2022届高考大一轮复习知识点精练：平面向量的加减法及其几何意义

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：平面向量的加减法及其几何意义，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 下列各式中，恒成立的是
A. AB=BAB. a−a=0
C. AB−AC=BCD. AB−CB+CA=0

2. 已知点 P 是 △ABC 所在平面内一点，且 PA+PB+PC=0，则
A. PA=−13BA+23BCB. PA=23BA+13BC
C. PA=−13BA−23BCD. PA=23BA−13BC

3. 在平行四边形 ABCD 中，AB+AD=
A. CAB. ACC. BDD. DB

4. 如图所示，在正六边形 ABCDEF 中，若 AB=1，则 AB+FE+CD 等于
A. 1B. 2C. 3D. 23

5. 设 O 是原点，向量 OA，OB 对应的复数分别为 2−3i，−3+2i，那么向量 BA 对应的复数是
A. −5+5iB. −5−5iC. 5+5iD. 5−5i

6. 在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，BA+BC+DD1=
A. D1B1B. D1BC. DB1D. BD1

7. 下列各式化简正确的是
A. OA−OD+DA=0B. AB+MB+BO+OM=AB
C. AB−CB+AC=0D. 0⋅AB=0

8. 在平行四边形 ABCD 中，设对角线 AC 与 BD 相交于点 O，则 AB+CB=
A. 2BOB. 2DOC. BDD. AC

9. 设命题 p：∀ 平面向量 a 和 b，a−bA. ∀ 平面向量 a 和 b，a−b≥a+b
B. ∃ 平面向量 a 和 b，a−bC. ∃ 平面向量 a 和 b，a−b>a+b
D. ∃ 平面向量 a 和 b，a−b≥a+b

10. 已知点 O，N 在 △ABC 所在的平面内，且 OA=OB=OC，NA+NB+NC=0，则点 O，N 依次是 △ABC 的
A. 重心、垂心B. 外心、垂心C. 外心、重心D. 外心、内心

11. 在空间四边形 ABCD 中，连接 AC，BD，若 △BCD 为正三角形，且 E 为其中心，则化简 AB+12BC−32DE−AD 的结果是
A. ABB. 2BDC. 0D. 2DE

12. 平面上有三点 A，B，C，设 m=AB+BC，n=AB−BC，若 m，n 的长度恰好相等，则
A. A，B，C 三点必在同一直线上
B. △ABC 必为等腰三角形且 ∠ABC 为顶角
C. △ABC 必为直角三角形且 ∠ABC=90∘
D. △ABC 必为等腰直角三角形

13. 若 AB=5，AC=8，则 BC 的取值范围是
A. 3,8B. 3,8C. 3,13D. 3,13

14. 在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=2，则向量 AB+AD+AC 的长度为
A. 25B. 45C. 12D. 6

15. 如图所示的方格纸中有定点 O，P，Q，E，F，G，H，则 OP+OQ=
A. OHB. OGC. FOD. EO

16. 点 O 在 △ABC 所在平面内，给出下列关系式：
（1）OA+OB+OC=0；
（2）OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA；
（3）OA⋅AC∣AC∣−AB∣AB∣=OB⋅BC∣BC∣−BA∣BA∣=0；
（4）OA+OB⋅AB=OB+OC⋅BC=0．
则点 O 依次为 △ABC 的
A. 内心、外心、重心、垂心B. 重心、外心、内心、垂心
C. 重心、垂心、内心、外心D. 外心、内心、垂心、重心

17. 给出下列不等式或等式：
① a−b② a−b=a+b=a+b；
③ a−b=a+b④ a−b其中，一定不成立的个数是
A. 0B. 1C. 2D. 3

18. 在矩形 ABCD 中，O 为两对角线交点，若 BC=5e1，DC=3e2，则 OC=
A. 125e1+3e2B. 125e1−3e2C. 123e2−5e1D. 125e2−3e1

19. 如图，D，E，F 分别是 △ABC 的边 AB，BC，CA 的中点
A. AD+BE+CF=0B. BD−CF+DF=0
C. AD+CE−CF=0D. BD−BE−FC=0

20. 已知点 O，N，P 在 △ABC 所在平面内，且 ∣OA∣=∣OB∣=∣OC∣，NA+NB+NC=0，PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA，则点 O，N，P 依次是 △ABC的
A. 重心、外心、垂心B. 重心、外心、内心
C. 外心、重心、垂心D. 外心、重心、内心

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 四边形 ABCD 中，AB=a，AD=b，CB=c，则 DC= ．

22. 若 a≠0，b≠0，且 a=b=a−b，则 a 与 a+b 所在直线的夹角是 ．

23. 已知复数集合 A=x+yi x≤1,y≤1,x,y∈R，B=z2 z2=34+34iz1,z1∈A，其中 i 为虚数单位，若复数 z∈A∩B，则 z 对应的点 Z 在复平面内所形成图形的面积为 ．

24. 已知三角形 ABC 为等腰直角三角形，且 ∠A=90∘，有下列命题：
① ∣AB+AC∣=∣AB−AC∣；
② ∣BC−BA∣=∣CB−CA∣;
③ ∣AB−CB∣=∣AC−BC∣;
④ ∣AB−AC∣2=∣BC−AC∣2+∣CB−AB∣2．
其中正确命题的序号为 ．

25. 设平面上有四个互异的点 A 、 B 、 C 、 D，已知 DB+DC−2DA⋅AB−AC=0，则 △ABC 的形状一定是 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 作图验证 −a+b=−a−b．

27. 已知 △ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90∘，M 是斜边 AB 的中点，CM=a，CA=b，求证：
（1）∣a−b∣=∣a∣；
（2）∣a+a−b∣=∣b∣．

28. 如图所示，O 为 △ABC 内一点，直线 AO 交 BC 于点 D，直线 BO 交 CA 于点 E，直线 CO 交 AB 于点 F，OA=a，OB=b，OC=c，DO=d，EO=e，FO=f．连接 DE，EF，FD．试用 a，b，c，d，e，f 表示下列向量：
（1）AC；
（2）AD；
（3）AD−AB；
（4）AB+CF；
（5）BF−BD．

29. 已知平面内两定点 A，B，对该平面内任一动点 C，总有 OC=3λOA+1−3λOB（λ∈R，点 O 为直线 AB 外点），则点 C 的轨迹是什么图形?请说明理由．

30. 如图，O 为正六边形 ABCDEF 的中心，求出下列向量：
（1）OA+OC；
（2）OA+FE．

31. （1）如图，设点 P，Q 是线段 AB 的三等分点，若 OA=a，OB=b，试用 a，b 表示向量 OP，OQ；
（2）在（1）中，当点 P，Q 三等分线段 AB 时，有 OP+OQ=OA+OB．如果点 A1，A2，⋯，An−1 是线段 AB 的 nn≥3 等分点，你能得出什么结论?请证明你的结论．
（3）条件同（1），（2），试用 a，b 表示向量 OAk1≤k≤n．
答案
第一部分
1. D【解析】选项D中，AB−CB+CA=AB+BC+CA=AC+CA=0．
2. D
3. B【解析】由向量平行四边形法则可得：AB+AD=AC．
4. B【解析】因为 FE=BC，所以 AB+FE+CD=AB+BC+CD=AD=2．
5. D
【解析】BA=OA−OB=5−5i．
6. D
7. B【解析】因为 OA−OD+DA=2DA，故A错误；
因为 AB+MB+BO+OM=AB+MB+BM=AB+0=AB，故B正确；
因为 AB−CB+AC=AB+BC+AC=2AC，故C错误；
因为 0⋅AB=0，故D错误．
故选：B．
8. B【解析】在平行四边形 ABCD 中，CB=DA，
所以 AB+DA=DB=2DO=2OB．
9. D【解析】直接根据全称命题的否定为特称命题进行求解即可．
10. C
【解析】因为 OA=OB=OC，
所以点 O 到 △ABC 的三个顶点的距离相等，
所以 O 为 △ABC 的外心；
由 NA+NB+NC=0，
得 NA+NB=−NC=CN，
由中线的性质可知点 N 在 AB 边的中线上，
同理可得点 N 在其他边的中线上，
所以点 N 为 △ABC 的重心．
11. C【解析】如图，F 是 BC 的中点，E 为 DF 的三等分点，
于是 32DE=DF，12BC=BF，则
AB+12BC−32DE−AD=AB+BF−DF−AD=AF+FD−AD=AD−AD=0.
故选C．
12. C【解析】如图所示，作平行四边形 ABCD，
则 AB+BC=AC，AB−BC=AB−AD=DB，
因为 m=n，
所以 AC=DB，
所以平行四边形 ABCD 为矩形，
所以 △ABC 为直角三角形，∠ABC=90∘．
13. C【解析】因为 BC=AC−AB 且 AC−AB≤AC−AB≤AC+AB，
所以 3≤AC−AB≤13，
所以 3≤BC≤13．
14. B【解析】因为 AB+AD=AC，
所以 AB+AD+AC 的长度为 AC 的模的 2 倍，
又 AC=42+22=25，
所以向量 AB+AD+AC 的长度为 45．
15. C
16. C【解析】由三角形“五心”的定义，我们可得：
（1）OA+OB+OC=0 时，O 为 △ABC 的重心；
（2）OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA 时，O 为 △ABC 的垂心；
（3）OA⋅AC∣AC∣−AB∣AB∣=OB⋅BC∣BC∣−BA∣BA∣=0 时，O 为 △ABC 的内心；
（4）OA+OB⋅AB=OB+OC⋅BC=0 时，O 为 △ABC 的外心．
17. A【解析】①当 a 与 b 不共线时成立；
②当 a=b=0，或 b=0，a≠0 时成立；
③当 a 与 b 共线，方向相反，且 a≥b 时成立；
④当 a 与 b 共线，且方向相同时成立．
18. A【解析】因为 O 为 AC 的中点，
所以 OC=12DC+BC=123e2+5e1．
19. A【解析】因为 AD=DB，
所以 AD+BE=DB+BE=DE=FC，
所以 AD+BE+CF=FC+CF=0．
20. C
【解析】
如图，因为 NA+NB+NC=0，所以 NB+NC=−NA．依向量加法的平行四边形法则，知 ∣NA∣=2∣ND∣，故点 N 为 △ABC 的重心．因为 PA⋅PB=PB⋅PC，所以 PA−PC⋅PB=CA⋅PB=0．同理 AB⋅PC=0，BC⋅PA=0，所以点 P 为 △ABC 的垂心．由 ∣OA∣=∣OB∣=∣OC∣，知点 O 为 △ABC 的外心．
第二部分
21. a−b−c
22. 30∘
【解析】设 OA=a，OB=b，
则 a−b=BA，
因为 a=b=a−b，
所以 OA=OB=BA．
所以 △OAB 是等边三角形，
所以 ∠BOA=60∘．
又因为 OC=a+b，且在菱形 OACB 中，对角线 OC 平分 ∠BOA．
所以 a 与 a+b 所在直线的夹角为 30∘．
23. 72
【解析】因为复数集合 A=x+yi x≤1,y≤1,x,y∈R，
所以集合 A 所对应的平面区域为 x=±1 与 y=±1 所围成的正方形区域；
又 B=z2 z2=34+34iz1,z1∈A，
设 z1=a+bi，且 a≤1，b≤1，a,b∈R，
所以 z2=34+34iz1=34+34ia+bi=34a−b+34a+bi，
设 z2 对应的点为 x,y，则 x=34a−b,y=34a+b, 所以 32a=x+y,32b=y−x,
又 a≤1，b≤1，所以 −32≤x+y≤32,−32≤y−x≤32,
因为复数 z∈A∩B，z 对应的点 Z 在复平面内所形成图形即为集合 A 与集合 B 所对应区域的重叠部分，如图中阴影部分所示．
由题意及图象易知：阴影部分为正八边形，只需用集合 A 所对应的正方形区域的面积减去四个小三角形的面积即可．
由 x+y=32,y=1 得 B12,1；由 x+y=32,x=1 得 C1,12．
所以 S阴影=2×2−4×12×12×12=72．
24. ①②③④
【解析】以 AB，AC 为邻边作平行四边形 ABDC，由题意知其为正方形．
① ∣AB+AC∣=∣AD∣，
∣AB−AC∣=∣CB∣；
∣AD∣=∣CB∣
所以①正确；
② ∣BC−BA∣=∣AC∣，
∣CB−CA∣=∣AB∣，
∣AC∣=∣AB∣，
所以②正确；
③ ∣AB−CB∣=∣AB+BC∣=∣AC∣，
∣AC−BC∣=∣AC+CB∣=∣AB∣，
∣AC∣=∣AB∣，
所以③正确；
④ ∣AB−AC∣2=∣CB∣2，
∣BC−AC∣2+∣CB−AB∣2=∣BC+CA∣2+∣CB+BA∣2=∣BA∣2+∣CA∣2=∣CB∣2，
所以④正确．
25. 等腰三角形
【解析】因为
DB+DC−2DA⋅AB−AC=DB−DA+DC−DA·AB−AC=AB+AC·AB−AC=AB2−AC2=∣AB∣2−∣AC∣2=0,
所以 ∣AB∣=∣AC∣，所以 △ABC 是等腰三角形．
第三部分
26. 略．
27. （1） 如图，
由 △ABC 为等腰直角三角形，可知 ∣CA∣=∣CB∣．由 M 是斜边 AB 的中点，得 ∣CM∣=∣AM∣=∣MB∣．
在 △ACM 中，AM=CM−CA=a−b，
于是由 ∣AM∣=∣CM∣ 得 ∣a−b∣=∣a∣．
（2） 易知 MB=AM=a−b，
所以 CB=MB−MC=a−b+a=a+a−b，从而由 ∣CB∣=∣CA∣，得 ∣a+a−b∣=∣b∣．
28. （1） AC=OC−OA=c−a．
（2） AD=OD−OA=−DO−OA=−d−a．
（3） AD−AB=BD=OD−OB=−DO−OB=−d−b．
（4） AB+CF=OB−OA+OF−OC=OB−OA−FO−OC=b−a−f−c.
（5） BF−BD=DF=OF−OD=−FO+DO=d−f．
29. 点 C 的轨迹图形为直线 AB．
理由：将等式两边同时减去 OA，得
OC−OA=3λ−1OA+1−3λOB=1−3λOB−OA=1−3λAB,
即 AC=1−3λAB，λ∈R，又 AC 与 AB 有公共点 A，
所以 A，B，C 三点共线，即点 C 的轨迹图形是直线 AB．
30. （1） 因为 OA=CB，
所以 OA+OC=OC+CB=OB．（答案不唯一）
（2） 因为 FE=OD，
所以 OA+FE=OA+OA=0．
31. （1） 因为 BA=OA−OB ，所以 OP=OB+23BA=23a+13b；
OQ=OB+13BA=13a+23b．
（2） 结论 1：OA1+OAn−1=OA2+OAn−2=⋯=OA+OB；
因为 AAk=knAB,OAk=OA+AAk=OA+knAB ① ，
所以 OAn−k=OA+n−knAB=OA+AB−knAB=OB−knAB ②．
①+②得 OAk+An−k=OA+OB .
结论 2：OA1+OA2+⋯+OAn−1=n−12OA+OB．
由①
OA1+OA2+⋯+OAn−1=OA+1nAB+OA+2nAB+⋯+OA+n−1nAB=n−1OA+1n1+2+⋯+n−1AB=n−1OA+n−12AB=n−1OA+n−12OB−OA=n−12OA+OB .
（3） 由① OAk=OA+knAB=OA+knOB−OA=knOB+n−knOA=n−kna+knb．