2022届高考大一轮复习知识点精练：直线与圆的综合问题

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：直线与圆的综合问题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 若 a，b∈R，直线 l:y=ax+b，圆 C:x2+y2=1 .
命题 p：直线 l 与圆 C 相交；命题 q:a>b2−1 则 P 是 q 的 ( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

2. 已知圆 O:x2+y2=1，点 Mt,2，若圆 O 上存在两点 A，B 满足 MA=AB，则实数 t 的取值范围是
A. −2,2B. −3,3C. −5,5D. −5,5

3. 已知直线 l:x+2y−3=0 与圆 x−22+y2=4 交于 A，B 两点，求线段 AB 的中垂线方程
A. 2x−y−2=0B. 2x−y−4=0
C. 25x−5y−1=0D. 25x−5y−19=0

4. 若圆 x2+y2−2ax+3by=0 的圆心位于第三象限，那么直线 x+ay+b=0 一定不经过
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

5. 过点 1,2 总可以作两条直线与圆 x2+y2+kx+2y+k2−15=0 相切，则实数 k 的取值范围是
A. −∞,−3∪2,+∞B. −∞,−3∪2,833
C. −833,−3∪2,+∞D. −833,−3∪2,833

6. 台风中心从 A 地以每小时 20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心 30 km 内的地区为危险地区，城市 B 在 A 地正东 40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为
A. 0.5 hB. 1 hC. 1.5 hD. 2 h

7. 已知直线 l1:x+3y−7=0，过定点 0,−2 的直线 l2 与 x 轴、 y 轴正半轴及 l1 所围成的四边形有外接圆，则直线 l2 的方程为
A. x+y+2=0B. 3x−y−2=0C. 6x+y+2=0D. 6x−y−2=0

8. 若圆 x2+y2−2x−4y=0 的圆心到直线 x−y+a=0 的距离为 22，则 a 的值为
A. −2 或 2B. 12 或 32C. 2 或 0D. −2 或 0

9. 已知 ⊙M 的圆心在曲线 y=2xx>0 上，且 ⊙M 与直线 2x+y+1=0 相切，则 ⊙M 的面积的最小值为
A. 9π5B. 4πC. 5πD. 9π

10. 如果直线 ax+by=1 与圆 C:x2+y2=1 相交，则点 Ma,b 与圆 C 的位置关系是
A. 点 M 在圆 C 上B. 点 M 在圆 C 外
C. 点 M 在圆 C 内D. 上述三种情况都有可能

11. 已知点 A−3,0，B0,3，若点 P 在曲线 y=−1−x2 上运动，则 △PAB 面积的最小值为
A. 6B. 3C. 92−322D. 92+322

12. 一动圆的圆心在抛物线 y2=8x 上，且动圆恒与直线 x+2=0 相切，则此动圆必过定点
A. 4,0B. 0,−2C. 2,0D. 0,2

13. 在平面直角坐标系中，记 d 为点 Pcsθ,sinθ 到直线 x−my−2=0 的距离．当 θ，m 变化时，d 的最大值为
A. 1B. 2C. 3D. 4

14. 若直线 y=kx 与圆 x+22+y2=1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对称，则 k，b 的值分别为
A. k=−12，b=−4B. k=12，b=4
C. k=12，b=−4D. k=4，b=3

15. 已知 ⊙M：x2+y2−2x−2y−2=0，直线 l：2x+y+2=0，P 为 l 上的动点，过点 P 作 ⊙M 的切线 PA，PB，切点为 A，B，当 PM⋅AB 最小时，直线 AB 的方程为
A. 2x−y−1=0B. 2x+y−1=0C. 2x−y+1=0D. 2x+y+1=0

16. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1−c,0，F2c,0，若椭圆上一点 P 满足 PF2⊥x 轴，且 PF1 与圆 x2+y2=c24 相切，则该椭圆的离心率为
A. 33B. 12C. 22D. 63

17. 已知 F1，F2 是双曲线 C:x2a2−y2=1（a>0）的两个焦点，过点 F1 作垂直于 x 轴的直线与双曲线 C 交于 A，B 两点．若 ∣AB∣=2，则 △ABF2 的内切圆半径为
A. 23B. 33C. 223D. 233

18. 已知 P 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 上一点，F1，F2 为双曲线 C 的左、右焦点，若 PF1=F1F2，且直线 PF2 与以 C 的实轴为直径的圆相切，则 C 的渐近线方程为
A. y=±43xB. y=±34xC. y=±35xD. y=±53x

19. 若双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线被圆 x+22+y2=4 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为
A. 233B. 2C. 3D. 2

20. 已知点 Pa,b，曲线 C1:x2+y2=1，曲线 C2:y=1−x2，则“点 Pa,b 在曲线 C1 上”是“点 Pa,b 在曲线 C2 上”的
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x2+y2=1 分成长度相等的四段弧，则 a2+b2= ．

22. 已知直线 l:mx+y−2m−2=0 与圆 C:x2+y2−8y=0 交于 A，B 两点，若 ∠ACB=π2，则直线 l 的方程为 ．

23. 已知直线 l：3x+4y+m=0，圆 C：x2+y2−4x+2=0，则圆 C 的半径 r= ；若在圆 C 上存在两点 A，B，在直线 l 上存在一点 P，使得 ∠APB=90∘，则实数 m 的取值范围是 ．

24. 已知直线 l：3x+4y+m=0，圆 C：x2+y2−4x＋2=0，则圆 C 的半径 r= ；若在圆 C 上存在两点 A，B，在直线 l 上存在一点 P，使得 ∠APB=90∘，则实数 m 的取值范围是 ．

25. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BC⊥DG，垂足为 C，tan∠ODC=35，BH∥DG，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，圆孔半径为 1 cm，则图中阴影部分的面积为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 已知点 C 是曲线 xy=3x>0 上一点，以 C 为圆心的圆与 x 轴交于 O 、 A 两点，与 y 交于 O 、 B 两点，其中 O 为坐标原点．
（1）求证：△OAB 的面积为定值；
（2）设直线 y=−3x+5 与圆 C 交于 M 、 N 两点，若 OM=ON，求圆 C 的方程．

27. 已知圆 C:x−a2+y−b2=4a>0,b>0 与 x 轴，y 轴分别相切于 A，B 两点．
（1）求圆 C 的方程；
（2）若直线 l:y=kx−2 与线段 AB 没有公共点，求实数 k 的取值范围；
（3）试讨论直线 l:y=kx−2 与圆 C:x−a2+y−b2=4a>0,b>0 的位置关系．

28. 设 a∈R，圆 C:x−12+y−a2=4．
（1）若 a=0，点 P 的坐标为 P3,−2，Q 为圆 C 上的动点，求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程．
（2）若圆 C 上有且仅有一个点到直线 x−y=0 的距离等于 1，求 a 的值．

29. 已知圆 C：x−12+y+22=20，点 P−3,0 为圆 C 上一点．
（1）过点 P 的直线 l 与圆 C 相切，求直线 l 的方程．
（2）Q 是圆 C 上一动点（异于点 P），求 PQ 中点 M 的轨迹方程．

30. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0，圆 O:x2+y2=r2（O 为坐标原点）．过点 0,b 且斜率为 1 的直线与圆 O 交于点 1,2，与椭圆 C 的另一个交点的横坐标为 −85．
（1）求椭圆 C 的方程和圆 O 的方程；
（2）过圆 O 上的动点 P 作两条互相垂直的直线 l1，l2，若直线 l1 的斜率为 kk≠0 且 l1 与椭圆 C 相切，试判断直线 l2 与椭圆 C 的位置关系，并说明理由．

31. 已知抛物线 C1：y2=4x 与圆 C2：x2+y2=r2 的一个交点的横坐标 x0=5−2，动直线 l 与 C1 相切于点 P，与 C2 交于不同的两点 A，B，O 为坐标原点．
（1）求 C2 的方程；
（2）若 OA⊥OB，求 ∣PA∣∣PB∣ 的值．
答案
第一部分
1. B
2. C【解析】因为 MA=AB，
所以 A 为 BM 的中点，
设圆心 O 到直线 BM 的距离为 d，
则有 OM2−d2=31−d2，
所以 OM2=9−8d2，
因为 0≤d20，解得 −8330，解得 k>2 或 k0，
则 r=2a+2a+15≥22a⋅2a+15=5，当且仅当 2a=2a，即 a=1 时取等号，
所以 ⊙M 的面积的最小值为 π×52=5π．
10. B
11. B【解析】曲线 y=−1−x2 表示以 O 为原点，1 为半径的下半圆（包括两个端点），
直线 AB 的方程为 x−y+3=0，
可得 ∣AB∣=32，P 在 −1,0 时，P 到直线 AB 的距离最短，即为 ∣−1−0+3∣2=2，
则 △PAB 的面积的最小值为 12×32×2=3．
12. C
13. C
14. B
15. D
【解析】圆的方程可化为 x−12+y−12=4，
点 M 到直线 l 的距离为 d=2×1+1+222+12=5>2，
所以直线 l 与圆相离．
依圆的知识可知，四点 A，P，B，M 四点共圆，且 AB⊥MP，
所以 PM⋅AB=2S△PAM=2×12×PA×AM=2PA，
而 PA=MP2−4，
当直线 MP⊥l 时，MPmin=5，PAmin=1，此时 PM⋅AB 最小．
所以 MP：y−1=12x−1 即 y=12x+12，
由 y=12x+12,2x+y+2=0, 解得 x=−1,y=0.
所以以 MP 为直径的圆的方程为 x−1x+1+yy−1=0，即 x2+y2−y−1=0．
两圆的方程相减可得：2x+y+1=0，即为直线 AB 的方程．
16. A
17. B【解析】由双曲线 C 的方程可知 b=1，
依题意知，∣AB∣=2b2a=2，
所以 a=2．
又 c2=a2+b2=3，
所以 ∣F1F2∣=2c=23．
又 ∣AF1∣=∣BF1∣=12∣AB∣=22，
所以 ∣AF2∣=∣BF2∣=2a+∣AF1∣=22+22=522．
（或 ∣AF2∣=∣BF2∣=222+232=522）
设 △ABF2 的内切圆半径为 r，则
S△ABF2=12∣AB∣∣F1F2∣=12∣AB∣+∣AF2∣+∣BF2∣⋅r,
即
r=∣AB∣∣F1F2∣∣AB∣+∣AF2∣+∣BF2∣=2×232+522+522=33.
18. A【解析】依据题意作出图象，如图，
则 PF1=F1F2=2c，∣OM∣=a，
又直线 PF2 与以 C 的实轴为直径的圆相切，
所以 OM⊥PF2，
所以 MF2=c2−a2=b，
由双曲线的定义可得，PF2−PF1=2a，
所以 PF2=2c+2a，
所以 cs∠OF2M=bc=2c2+2a+2c2−2c22×2c×2a+2c，
整理得 2b=a+c，即 2b−a=c，
将 c=2b−a 代入 c2=a2+b2，整理得 ba=43，
所以 C 的渐近线方程为 y=±bax=±43x．
19. D【解析】设双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆 x−22+y2=4 的圆心 2,0，半径为：2，
双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线被圆 x−22+y2=4 所截得的弦长为 2，
可得圆心到直线的距为：22−12=2ba2+b2，
解得：4c2−4a2c2=3，可得 e2=4，即 e=2．
20. B
【解析】已知点 Pa,b，
曲线 C1 的方程 x2+y2=1，即曲线 C1 为圆心在原点，半径为 1 的圆，
曲线 C2 的方程 y=1−x2，即曲线 C2 为圆心在原点，半径为 1 的上半圆，
①若点 Pa,b 在曲线 C1 上，则点 Pa,b 满足曲线 C1 的方程 x2+y2=1，
即 a2+b2=1 成立，则不一定有 b=1−a2，b≥0 成立，
所以点 Pa,b 在曲线 C1 上，不能推出点 Pa,b 在曲线 C2 上；
②若点 Pa,b 在曲线 C2 上，则点 Pa,b 满足曲线 C2 的方程 y=1−x2，有 b=1−a2，
因为曲线 C2 为圆的曲线 x 轴交点即上方部分图形，b≥0，
所以点 Pa,b 在曲线 C2 上能推出点 Pa,b 在曲线 C1 上，
即能推出 a2+b2=1 成立，
根据充分条件和必要条件的定义可得，
“点 Pa,b 在曲线 C1 上”是“点 Pa,b 在曲线 C2 上”的必要非充分条件．
第二部分
21. 2
【解析】依题意，圆心 O0,0 到两直线 l1:y=x+a，l2:y=x+b 的距离相等，且每段弧长等于圆周的 14，即 ∣a∣2=∣b∣2=1×sin45∘=22，得 ∣a∣=∣b∣=1，故 a2+b2=2．
22. y=x
23. 2，−16,4
【解析】由圆 x2+y2−4x+2=0，
得 x−22+y2=2，
所以圆 C 的半径 r=2．
①当直线 l：3x+4y+m=0 与圆 C：x2+y2−4x+2=0 有交点时，显然满足题意，此时 ∣6+m∣9+16≤2，
解得 −6−52≤m≤−6+52
②当直线 l：3x+4y+m=0 与圆 C：x2+y2−4x+2=0 无交点时，此时 m−6+52，
“在圆 C 上存在两点 A，B，在直线 l 上存在一点 P，使得 ∠APB=90∘”等价于“直线 l 上存在点 P，过点 P 作圆的两条切线，其夹角大于等于 90∘”，
设两个切点为 M，N，则 ∠MPN≥90∘，
所以 ∠MPC≥45∘，
所以 sin∠MPC=∣MC∣∣PC∣≥sin45∘=22，
所以 ∣PC∣≤2，
根据题意可得直线 l 上存在点 P，使得 ∣PC∣≤2，等价于 ∣PC∣min≤2，
又 ∣PC∣ 的最小值为圆心 C 到直线 l 的距离，
所以 ∣3×2+4×0+m∣32+42≤2，
解得 −16≤m≤4．
又 m−6+52，
所以 −16≤m0，可得 a=b=2，
则圆 C 的方程为：x−22+y−22=4．
（2） 由（1）可得，A2,0，B0,2，
直线 l:y=kx−2 过定点 P0,−2，如图，
因为 kPA=1，
所以若直线 l:y=kx−2 与线段 AB 没有公共点，则实数 k 的取值范围是 −∞,1．
（3） 由 C2,2 到直线 kx−y−2=0 的距离 d=∣2k−4∣k2+1=2，解得 k=34，
由图可知，当 k∈−∞,34 时，直线 l 与圆 C 相离；
当 k=34 时，相切；
当 k∈34,+∞ 时，相交．
28. （1） 根据题意，设 M 的坐标为 x,y，
又由 P3,−2，则 Q 的坐标 2x−3,2y+2，
若 a=0，圆 C:x−12+y2=4，Q 为圆 C 上的动点，则有 2x−42+2y+22=4，
变形可得：x−22+y+12=1．
（2） 根据题意，圆 C:x−12+y−a2=4，圆心为 1,a，半径 r=2，
若圆 C 上有且仅有一个点到直线 x−y=0 的距离等于 1，则圆心到直线 x−y=0 的距离 d=3，
则有 1−a1+1=3，解可得 a=1+32 或 1−32．
故 a=1+32 或 1−32．
29. （1） 圆 C：x−12+y+22=20 的圆心为 C1,−2，半径 r=20，
因为 −3−12+0+22=20
所以点 P−3,0 在圆 C 上，
所以 l⊥PC，
因为 kPC=−12，
所以 kl=2，
所以直线 l 的方程为 y−0=2x+3，
即 y=2x+6．
（2） 设 Mx,y，则 Q2x+3,2y，
因为点 Q 在圆 C 上，代入圆的方程可得 2x+3−12+2y+22=20，
整理得 x+12+y+12=5，
故 PQ 中点 M 的轨迹方程为 x+12+y+12=5x≠3．
30. （1） 因为圆 O 过点 1,2，所以圆 O 的方程为：x2+y2=5．
因为过点 0,b 且斜率为 1 的直线方程为 y=x+b，
又因为过点 1,2，所以 b=1．
因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为 −85,−35，
所以 −852a2+−3521=1，解得 a2=4．
所以椭圆 C 的方程为 x24+y2=1．
（2） 直线 l2 与椭圆 C 相切．理由如下：
设圆 O 上动点 Px0,y0x0≠±2，所以 x02+y02=5．
依题意，设直线 l2:y−y0=kx−x0，
由 x2+4y2=4,y=kx+y0−kx0 得 1+4k2x2+8ky0−kx0x+4y0−kx02−4=0．
因为直线 l1 与椭圆 C 相切，
所以 Δ=8ky0−kx02−41+4k24y0−kx02−4=0，
所以 1+4k2=y0−kx02，
所以 4−x02k2+2x0y0k+1−y02=0．
因为 x02+y02=5，
所以 4−x02=y02−1，
所以 y02−1k2+2x0y0k+1−y02=0．
设直线 l2:y−y0=−1kx−x0，
由 x2+4y2=4,y−y0=−1kx−x0,
得 1+4k2x2−8ky0+x0kx+4y0+x0k−4=0，
1=164−x02−1k2+2x0y0−1k+1−y02=16k24−x02−2kx0y0+1−y02k2=16k2y02−1−2kx0y0+1−y02k2=−16k2y02−1k2+2kx0y0+1−y02=0.
所以直线 l2 与椭圆 C 相切．
31. （1） 联立抛物线 C1 与圆 C2 的方程：得 x2+4x−r2=0，
由题意，x0=5−2 满足上述方程，所以 5−22+45−2−r2=0，
解得 r2=1，所以 C2 的方程为 x2+y2=1．
（2） 设直线 l 的方程为 x=ky+m，
联立直线 l 与抛物线 C1 的方程得 y2−4ky−4m=0，
由于直线 l 与 C1 相切，所以 Δ=−4k2−4−4m=0，即 k2+m=0, ⋯⋯①
联立直线 l 与圆 C2 的方程：得 1+k2y2+2kmy+m2−1=0，
设 Ax1,y1，Bx2,y2，则 y1+y2=−2km1+k2，y1y2=m2−11+k2．
由 OA⊥OB，得 x1x2+y1y2=0，
即 ky1+mky2+m+y1y2=k2+1y1y2+kmy1+y2+m2=0，
故 1+k2m2−11+k2+km−2km1+k2+m2=0，
化简得，2m2−k2−1=0, ⋯⋯②
将①代入②得 2m2+m−1=0，解得 m=−1 或 m=12（舍去），k2=1，所以 k=±1，
故直线 l 的方程为 x=±y−1．
解方程得切点 P 的坐标为 P11,2，P21,−2．
i．当 P 的坐标为 P11,2 时，此时 A0,1，B−1,0，故 ∣PA∣∣PB∣=2×22=4；
ii．当 P 的坐标为 P21,−2 时，此时 A−1,0，B0,−1，故 ∣PA∣∣PB∣=22×2=4．
综上，∣PA∣⋅∣PB∣=4．