fx，且 f1=1，则 f2019+f2020=
A. −1B. 0C. 1D. 2

14. 已知函数 fx 与 gx 满足 fx+2=f2−x，gx+1=gx−1，且 fx 在区间 2,+∞ 上为减函数，令 hx=fx⋅gx，则下列不等式正确的是
A. h−2≥h4B. h−2≤h4
C. h0>h4D. h0
15. 设 fx 是定义在 R 上的周期函数，周期 T=4，对于任意 x∈R 都有 f−x=fx，且当 x∈−2,0 时，fx=12x−1，若在区间 −2,6 内关于 x 的方程 fx−lgax+2=0a>1 恰有 3 个不同的实根，则 a 的取值范围是
A. 1,2B. 2,+∞C. 1,34D. 34,2

16. 在 R 上定义的函数 fx 是偶函数满足 fx=f8−x，且对任意的 x1,x2∈0,4，fx1−fx2x1−x2>0，则
A. f−18C. f35
17. 设函数 y=fx 的定义域是 R，对于下列四个命题：
（1）若函数 y=fx 是奇函数，则函数 y=ffx 是奇函数；
（2）若函数 y=fx 是周期函数，则函数 y=ffx 是周期函数；
（3）若函数 y=fx 是单调减函数，则函数 y=ffx 是单调减函数；
（4）若函数 y=fx 存在反函数 y=f−1x，且函数 y=fx−f−1x 有零点，则函数 y=fx−x 也有零点；
其中正确的命题共有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

18. 已知定义在 R 上的函数 fx 满足 fx+6=fx，y=fx+3 为偶函数，若 fx 在 0,3 内单调递减，则下面结论正确的是
A. f10C. fln2
19. 设 fx，gx，hx 是定义域为 R 的三个函数，对于命题：①若 fx+gx，fx+hx，gx+hx 均为增函数，则 fx，gx，hx 中至少有一个为增函数；②若 fx+gx，fx+hx，gx+hx 均是以 T 为周期的函数，则 fx，gx，hx 均是以 T 为周期的函数，下列判断正确的是
A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题
C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题

20. 已知函数 fx 满足 fx+2=1+fx1−fxx∈R，f2=12，则 f2004 等于
A. 12B. 1C. 2D. 3

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 设 fx 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 −1,1 上，fx=x+a,−1≤x<025−x,0≤x<1 其中 a∈R，若 f−52=f92，则 f5a 的值是 ．

22. 函数 fx 的定义域为 R，且 fx=fx−3，当 −2≤x<0 时，fx=x+12；当 0≤x<1 时，fx=−2x+1，则 f1+f2+f3+⋯+f2020= ．

23. 已知函数 y=fx，对任意 x∈R，都有 fx+2⋅fx=k（k 为常数），且当 x∈0,2 时，fx=x2+1，则 f2021= ．

24. 已知函数 fx 在定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0
25. 对于函数 fx，满足 fx≤M 成立的所有常数 M 中最小的值称为函数 fx 的上确界．已知定义在 R 上的偶函数 fx 满足 f1−x=f1+x，且当 x∈0,1 时，fx=−3x2+2，则函数 fx 的上确界为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 设函数 y=fx 满足 fx+2=−fx，且 f2=2．求 f−2，f4，f100 的值．

27. 已知函数 y=fx 的周期为 3，试求 y=f2x+1 的周期．

28. 求下列函数的周期：
（1）fx=tan−12x；
（2）fx=ctx；
（3）fx=tan3x+π4；
（4）fx=tanax+b，a≠0．

29. 请举出一些具有周期现象的实际例子．

30. 已知函数 y=fx 的周期为 4，试求 y=f2x+1 的一个周期．

31. 定义在 R 上的偶函数 fx 的图象关于 x=1 对称，且 fx1+x2=fx1⋅fx2 对任意 x1,x2∈0,12 都成立．
（1）求证 fx 是以 2 为周期的函数，并将该命题加以推广；
（2）若对任意 x1,x2∈0,12，都有 fx>1，证明 fx 在 0,12 上单调递增；
（3）若 f1=a，探求 f12，f14，⋯，f12n 的值；
（4）若 f1=a，an=f2n+12n，求 limn→∞an 的值．
答案
第一部分
1. B
2. B【解析】用 −x 替代 x，得到 fx+3=f−x=−fx，
所以 T=6，
所以 f2019=f336×6+3=f3．
因为 f3−x=fx，
所以 f3=f0=0．
3. D【解析】因为 fx+1，fx−1 是奇函数，
所以 fx+1=−f−x+1，①
fx−1=−f−x−1．②
①中令 x+1=t，则 x=t−1，ft=−f−t+2．
②中令 x−1=s，则 x=s+1，fs=−f−s−2．
所以 f−x+2=f−x−2，即 fx 的周期为 4．
所以 fx+3 为奇函数．
4. D【解析】因为 fx+3=−fx，所以 fx+6=−fx+3=fx，
所以 fx 的周期为 6，所以 f2019=f3，
又 f3=−f0=−2，所以 f2019=−2．
5. A
【解析】当 x∈0,1 时，fx=2x+x，
又因为 fx+2=fx，所以 fx 为周期为 2 的函数，
则 a=f5=f3=f1=0，
c=f−52=f−12=−f12=−212−12<0，
b=f13=213+13>0，
所以 b>a>c．
6. C【解析】由数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，⋯ 的各项除以 2 的余数构成的数列 an 为 1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，⋯，
所以 an 是周期为 3 的周期数列、一个周期中的三项之和为 1+1+0=2，
因为 2019=673×3，
所以数列 an 的前 2019 项之和为 673×2=1346．
7. A【解析】根据题意，函数 fx 满足 fx+2=fx，即函数 fx 是周期为 2 的周期函数，
则有 f178=f18+2=f18，
当 0≤x<1 时，fx=x13，
则 f18=1813=12．
8. D【解析】因为 fx+1 是奇函数，所以 f−x+1=−fx+1; ⋯⋯①
因为 fx+2 是偶函数，所以 fx+2=f−x+2. ⋯⋯②
令 x=1，由①得：f0=−f2=−4a+b，由②得：f3=f1=a+b，
因为 f0+f3=6，所以 −4a+b+a+b=6⇒a=−2，
令 x=0，由①得：f1=−f1⇒f1=0⇒b=2，所以 fx=−2x2+2．
思路一：从定义入手
f92=f52+2=f−52+2=f−12，
f−12=f−32+1=−f32+1=−f52，
−f52=−f12+2=−f−12+2=−f32，
所以 f92=−f32=52．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 fx 的周期 T=4．
所以 f92=f12=−f32=52．
9. C【解析】因为 fx 为偶函数，fx−1 为奇函数，
所以 f−x=fx，f−x−1=−fx−1，
所以 fx+1=−fx−1，
所以 f2014=−f2012，
所以 f2014+f2012=0，
又 f−2.5=f−1.5−1=−f1.5−1=−f0.5=−3．
10. C
【解析】因为 fx 是定义域为 −∞,+∞ 的奇函数，且 f1−x=f1+x，
所以 f1−x=f1+x=−fx−1，f0=0，则 fx+2=−fx，则 fx+4=−fx+2=fx，即函数 fx 是周期为 4 的周期函数，
因为 f1=2，f0=0，
所以 f2=−f0=0，f3=f−1=−f1=−2，f4=f0=0，
则 f1+f2+f3+f4=2+0−2+0=0，
则
f1+f2+f3+⋯+f50=12f1+f2+f3+f4+f49+f50=f1+f2=2+0=2.
11. B【解析】当 −1当 1当 2由此作出函数 fx 的图象，如图所示．
由图可知当 2整理，得 3x−73x−8=0，解得 x=73 或 x=83，
将这两个值标注在图中．要使对任意 x∈−∞,m 都有 fx≥−89，必有 m≤73，
即实数 m 的取值范围是 −∞,73．
12. C【解析】由 fx+1=−fx 可知，fx+2=−fx+1=fx，
所以 fx 是以 2 为周期的函数，且当 1≤x<2 时，0≤x−1<1，
所以 fx−1=1−x−1=2−x=−fx，fx=x−2，根据其周期性，作出函数 fx 的部分图象如图所示．
依题意可得，kOD所以 kOA=14，kOD=15，kOF=−15，kOM=−14，故 1513. A【解析】因为 fx 是奇函数，所以 f0=0，f−1=−f1=−1，
又 fx−4=fx，所以 fx 是周期函数，周期为 4．
所以 f2019+f2020=f−1+f0=−1+0=−1．
14. B【解析】fx+2=f2−x⇒fx 关于 x=2 对称，fx 在区间 2,+∞ 上为减函数，
所以 fx 在区间 −∞,2 上为增函数，
而 gx+1=gx−1⇒ 函数 gx 的周期为 T=2，所以 h−2=f−2g−2=f6g4，h4=f4g4≥h−2，h0=h4，故选B.
15. D
【解析】因为对于任意 x∈R 都有 f−x=fx，
所以函数 fx 是定义在 R 上的偶函数，
因为在区间 −2,6 内关于 x 的方程 fx−lgax+2=0a>1 恰有 3 个不同的实数解，
所以函数 y=fx 与 y=lgax+2 在区间 −2,6 上有三个不同的交点，
因为当 x∈−2,0 时，fx=12x−1，
故函数图象如图所示，
又 f−2=f2=f6=3，
则有 lga4<3，且 lga8>3，
解得 3416. D【解析】由题可知，fx 的对称轴为 x=4，且在 0,4 上，fx 单调递增，
又因为 fx 为偶函数，
所以 f−18=f18，且函数关于 y 轴对称，fx=f8−x，
所以 fx 的最小正周期为 8，
因为 f18=f8×2+2=f2，f35=f4×8+3=f3，f57=f8×7+1=f1，
因为 1<2<3 且 1,2,3∈0,4，
所以 f5717. B
18. A【解析】因为 fx+6=fx，
所以 fx 的周期为 6，
又 y=fx+3 为偶函数，
所以 fx+3=f−x+3，
所以 f10=f4+6=f4=f1+3=f−1+3=f2，
又 1所以 0所以 f2即 f10故选：A．
19. D【解析】①不成立，可举反例．
fx=2x,x≤1,−x+3,x>1. gx=2x+3,x≤0,−x+3,00.
② fx+gx=fx+T+gx+T
fx+hx=fx+T+hx+T
gx+hx=gx+T+hx+T
前两式作差，可得 gx−hx=gx+T−hx+T．
结合第三式，可得 gx=gx+T，hx=hx+T．
也有 fx=fx+T．
所以②正确．
20. D
【解析】fx+4=fx+2+2=1+fx+21−fx+2=1+1+fx1−fx1−1+fx1−fx=1fx，
fx+8=fx+4+4=1fx+4=fx，
则 fx 是以 8 为周期的周期函数，
从而 f2004=f250×8+4=f2+2=1+f21−f2=3．
第二部分
21. −25
【解析】由题意可得
f−52=f−12=−12+a，f92=f12=25−12=110，
则 −12+a=110，a=35，
故 f5a=f3=f−1=−1+35=−25．
22. 1347
【解析】函数 fx 的定义域为 R，且 fx=fx−3，得函数周期为 3，
所以 f1+f2+f3+⋯+f2020=673×f1+f2+f3+f1，
f1=f−2=1，f2=f−1=0，f3=f0=1，
代入上式，得 f1+f2+f3+⋯+f2020=673×f1+f2+f3+f1=1347．
23. 2
24. −2
【解析】因为 fx 是定义在 R 上的奇函数，
所以 f0=0，
又 fx=−f−x，fx+2=fx，
所以 fx+1=−f1−x，令 x=0，得 f1=−f1，
所以 f1=0，f−52=f−2−12=f−12=−f12=−2，
所以 f−52+f1=−2．
25. 2
【解析】因为函数 fx 为偶函数，
所以 f−x=fx．
由 f1−x=f1+x，得 f−x=fx+2，
所以 fx=fx+2，
当 x∈0,1 时，fx=−3x2+2，
所以当 x∈−1,0 时，fx=f−x=−3x2+2．
所以当 x∈−1,1 时，函数 fx=−3x2+2，最大值为 f0=2．
画出函数 fx 的图象，如图所示，
可知 fx 的最大值为 2，
由题意知，函数 fx 的上确界为 2．
第三部分
26. f−2=2，f4=f100=−2．
27. 周期为 32．
28. （1） T=2π．
（2） T=π．
（3） T=π3．
（4） T=π∣a∣．
29. 例如：单摆、弹簧振子、圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化．
30. 令函数 gx=f2x+1，则求 y=gx 的周期．
因为 y=fx 的周期为 4，所以对任意 x∈R，有 fx+4=fx 成立．
所以 gx=f2x+1=f2x+1+4=f2x+2+1=gx+2．
所以 y=gx 的周期是 2．
31. （1） 因为偶函数 fx 的图象关于 x=1 对称，
所以 fx=f−x，fx=f2−x，
所以 fx+2=f2−x+2=f−x=fx，
所以 fx 是以 2 为周期的函数．
推广：若定义在 R 上的函数 fx 的图象关于 x=a 和 x=ba>b 对称，
则 fx 是以 2a−b 为周期的函数．
证明如下：
因为函数 fx 的图象关于 x=a 和 x=ba>b 对称，
所以 fx=f2a−x，fx=f2b−x，
所以 fx+2a−b=f2a−x+2a−b=f2b−x=fx，
所以 fx 是以 2a−b 为周期的函数．
（2） 设 0≤x11>0，fx2−x1>1，
且 fx2=fx2−x1+x1=fx2−x1⋅fx1>fx1，
所以 fx 在 0,12 上单调递增．
（3） 若 f1=a，则 f1=f12+12=f212=a>0，f12=f14+14=f214>0，
所以 f12=a12>0，
同理 f14=a14>0，f18=a18，⋯，f12n=a12n，
事实上，假设 f12k=a12kk∈N*，则 f12k=f12k+1+12k+1=f212k+1=a12k，
所以 f12k+1=a12k+1，即 f12n=a12n．
（4） 由（3）知，f12=a12，
而 f12=fn2n=f12n+12n+⋯+12n⏟n个=fn12n=a12，
所以 f12n=a12n，
由（1）知，an=f2n+12n=f12n=a12n，
所以 limn→∞an=1．