2022届高考大一轮复习知识点精练：同角三角函数的基本关系

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：同角三角函数的基本关系，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 已知 sinφ=−45，且 φ 为第四象限角，则 tanφ=
A. 43B. 34C. −43D. −34

2. 已知 a∈−π2,0，且 sinα=−13，则 csα 等于
A. 12B. −12C. 223D. −223

3. 在 △ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a=32，b=23，csC=13，则 △ABC 的面积为
A. 33B. 23C. 43D. 3

4. 已知 α 是第三象限的角，且 sinα=−13，则 sinα+π2=
A. −13B. −223C. 13D. 223

5. 若 sinπ−α=13，且 π2≤α≤π，则 sin2α 的值为
A. −429B. −229C. 229D. 429

6. 已知 tanα=43，则 sinα+csαsinα−csα 的值为
A. 4B. 5C. 6D. 7

7. 化简 csπ2−αtan2π−αsinπ+αctπ2+α，得
A. 1B. −1C. ±1D. tan2α

8. csα=45，α∈0,π，则 tanα 的值等于
A. 43B. 34C. ±43D. ±34

9. 已知角 α 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A1,a，B2,b，且 cs2α=23，则 a−b=
A. 15B. 55C. 255D. 1

10. 若 α∈0,π2，tan2α=csα2−sinα，则 tanα=
A. 1515B. 55C. 53D. 153

11. 已知 △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 csC=223，bcsA+acsB=2，则 △ABC 的外接圆面积为
A. 4πB. 8πC. 9πD. 36π

12. 已知 a=csα,1,sinα，b=sinα,1,csα，则向量 a+b 与 a−b 的夹角是
A. 90∘B. 60∘C. 30∘D. 0∘

13. 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 O 是坐标原点，则 ∣AF∣⋅∣BF∣ 的最小值是
A. 2B. 2C. 4D. 22

14. 已知 θ 是第二象限角，sinθ=45，则 secθ 的值为
A. −35B. −53C. 54D. −54

15. 已知 θ 是第三象限角，且 sin4θ+cs4θ=59，则 sinθcsθ 的值为
A. 23B. −23C. 13D. −13

16. 如果 tanθ=2，那么 1+sinθcsθ 的值是
A. 73B. 75C. 54D. 53

17. 已知 csα=k，k∈R，α∈π2,π，则 sinπ+α=
A. −1−k2B. 1−k2C. ±1−k2D. −k

18. 已知 α 是第二象限角，若 sinπ2−α=−13，则 sinα=
A. −223B. −13C. 13D. 223

19. 已知 sinα=35，且 α 为第二象限角，则 sinα+csαsinα−2csα 的值为
A. −111B. 111C. −75D. 75

20. 已知 3sinπ2−α−sinπ+α=−2，则 csα−sinα 的取值可以为
A. 825B. 2C. −2D. −325

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 若 π2<α<π 且 csα=−13，则 tanα= ．

22. 已知 csα+π4=13，0<α<π2，则 sinα+π4= ．

23. 已知 sinα+csβ=1，csα+sinβ=0，则 sinα+β= ．

24. 若 sinθ+csθ=15，θ∈π2,π．则 sinθ−csθ= ；sin4θ−cs4θ= ．

25. 设 α 为锐角，若 csα+π6=45，则 sin2α+π12 的值为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 已知 sinα=−35，且 α 是第 象限角．
从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：
（1）求 csα，tanα 的值．
（2）化简求值：sinπ−αcs−αsin32π+αcs2020π+αtan2020π−α．

27. 已知 sinα+csα=15，其中 0<α<π．
（1）求 1sinα+1csα 的值．
（2）求 tanα 的值．

28. 已知 tanα=−43，且 α 是第二象限的角．
（1）求 sinα 和 csα 的值；
（2）求 csα+sinαcsα−sinα 的值．

29. 已知在 △ABC 中，sinA+csA=15．
（1）求 sinAcsA 的值；
（2）判断 △ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；
（3）求 tanA 的值．

30. 化简：tanx+1tanxsin2x−tanx．

31. 已知 sin4α+cs4α=1，求：
（1）sinα+csα；
（2）sin3α+cs3α；
（3）sinkα+cskαk∈Z．
答案
第一部分
1. C
2. C
3. C【解析】因为 csC=13，
所以 sinC=1−cs2C=223，
又因为 a=32，b=23，
所以 S△ABC=12absinC=12×32×23×223=43．
4. B【解析】sinα+π2=csα，
因为 sinα=−13，且 α 是第三象限的角，
所以 csα=−1−sin2α=−1−−132=−223．
5. A
【解析】因为 sinπ−α=13，
所以 sinα=13，
又因为 π2≤α≤π，
所以 csα=−1−sin2α=−223，
所以
sin2α=2sinαcsα=2×13×−223=−429.
6. D【解析】因为 tanα=43，
所以 sinα+csαsinα−csα=tanα+1tanα−1=43+143−1=7．
7. B
8. B
9. B
10. A
【解析】因为 tan2α=csα2−sinα，
所以 tan2α=sin2αcs2α=2sinαcsα1−2sin2α=csα2−sinα，
因为 α∈0,π2，所以 csα≠0，所以 2sinα1−2sin2α=12−sinα，解得 sinα=14，
所以 csα=1−sin2α=154，所以 tanα=sinαcsα=1515．
11. C【解析】c=bcsA+acsB=2，由 csC=223 得 sinC=13，再由正弦定理可得 2R=csinC=6，所以 △ABC 的外接圆面积为 πR2=9π．
12. A【解析】因为 a=b=2，所以 a+b⋅a−b=a2−b2=0．故向量 a+b 与 a−b 的夹角是 90∘．
13. C【解析】设直线 AB 的倾斜角为 θ，可得 ∣AF∣=21−csθ，∣BF∣=21+csθ，则 ∣AF∣⋅∣BF∣=21−csθ×21+csθ=4sin2θ≥4．
14. B
15. A
【解析】由 sin4θ+cs4θ=59，得 sin2θ+cs2θ2−2sin2θcs2θ=59，
所以 sin2θcs2θ=29，
因为 θ 是第三象限角，
所以 sinθ<0，csθ<0，
所以 sinθcsθ=23．
故选A．
16. B【解析】1+sinθcsθ=sin2θ+cs2θ+sinθcsθsin2θ+cs2θ=tan2θ+1+tanθtan2θ+1=22+1+222+1=75.
17. A【解析】由 csα=k，α∈π2,π 得 sinα=1−k2 ，
所以 sinπ+α=−sinα=−1−k2．
18. D【解析】α 是第二象限角，若 sinπ2−α=−13，可得 csα=−13，
所以 sinα=1−cs2α=223．
19. A【解析】因为 sinα=35，且 α 为第二象限角，
可得 csα=−1−sin2α=−45，
则 sinα+csαsinα−2csα=35+−4535−2×−45=−111．
20. C
【解析】3sinπ2−α−sinπ+α=3csα+sinα=−2，
所以
3csα+sinα2=9cs2α+sin2α+6csαsinα=9cs2α+sin2α+6csαsinαcs2α+sin2α=9+tan2α+6tanα1+tan2α=2,
所以 tan2α−6tanα−7=0，即 tanα−7tanα+1=0，
所以 tanα=7 或 tanα=−1，
若 tanα=7，则 3csα+7csα=−2，
所以 csα=−210，
所以 csα−sinα=−210+7210=325，
若 tanα=−1，则 3csα−csα=−2，
所以 csα=−22，
所以 csα−sinα=−22−22=−2．
第二部分
21. −22
22. 223
【解析】因为 0<α<π2，
所以 π4<α+π4<3π4，
所以 sinα+π4=1−132=223．
23. −12
24. 75，725
【解析】因为 sinθ+csθ=15，
所以 sinθ+csθ2=125，
即 1+2sinθcsθ=125，
所以 2sinθcsθ=−2425，
所以
sinθ−csθ2=sin2θ−2sinθcsθ+cs2θ=1−2sinθcsθ=1−−2425=4925,
而 θ∈π2,π，
所以 sinθ>0，csθ<0，
所以 sinθ−csθ>0，
所以 sinθ−csθ=75，
所以
sin4θ−cs4θ=sinθ+csθsinθ−csθsin2θ+cs2θ=15×75×1=725.
25. 17250
【解析】根据 csα+π6=45，得 cs2α+π3=2cs2α+π6−1=2×1625−1=725，因为 α 为锐角，所以 π3<2α+π3<4π3，又因为 cs2α+π3>0，所以 2α+π3 为第一象限角，所以 sin2α+π3=1−7252=2425，因此
sin2α+π12=sin2α+π3−π4=sin2α+π3csπ4−cs2α+π3sinπ4=17250.
第三部分
26. （1） 因为 sinα=−35，
所以 α 为第三象限或第四象限角，
若选③，csα=−45，tanα=34；
若选④，csα=45，tanα=−34．
（2） 原式=sinαcsα−csαcsαtan−α=−sinαcsα−tanα=sinαcsαsinαcsα=cs2α=1−−352=1625.
27. （1） 1sinα+1csα=−512．
（2） tanα=−43．
28. （1） 因为 tanα=sinαcsα=−43，
所以 sinα=−43csα，
又 sin2α+cs2α=1，
所以 259cs2α=1，
因为 α 为第二象限角，
所以 csα=−35，sinα=45．
（2） 原式=1+tanα1−tanα=1−431+43=−17．
29. （1） 因为 sinA+csA2=125，
所以 1+2sinAcsA=125，
所以 sinAcsA=−1225．
（2） 因为 sinAcsA<0，又 0所以 A 为钝角，所以 △ABC 为钝角三角形．
（3） sinA−csA2=1−2sinAcsA=4925．
又 sinA−csA>0，所以 sinA−csA=75，
所以 sinA=45，csA=−35，故 tanA=−43．
30. 原式=sinxcsx+csxsinxsin2x−tanx=sin2xsinxcsx−tanx=0.
31. （1） ±1．
易求 sinα⋅csα=0，sinα=0 或 csα=0．
（2） ±1．
（3） 当 k 为奇数时，原式=±1；
当 k 为偶数时，原式=1．