2022届高考大一轮复习知识点精练：直线与双曲线的位置关系

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：直线与双曲线的位置关系，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 已知双曲线 x2−y2=4，若过点 P 作直线 l 与双曲线交于 A，B 两点，且点 P 是线段 AB 的中点，则点 P 的坐标可能是
A. 1,1B. 1,2C. 2,1D. 2,2

2. 直线 y=bax+3 与双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的交点个数是
A. 1B. 2C. 1 或 2D. 0

3. 已知双曲线 E 的中心为坐标原点，F3,0 是双曲线 E 的焦点，过点 F 的直线 l 与双曲线 E 交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 N−12,−15，则双曲线 E 的方程为
A. x23−y26=1B. x24−y25=1C. x26−y23=1D. x25−y24=1

4. 过双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点 F 作一条直线，当直线斜率为 1 时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为 3 时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为
A. 1,2B. 1,10C. 2,10D. 5,10

5. 直线 l 过点 2,0 与双曲线 x2−y2=2 仅有一个公共点，则这样的直线有
A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条

6. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 且斜率为 247 的直线与双曲线在第一象限的交点为 A，若 F2F1+F2A⋅F1A=0，则此双曲线的标准方程可能为
A. x24−y23=1B. x23−y24=1C. x216−y29=1D. x29−y216=1

7. 若直线 l 与双曲线 x24−y2=1 相切于点 P，l 与双曲线的两条渐近线分别交于 M，N 两点，则 OM⋅ON 的值为
A. 3B. 4
C. 5D. 与点 P 的位置有关

8. 若不论 k 为何值，直线 y=kx−2+b 与曲线 x2−y2=1 总有公共点，则 b 的取值范围是
A. −3,3B. −3,3C. −2,2D. −2,2

9. 设连接双曲线 x2a2−y2b2=1 与 y2b2−x2a2=1 的四个顶点为四边形面积为 S1，连接其四个焦点的四边形面积为 S2，则 S1S2 的最大值为
A. 2B. 12C. 1D. 4

10. 过点 1,0 与双曲线 x24−y2=1 仅有一个公共点的直线有
A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条

11. 直线 y=kx+m 与双曲线 x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的交点个数最多为
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

12. 过点 P1,1 作直线与双曲线 x−y2=1 交于 A，B 两点，使点 P 为 AB 的中点，则这样的直线
A. 存在一条，且方程为 2x−y−1=0
B. 存在无数条
C. 存在两条，且方程为 2x±y+1=0
D. 不存在

13. 直线 l 过点 3,0 且与双曲线 x23−y2=1 仅有一个公共点，这样的直线有 条．
A. 1B. 2C. 3D. 不确定

14. 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，∣AB∣ 为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为
A. 2B. 3C. 2D. 3

15. 直线 l 与双曲线 x22−y2=1 的同一支相交于 A，B 两点，线段 AB 的中点在直线 y=2x 上，则直线 AB 的斜率为
A. 4B. 2C. 12D. 14

16. 已知双曲线方程为 x2−y2=4，过点 A3,1 作直线 l 与该双曲线交于 M，N 两点，若点 A 恰好为 MN 中点，则直线 l 的方程为
A. y=3x−8B. y=−3x+8C. y=3x−10D. y=−3x+10

17. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点为 F，直线 l 经过点 F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线 l 与双曲线的右支交于不同两点 A，B，若 AF=3FB，则该双曲线的离心率为
A. 52B. 62C. 233D. 3

18. 已知双曲线 C：x2a2−y2b2=1（a>b>0）的离心率为 2，过右焦点 F 的直线 l 交双曲线的两条渐近线于 A，B 两点，且 FA+2FB=0，则直线 l 的斜率 k（k>0）的值等于
A. 33B. 23C. 3D. 33

19. 已知曲线 C1:y−x=2 与曲线 C2:λx2+y2=4 恰好有两个不同的公共点，则实数 λ 的取值范围是
A. −∞,−1∪0,1B. −1,1
C. −1,1D. −1,0∪1,+∞

20. 设双曲线 x2a2−y2b2=1a＞0,b＞0 的右焦点为 F，过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐近线于 A，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 P，设 O 为坐标原点，若 OP=λOA+μOB（λ,μ∈R），λ⋅μ=316，则双曲线的离心率为
A. 233B. 355C. 322D. 98

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知双曲线 x212−y24=1 的右焦点为 F．若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则直线斜率的取值范围是 ．

22. 已知双曲线 C:y2a2−x2b2=1a>0,b>0，P 为 x 轴上一动点，经过点 P 的直线 y=2x+mm≠0 与双曲线 C 有且只有一个交点，则双曲线 C 的离心率为 ．

23. 设 F1，F2 分别是双曲线 x2−y29=1 的左、右焦点．若点 P 在双曲线上，且 PF1⋅PF2=0，则 PF1+PF2= ．

24. 设双曲线 x2−y22=1 上两点 A，B，AB 中点 M1,2，直线 AB 方程为 ．

25. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左右顶点分别是 A，B，右焦点 F，过 F 垂直于 x 轴的直线 l 交双曲线于 M，N 两点，P 为直线 l 上的点，当 △APB 的外接圆面积达到最小时，点 P 恰好落在 M（或 N）处，则双曲线的离心率是 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 已知双曲线的方程为 2x2−y2=2．
（1）求以 A2,1 为中点的双曲线的弦所在直线的方程．
（2）过点 B1,1 能否作直线 l，使直线 l 与所给双曲线交于 Q1，Q2 两点，且点 B 是弦 Q1Q2 的中点?如果直线 l 存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

27. 双曲线 Γ:x216−y29=1 的左、右焦点分别为 F1，F2，直线 l 经过 F2 且与 Γ 的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限．
（1）设 P 为 Γ 右支上的任意一点，求 ∣PF1∣ 的最小值；
（2）设 O 为坐标原点，求 O 到 l 的距离，并求 l 与 Γ 的交点坐标．

28. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的离心率为 3．
（1）求双曲线 C 的渐近线方程；
（2）当 a=1 时，已知直线 x−y+m=0 与双曲线 C 交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的中点在圆 x2+y2=5 上，求实数 m 的值．

29. 已知双曲线 C 的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为 y=±2x，过点 P62,1．
（1）求双曲线 C 的标准方程；
（2）是否存在被点 B1,1 平分的弦?如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．

30. 经过点 M2,1 是否存在直线 l 与双曲线 x2−y22=1 交于 A，B 两点，且 M 为 AB 的中点，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由．

31. 若双曲线 E:x2a2−y2=1a>0 的离心率等于 2，直线 y=kx−1 与双曲线 E 的右支交于 A，B 两点．
（1）求 k 的取值范围；
（2）若 ∣AB∣=63，点 C 是双曲线上一点，且 OC=mOA+OB，求 k，m 的值．
答案
第一部分
1. B【解析】kDP⋅kAB=b2a2=1，
因为 AB 不与渐近线平行且与双曲线交于两点，
所以 kDP≠±1，−10，
由题意知 c=3，a2+b2=9．
设 Ax1,y1，Bx2,y2，则 x12a2−y12b2=1,x22a2−y22b2=1,
两式作差得 y1−y2x1−x2=b2x1+x2a2y1+y2=−12b2−15a2=4b25a2．
又因为直线 AB 的斜率是 −15−0−12−3=1，
所以 4b2=5a2，
代入 a2+b2=9 得 a2=4，b2=5，
所以双曲线 E 的标准方程是 x24−y25=1．
4. C【解析】双曲线右焦点坐标为 a2+b2,0，
设过右焦点的直线为 y=kx−ka2+b2，
与双曲线方程联立消去 y 可得到 b2−a2k2x2+2a2k2a2+b2x−a2a2k2+b2k2+b2=0．
由题意可知，当 k=1 时，此方程有两个异号实根，
所以 a2a2+2b2b2−a2>0，得 00, 即 k>1,−2