2022届高考大一轮复习知识点精练：双曲线的概念与方程

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：双曲线的概念与方程，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 已知抛物线 y2=8x 的准线经过双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一个焦点，且双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线的方程为
A. x22−y2=1B. x2−y22=1C. x24−y24=1D. x22−y22=1

2. 已知双曲线 x2a2−y22=1a>2 的两条渐近线的夹角为 π3，则双曲线的离心率为
A. 2B. 3C. 263D. 233

3. 已知双曲线 x24−y22=1 的右焦点为 F，P 为双曲线左支上一点，点 A0,2，则 △APF 周长的最小值为
A. 4+2B. 41+2C. 22+6D. 6+32

4. 已知双曲线的中心在原点，两个焦点 F1，F2 分别为 5,0 和 −5,0，点 P 在双曲线上，且 PF1⊥PF2，△PF1F2 的面积为 1，则双曲线的方程为
A. x22−y23=1B. x23−y22=1C. x24−y2=1D. x2−y24=1

5. 如图，已知双曲线的方程为写 x2a2−y2b2=1a>0,b>0，点 A，B 均在双曲线的右支上，线段 AB 经过双曲线的右焦点 F2，∣AB∣=m，F1 为双曲线的左焦点，则 △ABF1 的周长为
A. 2a+2mB. 4a+2mC. a+mD. 2a+4m

6. “m>1 且 m≠2”是“方程 x22−m−y2m−1=1 表示双曲线”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件

7. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1，F2，且 F2 为抛物线 y2=24x 的焦点，设点 P 为两曲线的一个公共点，若 △PF1F2 的面积为 366，则双曲线的方程为
A. x29−y227=1B. x227−y29=1C. x216−y29=1D. x29−y216=1

8. 设 F1，F2 分别为双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得 ∣PF1∣+∣PF2∣=3b，∣PF1∣⋅∣PF2∣=94ab，则该双曲线的离心率为
A. 43B. 53C. 94D. 3

9. 已知点 O0,0，A−2,0，B2,0．设点 P 满足 ∣PA∣−∣PB∣=2，且 P 为函数 y=34−x2 图象上的点，则 ∣OP∣=
A. 222B. 4105C. 7D. 10

10. 从集合 −3,−2,−1,1,2,3,4 中随机选取一个数记为 m，从集合 −2,−1,2,3,4 中随机选取一个数记为 n，则在方程 x2m+y2n=1 表示双曲线的条件下，方程 x2m+y2n=1 表示焦点在 y 轴上的双曲线的概率为
A. 917B. 817C. 1735D. 935

11. 已知 P 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 上一点，F1，F2 为双曲线 C 的左、右焦点，若 PF1=F1F2，且直线 PF2 与以 C 的实轴为直径的圆相切，则 C 的渐近线方程为
A. y=±43xB. y=±34xC. y=±35xD. y=±53x

12. 已知平面上定点 F1，F2 及动点 M，命题甲：∣∣MF1∣−∣MF2∣∣=2a（a 为常数），命题乙：点 M 的轨迹是以 F1，F2 为焦点的双曲线，则甲是乙的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

13. 已知双曲线 C:x2a2−y29=1a>0 左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线 l 交双曲线 C 的左支于 A，B 两点，且 AB=6，若 △ABF2 的周长为 28，则双曲线 C 的渐近线方程为
A. 3x±4y=0B. 4x±3y=0C. 3x±8y=0D. 8x±3y=0

14. 如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面 5 m，水面宽 AB=30 m．若水面下降 5 m，则水面宽是 （结果精确到 0.1 m）（参考数值：2≈1.41,5≈2.24,7≈2.65）
A. 43.8 mB. 44.8 mC. 52.3 mD. 53.0 m

15. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F7,0，直线 y=x−1 与其相交于 M，N 两点，MN 中点的横坐标为 −23，则此双曲线的方程是
A. x23−y24=1B. x22−y25=1C. x25−y22=1D. x24−y23=1

16. 已知双曲线 x216−y220=1 的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为双曲线右支上一点，且 PF2 的中点 M 在以 O 为圆心，OF1 为半径的圆上，则 PF2=
A. 12B. 6C. 4D. 2

17. 给出下列说法：
①方程 x2+y2−2x+4y+8=0 表示一个圆；
②若 m>n>0，则方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆；
③已知点 M−1,0，N1,0，若 ∣PM∣−∣PN∣=2，则动点 P 的轨迹是双曲线的右支；
④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切；
其中正确说法的个数是
A. 0B. 1C. 2D. 3

18. 若方程 x24−t+y2t−1=1 所表示的曲线为 C，给出下列四个命题：
①若 C 为椭圆，则实数 t 的取值范围为 1,4；
②若 C 为双曲线，则实数 t 的取值范围为 −∞,1∪4,+∞；
③ 曲线 C 不可能是圆；
④ 若 C 表示椭圆，且长轴在 x 轴上，则实数 t 的取值范围为 1,52．
其中真命题的序号为
A. ②③B. ①②C. ②④D. ②③④

19. 曲线 x216+y29=1 与曲线 x216−k+y29−k=190 的右焦点为 F．若过点 F 且倾斜角为 60∘ 的直线 l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率 e 的取值范围是 ．

23. 若双曲线与椭圆 x216+y26=1 有相同的焦点，且双曲线的渐近线方程为 y=±12x，则此双曲线方程为 ．

24. 过双曲线 x2−y24=1 的左焦点 F1 作一条直线 l 交双曲线左支于 P，Q 两点，若 ∣PQ∣=4，F2 是双曲线的右焦点，则 △PF2Q 的周长是 ．

25. 在 △ABC 中，已知 A−4,0，B4,0，且 sinA−sinB=12sinC，则点 C 的轨迹方程是 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 怎样理解双曲线的渐近线的含义?怎样求渐近线?怎样根据渐近线设双曲线的方程?

27. 求轨迹方程与求轨迹有什么区别?

28. 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（1）过点 P3,154，Q−163,5 且焦点在坐标轴上；
（2）c=6，经过点 −5,2，焦点在 x 轴上；
（3）与双曲线 x216−y24=1 有相同的焦点，且经过点 32,2．

29. 求与双曲线 x216−y24=1 有公共的焦点，且过点 32,2 的双曲线的标准方程．

30. 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点 P3,27，Q−62,7 的双曲线的标准方程．

31. 已知点 M−2,0，N2,0，动点 P 满足条件 ∣PM∣−∣PN∣=22，记动点 P 的轨迹为 W．
（1）求 W 的方程；
（2）若 A，B 是 W 上的不同两点，O 是坐标原点，求 OA⋅OB 的最小值．
答案
第一部分
1. D
2. D【解析】已知双曲线 x2a2−y22=1 的两条渐近线的夹角为 π3，则 2a=tanπ6=33，所以 a2=6，则双曲线的离心率为 233．
3. B【解析】曲线 x24−y22=1 右焦点为 F6,0，△APF 周长 l=∣AF∣+∣AP∣+∣PF∣=∣AF∣+∣AP∣+2a+∣PF′∣ 要使 △APF 周长最小，只需 ∣AP∣+∣PF′∣ 最小，如图：
当 A，P，F′ 三点共线时取到，故 l=2∣AF∣+2a=41+2．
4. C【解析】由题可得 ∣PF1∣⋅∣PF2∣=2,∣PF1∣2+∣PF2∣2=252, 得 ∣PF1∣−∣PF2∣2=16，即 2a=4，解得 a=2．又因为 c=5，所以 b=1，所以双曲线的方程为 x24−y2=1．
5. B
【解析】由双曲线的定义，知 ∣AF1∣−∣AF2∣=2a，∣BF1∣−∣BF2∣=2a．
又 ∣AF2∣+∣BF2∣=∣AB∣，
所以 △ABF1 的周长为 ∣AF1∣+∣BF1∣+∣AB∣=4a+2∣AB∣=4a+2m．
6. B【解析】若方程 x22−m−y2m−1=1 表示双曲线，
则 2−m⋅m−1>0，解得 10 解得 x=132,y=332,
即 ∣OP∣=134+274=10．
10. A
【解析】设事件 A 为“方程 x2m+y2n=1 表示双曲线”，事件 B 为“方程 x2m+y2n=1 表示焦点在 y 轴上的双曲线”．
由题意得，PA=3×3+4×27×5=1735，
PAB=3×37×5=935，
则 PB∣A=PABPA=917．
故选A．
11. A【解析】依据题意作出图象，如图，
则 PF1=F1F2=2c，∣OM∣=a，
又直线 PF2 与以 C 的实轴为直径的圆相切，
所以 OM⊥PF2，
所以 MF2=c2−a2=b，
由双曲线的定义可得，PF2−PF1=2a，
所以 PF2=2c+2a，
所以 cs∠OF2M=bc=2c2+2a+2c2−2c22×2c×2a+2c，
整理得 2b=a+c，即 2b−a=c，
将 c=2b−a 代入 c2=a2+b2，整理得 ba=43，
所以 C 的渐近线方程为 y=±bax=±43x．
12. B【解析】根据双曲线的定义，乙 ⇒ 甲，但甲 \（\nRightarrw\） 乙，只有当 2a0，C0,−a，
又因为 ∣AB∣=30，∣CD∣=5，则 B15,−a−5，
将 B 代入双曲线方程，可得 −a−52a2−152a2=1，
解得 a=20，即 y2202−x2202=1，
当水面下降 5 m，纵坐标 YN=−a−10，
代入双曲线方程可得 XN=105，
所有 ∣MN∣=2XN=205≈44.8．
故选：B．
15. B
【解析】设双曲线方程为 x2a2−y2b2=1（a>0，b>0），Mx1,y1，Nx2,y2．
将 y=x−1 代入双曲线方程，整理得 b2−a2x2+2a2x−a2−a2b2=0，
由根与系数的关系得 x1+x2=2a2a2−b2，则 x1+x22=a2a2−b2=−23．
又 c2=a2+b2=7，
所以 a2=2，b2=5，
所以此双曲线的方程是 x22−y25=1．
16. C【解析】由 x216−y220=1 可得 c=16+20=6，则 ∣OM∣=OF1=c=6．
由题可知 OM 是 △PF1F2 的中位线，则 PF1=2∣OM∣=12，
故 PF2=PF1−8=4，故选C．
17. B【解析】根据题意，
对于①，方程 x2+y2−2x+4y+8=0 变形为 x−12+y+22=−3，不是圆的方程，故①错误；
对于②，方程 mx2+ny2=1 变形为 x21m+y21n=1，若 m>n>0，则有 1n>1m>0，则方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，故②错误；
对于③，点 M−1,0，N1,0，则 ∣MN∣=2，若 ∣PM∣−∣PN∣=2，则动点 P 的轨迹是一条射线（以 N 为端点向右的射线），故③错误；
对于④，设抛物线方程为 y2=2pxp>0，焦点坐标为 Fp2,0，准线方程为 x=−p2，过焦点的弦为 AB，过端点 A，B 分别做准线的垂线，垂足为 Aʹ，Bʹ，由抛物线的定义知，
∣FA∣=∣AAʹ∣，∣FB∣=∣BBʹ∣，则 ∣AB∣=∣FA∣+∣FB∣=∣AAʹ∣+∣BBʹ∣，
由梯形的中位线知，12∣AB∣=12∣AAʹ∣+∣BBʹ∣，即以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切，故④正确．
综上，正确说法的个数为 1 个．
18. C【解析】①若 C 为椭圆，则 4−t>0 且 t−1>0 且 4−t≠t−1，
所以 11 且 t0 共渐近线曲线方程可设为 x2a2−y2b2=λa>0,b>0,λ≠0．
27. 求轨迹方程只需求出方程即可若求轨迹（即点运动形成的图形），则不仅要求出方程，而且还需要说明所求方程对应的曲线，即曲线的形状位置、大小等．
28. （1） 设双曲线的方程为 x2m+y2n=1mn