2021年北京昌平区桃洼学校九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京昌平区桃洼学校九年级上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是
A. 2，5，10，25B. 4，7，4，7
C. 2，12，12，4D. 2，5，25，52

2. 抛物线 y=x2−1 的顶点坐标是
A. 0,1B. 0,−1C. 1,0D. −1,0

3. 计算 sin60∘ 的值等于
A. 12B. 22C. 32D. 1

4. 已知 AB 为 ⊙O 的直径，C 为 ⊙O 上一点，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为点 D，延长 CD 至点 E，使 DE=CD，那么点 E 的位置是
A. 在 ⊙O 内B. 在 ⊙O 上C. 在 ⊙O 外D. 不能确定

5. 在下列各组图形中，是位似图形的有
A. 2 对B. 3 对C. 4 对D. 5 对

6. 函数 y=−2xx>0 的图象位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

7. 如图，点 A，B，C 在 ⊙O 上，BC∥OA，连接 BO 并延长，交 ⊙O 于点 D，连接 AC，DC．若 ∠A=25∘，则 ∠D 的大小为
A. 25∘B. 30∘C. 40∘D. 50∘

8. 在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 DC 边上，连接 AE ，交 BD 于点 F ，若 DE:EC=3:1 ，则 △DEF 的面积与 △BAF 的面积之比为
A. 3:4B. 9:16C. 9:1D. 3:1

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如图，△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，BC 上，DE∥AC．若 BD=4，DA=2，BE=3，则 EC= ．

10. 若正六边形的外接圆的半径为 2，则其内切圆的半径等于 ．

11. 如果二次函数 y=ax2+bx+c 图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表所示，那么它的图象与 x 轴的另一个交点坐标是 ．
x⋯−1012⋯y⋯0343⋯

12. 如图，边长为 1 的小正方形网格中，点 A，B，C，D，E 均在格点上，半径为 2 的 ⊙A 与 BC 交于点 F，则 tan∠DEF= ．

13. 如图，点 A 是反比例函数 y=kx 的图象上的一点，过点 A 作 AB⊥x 轴，垂足为 B，点 C 为 y 轴上的一点，连接 AC，BC，若 △ABC 的面积为 3，则 k 的值是 ．

14. 如图，在 Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P 是 △ABC 内部的一个动点，且满足 ∠PAB=∠PBC，则线段 CP 长的最小值是 ．

15. 为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板 DEF 的斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上．测得 DE=0.5 米，EF=0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG=1.5 米，到旗杆的水平距离 DC=20 米．按此方法，请计算旗杆的高度为 米．

16. 如图，矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2．以 A 为圆心，AD 的长为半径做弧交 BC 边于点 E，则图中 DE 的弧长是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 如图，根据条件求 ∠A．

18. 计算：π20−2sin30∘+4+12−1．

19. 如图，在 △ABC 中，AB=8，BC=4，AC=6，CD∥AB，BD 是 ∠ABC 的平分线，BD 交 AC 于点 E，求 AE 的长．

20. 如图，已知一次函数 y1=k1x−1k1≠0 与反比例函数 y2=k2xk2≠0 的图象交于 A4,1，Bn,−2 两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）请根据图象直接写出 y1
21. 解答：
（1）画出函数 y=2x−1 的图象；
（2）判断点 A−2.5,−4，B1,3，C2.5,4 是否在函数 y=2x−1 的图象上．

22. 阅读材料，解答问题．
例：用图象法解一元二次不等式 x2−2x−3>0．
解：设 y=x2−2x−3，
则 y 是 x 的二次函数．
∵a=1>0，
∴ 抛物线的开口向上．
当 y=0 时，x2−2x−3=0，
解得 x1=−1，x2=3．
由此得二次函数 y=x2−2x−3 的大致图象如图所示．
观察函数图象可知，
当 x<−1 或 x>3 时，y>0．
∴x2−2x−3>0 的解集是 x<−1 或 x>3．
（1）观察图象，直接写出一元二次不等式 x2−2x−3<0 的解集；
（2）依照上例，用图象法解一元二次不等式 x2−1>0．

23. 如图，已知平行四边形 ABCD 中，BD⊥AD，延长 AD 至点 E，使 D 是 AE 的中点，连接 BE 和 CE，BE 与 CD 交于点 F．
（1）求证：四边形 BDEC 是矩形；
（2）若 AB=6，AD=3，求矩形 BDEC 的面积．

24. 要用 20 m 长的绳子围成一个长方形，请写出长方形的面积 Sm2 与长方形的一边长 xm 之间的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围．

25. 如图，四边形 ABCD 内接于半径为 5 的 ⊙O，且 AB=AD，若 tan∠ABD=12，求 BD 的长．

26. 如图 1，在平面直角坐标系中，直线 AB:y=kx+b（k<0，b>0），与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，直线 CD 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D．若直线 CD 的解析式为 y=−1kx+b，则称直线 CD 为直线 AB 的“姊线”，经过点 A，B，C 的抛物线称为直线 AB 的“母线”．
（1）若直线 AB 为：y=−3x+6，则 AB 的“姊线”CD 的解析式为 （直接填空）．
（2）若直线 AB 的“母线”解析式为：y=−12x2−x+4，求 AB 的“姊线”CD 的解析式．
（3）如图 2，在（2）的条件下，点 P 为第二象限“母线”上的动点，连接 OP，交“姊线”CD 于点 Q．设点 P 的横坐标为 m，PQ 与 OQ 的比值为 y，求 y 与 m 的函数关系式，并求 y 的最大值．

27. 回答下列问题．
（1）如图①，△ABC 和 △AED 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90∘，点 B 在线段 AE 上，点 C 在线段 AD 上，请直接写出线段 BE 与线段 CD 的数量关系与位置关系是： ．
（2）如图②，将图①中的 △ABC 绕点 A 顺时针旋转，（1）小题中线段 BE 与线段 CD 的关系是否成立?如果不成立，说明理由，如果成立，请你结合图②给出的情形进行证明．

28. 已知 ⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心距离 d=6．
（1）若 r=3，则点 P 在 ；
（2）若 r= ，则点 P 在圆上；
（3）若 r ，则点 P 在圆内．
答案
第一部分
1. C
2. B
3. C
4. B
5. D
6. D
7. C【解析】∵BC∥OA，
∴∠ACB=∠A=25∘，∠B=∠AOB，
又 ∠AOB=2∠ACB=50∘，
∴∠B=50∘，
∵BD 是 ⊙O 的直径，
∴∠BCD=90∘，
∴∠D=90∘−∠B=90∘−50∘=40∘．
故选C．
8. B
第二部分
9. 32
10. 3
【解析】方法一：
正六边形内切圆的半径长与此正六边形的边心距相等，
正六边形外接圆的半径长与此正六边形的边长相等，
故若正六边形外接圆的半径为 2，
则其内切圆的半径为 22−222=4−1=3．
方法二：
如图，
OA=AC=2，OB=22−1=3．
11. 3,0
【解析】∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 经过 0,3，2,3 两点，
∴ 对称轴 x=0+22=1；
点 −1,0 关于对称轴对称点为 3,0，
因此它的图象与 x 轴的另一个交点坐标是 3,0．
12. 12
【解析】连接 BD，由题意可得 ∠DBC=∠DEF，则 tan∠DEF=tan∠DBC=DCBD=12．
13. −6
【解析】连接 OA，如图，
∵AB⊥x 轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB=S△CAB=3，
而 S△OAB=12∣k∣，
∴12∣k∣=3，
∵k<0，
∴k=−6．
故答案为：−6．
14. 2
15. 11.5
【解析】由题意得：∠DEF=∠DCA=90∘，∠EDF=∠CDA，
所以 △DEF∼△DCA，
则 DEDC=EFAC，即 0.520=0.25AC，
解得：AC=10，
故 AB=AC+BC=10+1.5=11.5（米），
即旗杆的高度为 11.5 米；
故答案为：11.5．
16. 24π
【解析】∵AD 半径画弧交 BC 边于点 E，AD=2，
∴AD=AE=2，
又 ∵AB=1，
∴sin∠AEB=ABAE=12=22，
∴∠AEB=45∘，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=45∘，
故可得弧 DC 的长度为 =45∘⋅π⋅2180∘=24π，
故答案为：24π．
第三部分
17. 40∘；45∘；30∘．
18. 原式=1−1+2+2=4.
19. 证 △ABE∽△CDE，
∴CEAE=CDBA．
再证 CD=BC=4，
∴CEAE=48=12，
又 CE+AE=AC=6，
∴AE=4．
20. （1） y1=12x−1，
y2=4x．
（2） x<−2 或 021. （1）
（2） 点 A，B 不在图象上，点 C 在图象上．
22. （1） −1 （2） 设 y=x2−1，则 y 是 x 的二次函数．
∵a=1>0，
∴ 抛物线的开口向上．
当 y=0 时，x2−1=0，
解得 x=±1．
由此得二次函数 y=x2−1 的大致图象如图所示．
观察图象可知，
当 x<−1 或 x>1 时，y>0．
∴x2−1>0 的解集是 x<−1 或 x>1．
23. （1） ∵D 为 AE 中点，
∴DE=AD，
∵ 平行四边形 ABCD，
∴BC∥AD，
∴BC=AD，
∴BC=DE，
∴BC∥DE，
∴ 四边形 BCED 为平行四边形，
∵BD⊥AE，
∴∠BDE=90∘，
∴ 平行四边形 BCED 为矩形．
（2） ∵AD=3，
∴DE=3，
∵AB=6，
∴CD=6，
在 Rt△CDE 中，CE=CD2−DE2=33，
面积为 3×33=93．
24. 由题意知，与长为 x m 的边相邻的边的长为 20−2x2 m，
所以 S=x⋅20−2x2，
所以 S=x10−x．
由函数解析式本身有意义，得 x 为全体实数．
要使实际问题有意义，则边长为正数．
所以 10−x>0，x>0，即 0故长方形的面积 Sm2 与长方形的一边长 xm 之间的函数解析式为 S=x10−x025. 连接 OA，OB，OA 交 BD 于点 E，
∵AB=AD，
∴ 易证 OA⊥BD，
∴tan∠ABD=AEBE=12，
∴ 可设 AE=a，则 BE=2a，OE=5−a，
∴ 在 Rt△BOE 中，2a2+5−a2=52，
∴a=2，
∴BD=2BE=4a=8．
26. （1） y=13x+6
【解析】k=−3，b=6，
则答案为：y=13x+6．
（2） 令 x=0，则 y=4，令 y=0，则 x=2或−4，点 A，B，C 的坐标分别为 2,0，0,4，−4,0，
则直线 CD 的表达式为：y=12x+4=12x+2．
（3） 设点 P 的横坐标为 m，则点 Pm,n，n=−12m2−m+4，
则直线 OP 的表达式为：y=nmx，
将直线 OP 和 CD 表达式联立并解得：点 Q4m−m2−3m+8,m2+2m−8m2+3m−8，
则 yPyQ=−12m2−32m+4，
y=PQOQ=yP−yQyQ=ypyQ−1=−12m2−32m+3，
当 m=−32，y 最大值为 338．
27. （1） BE=CD，BE⊥CD
【解析】∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90∘，
∴BE=CD，BE⊥CD．
（2） 结论成立，
理由：如图，延长 DC 交 BE 于 F，
∵△ABC 和 △AED 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90∘，
∴AB=AC，AE=AD，
由旋转的性质得，∠BAE=∠CAD，
在 △BAE 与 △CAD 中，
AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,
∴△BAE≌△CADSAS，
∴BE=CD，∠AEB=∠ADC，
∴∠BED+∠EDF=∠AED+∠AEB+∠EDF=∠AED+∠ADC+∠EDF=∠AED+∠ADE=90∘,
∴∠EFD=90∘，
即：BE⊥CD．
28. （1） 圆外
（2） 6
（3） >6