2022届高考大一轮复习知识点精练：观察法求通项

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：观察法求通项，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 数列 1，3，7，15，⋯ 的通项公式 an 等于
A. 2nB. 2n+1C. 2n−1D. 2n−1

2. 数列 −15，17，−19，111，⋯ 的通项公式可能是 an=
A. −1n−12n+3B. −1n3n+2C. −1n−13n+2D. −1n2n+3

3. 数列 23，45，67，89，⋯ 的第 10 项是
A. 1617B. 1819C. 2021D. 2223

4. 若一个数列的前三项依次为 6，18，54，则此数列的一个通项公式为
A. an=4n−2B. an=2n+4C. an=2×3nD. an=3×2n

5. 在数列 1，1，2，3，5，8，x，21，34，55 中，x 等于
A. 11B. 12C. 13D. 14

6. 数列 3，5，7，9，⋯ 的一个通项公式是
A. an=2n+1B. an=2n+1C. an=2n+1D. an=2n+1−1

7. 数列 27，207，2007，20007 的一个通项公式可以为
A. an=2n+7B. an=2n+7C. an=20n+7D. an=2×10n+7

8. 数列 13，−13，527，−781，⋯ 的一个通项公式是
A. an=−1n+12n−13nB. an=−1n2n−13n
C. an=−1n+12n−13nD. an=−1n2n−13n

9. 数列 −12，14，−18，116，⋯ 的一个通项公式是
A. −12nB. −1n2nC. −1n+12nD. −1n2n−1

10. 数列 1，−22，12，−24，14，⋯ 的一个通项公式为
A. −12n−1B. −22n
C. −1n22n−1D. −1n+122n−1

11. 大衍数列来源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．已知该数列前 10 项是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则大衍数列中奇数项的通项公式为
A. n2−n2B. n2−12C. n−122D. n22

12. 已知数列 2，5，22，11，⋯，则 25 是这个数列的
A. 第 6 项B. 第 7 项C. 第 11 项D. 第 19 项

13. 观察下列数列的特点：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，⋯，则第 121 项是
A. 14B. 15C. 16D. 121

14. 已知数列 an 的前 4 项为 1，−12，13，−14，则数列 an 的通项公式可能为
A. an=1nB. an=−1nC. an=−1nnD. an=−1n−1n

15. 现有这么一列数：1，32，54，78， ，1132，1364，⋯，按照规律， 中的数应为
A. 916B. 1116C. 12D. 1118

16. 已知数列 5，11，17，23，29，⋯，则 55 是它的
A. 第 19 项B. 第 20 项C. 第 21 项D. 第 22 项

17. 数列 an 的前几项为 12，3，112，8，212，⋯，则此数列的通项可能是
A. an=5n−42B. an=3n−22C. an=6n−52D. an=10n−92

18. 如图是谢尔宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数依次构成数列 an 的前 4 项，则 an 的通项公式可以是
A. an=3n−1B. an=2n−1C. an=3nD. an=2n−1

19. 如图是一系列有机物的结构图，图中的“小黑点”表示原子，两点间的“短线”表示化学键，按图中结构，第 n 个图中化学键的个数为
A. 6nB. 5n+1C. 5n−1D. 4n+2

20. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．大衍数列是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，⋯，则该数列的第 18 项为
A. 200B. 162C. 144D. 128

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 数列 −32，54，−78，916，⋯ 的一个通项公式为 ．

22. 如图关于星星的图案构成一个数列，该数列的第 20 个图案有 ．

23. 右图是一个有 n 层（n≥2）的六边形点阵．它的中心是一个点，算作第一层，第 2 层每边有 2 个点，第 3 层每边有 3 个点，⋯，第 n 层每边有 n 个点，则这个点阵中的点的个数为 ．

24. 已知数列 an 满足 a1=1，an=1+a1+⋯+an−1（n∈N*，n≥2），则当 n≥1 时，an= ．

25. 中国古代数学著作《孔子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何?”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 an，则 a1= ；an= ．（注：三三数之余二是指此数被 3 除余 2，例如“5”）

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 写出下列数列的一个通项公式．
（1）−11×2，12×3，−13×4，14×5，⋯；
（2）22−12，32−13，42−14，52−15，⋯；
（3）7，77，777，7777，⋯；

27. 写出下列数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数：
（1）4，8，12，16．
（2）12，23，34，45．
（3）−12×1，12×2，−12×3，12×4．
（4）1，−32，33，−34．

28. 写出数列：12，38，518，732，⋯ 的一个通项公式．

29. 观察下列数列的特点，在括号内填入适当的数，并写出每个数列的一个通项公式：
（1）（ ），4，9，16，25，（ ），49．
（2）−1，12，（ ），14，−15，16，（ ）．
（3）1，2，（ ），2，5，（ ），7．

30. 写出数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数：
（1）15，110，115，120．
（2）−12，14，−18，116．

31. 写出下列数列的一个通项公式．
（1）−11+1，14+1，−19+1，116+1，⋯；
（2）2，3，5，9，17，33，⋯；
（3）12，25，310，417，526，⋯；
（4）1，43，2，165，⋯；
（5）−13，18，−115，124，⋯．
答案
第一部分
1. C
2. D【解析】由 a1=−15，排除A，C；由 a2=17，排除B．
3. C【解析】设该数列为 an，则由 23，45，67，89，⋯ 可求得数列 an 的一个通项公式为 an=2n2n+1，
所以数列的第 10 项为 a10=2×102×10+1=2021．
4. C【解析】依题意，6=6×1=6×30，18=6×3=6×31，54=6×9=6×32，所以此数列的一个通项公式为 an=6×3n−1=2×3n．
5. C
【解析】观察可知，该数列从第 3 项开始，每一项都等于它前面与它相邻两项的和，故 x=5+8=13．
6. A【解析】因为 a1=2×1+1，a2=2×2+1，a3=2×3+1，a4=2×4+1，L
所以 an=2n+1．
7. D
8. C【解析】根据已知分别验证各个选项即可得出答案．
选项A，当 n=2 时，a2=−12 不满足题意，所以不正确；
选项B，当 n=1 时，a1=−13，不满足题意，所以不正确；
选项D，当 n=2 时，a2=13，不满足题意，所以不正确；
选项C，当 n=1,2,3,4 时，均满足题意，所以正确，故应选C．
9. B
10. D
【解析】该数列前五项分别为 1，−22，12，−24，14，
对于A项：前五项分别为 1，−12，14，−18，116，故A项不正确；
对于B项：前五项分别为 −22，12，−24，14，−28，故B项不正确；
对于C项：前五项分别为 −1，22，−12，24，−14，故C项不正确；
对于D项：前五项分别为 1，−22，12，−24，14，故D项正确．
11. B
12. B【解析】设数列 2，5，22，11，⋯ 为 an，
则各项的平方为 2，5，8，11，⋯，
则 an2−an−12=3n≥2，
又因为 a12=2，所以 an2=2+n−1×3=3n−1．
令 3n−1=20，得 n=7．
13. C
14. D
15. A
【解析】由题意知，一列数：1，32，54，78， ，1132，1364，⋯，
可得每个数的分母为 2n，n∈N，分子为连续的奇数，所以 中的数应为 916．
16. C【解析】数列 5，11，17，23，29，⋯ 中的各项可变形为 5，5+6，5+2×6，5+3×6，5+4×6，⋯，
所以通项公式为 an=5+6n−1=6n−1，
令 6n−1=55，得 n=21 .
17. A【解析】数列为 12，62，112，162，212，⋯，其分母为 2，分子是首项为 1，公差为 5 的等差数列，故通项公式为 an=5n−42．
18. A【解析】由题意得，a1=1，a2=3，a3=9=32，a4=27=33，因此 an 的通项公式可以是 an=3n−1．
19. B【解析】有题图知，第 1 个图中有 6 个化学键，
第 2 个图中有 11 个化学键，
第 3 个图中有 16 个化学键，
观察可得，后一个图总比它前一个图多 5 个化学键，则第 n 个图有 5n+1 个化学键．
20. B
【解析】偶数项为 2，8，18，32，50，⋯，
即 2×1，2×4，2×9，2×16，2×25，⋯，记为 an，则偶数项对应的一个通项公式为 an=2n2，
原数列的第 18 项为第 9 个偶数，
故 a9=2×92=2×81=162，即原数列的第 18 项为 162．
第二部分
21. an=−1n⋅2n+12nn∈N*
22. 210
【解析】观察数列中的星星构成的规律：
当 n=1 时，有 1 个，
当 n=2 时，有 1+2 个，
当 n=3 时，有 1+2+3 个，
所以当 n=20 时，有 1+2+3+⋯+20=201+202=210 个．
23. 3n2−3n+1
【解析】设点阵的第 n 层有 an 个点，则 a1=1，an=6n−6（点阵第 n 层每边有 6 个点，但这样计数每边端点上的点都被重复计数一次），
于是，S1=1，
当 n≥2 时，Sn=a1+a2+⋯+an=1+6×12×1+n−1n−1=3nn−1+1，
所以点阵中点的个数为 3n2−3n+1．
24. 2n−1
【解析】因为数列 an 满足 a1=1，an=1+a1+⋯+an−1（n∈N*，n≥2），
则 a1=1=20，a2=2=21，a3=4=22，a4=8=23，⋯
由此可得当 n≥1 时，an=2n−1．
25. 8，15n−7
【解析】三三数之余二的正整数从小到大排列得到数列为：
8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,38,⋯；
五五数之余三的正整数，从小到大排列，构成数列为：
8,13,18,23,28,33,38,⋯；
所以三三数之余二，五五数之余三的正整数，从小到大排列得到数列 an 为：
8,23,38,⋯，数列 an 是以首项为 8，公差为 15 的等差数列．
空 1：a1=8；
空 2：an=a1+n−1d=8+n−1⋅15=15n−7．
第三部分
26. （1） 这个数列前 4 项的分母都是序号乘比序号大 1 的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为 an=−1nn×n+1，n∈N+．
（2） 这个数列的前 4 项的分母都是比序号大 1 的数，分子都是比序号大 1 的数的平方减 1 ，所以它的一个通项公式为 an=n+12−1n+1，n∈N+．
（3） 这个数列的前 4 项可以变形为 79×9，79×99，79×999，79×9999，
即 79×10−1，79×100−1，79×1000−1，79×10000−1，
即 79×10−1，79×102−1，79×103−1，79×104−1，
所以它的一个通项公式为 an=79×10n−1，n∈N+．
27. （1） an=4n．
（2） an=nn+1．
（3） an=−1n⋅12n．
（4） an=−1n+13n．
28. 如 an=2n−12n2．
29. （1） 1；36；an=n2．
（2） −13；−17；an=−1n1n．
（3） 3；6；an=n．
30. （1） an=15n．
（2） an=−1n12n．
31. （1） 因为第 n 项的符号为 −1n，分子都是 1，分母是 n2+1，
所以 an=−1n⋅1n2+1．
（2） 因为 a1=2=1+1，a2=3=2+1，a3=5=22+1，a4=9=23+1，a5=17=24+1，a6=33=25+1，⋯，
所以 an=2n−1+1．
（3） 因为 a1=12=112+1，a2=25=222+1，a3=310=332+1，a4=417=442+1，a5=526=552+1，⋯，
所以 an=nn2+1．
（4） 因为 a1=1=22，a2=43，a3=2=84，a4=165，⋯，
所以 an=2nn+1．
（5） 因为 a1=−13=−11×3，a2=18=12×4，a3=−115=−13×5，a4=124=14×6，⋯，
所以 an=−1n⋅1nn+2．