2021年北京顺义区顺义五中九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京顺义区顺义五中九年级上期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 抛物线 y=2x+12−3 的顶点坐标为
A. 1,3B. 1,−3C. −1,3D. −1,−3

2. 在下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 在 △ABC 中，∠C=90∘，如果 BC=3，AC=4，那么 tanA 的值是
A. 34B. 43C. 35D. 45

4. 把抛物线 y=−12x2 向右平移 2 个单位，则平移后所得抛物线的表达式为
A. y=−12x2+2B. y=−12x+22
C. y=−12x2−2D. y=−12x−22

5. 在平面直角坐标系中，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A6,8，B10,2，若以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩短为原来的 12 后得到线段 CD，则点 A 的对应点 C 的坐标为
A. 5,1B. 4,3C. 3,4D. 1,5

6. 如图，⊙O 中，CD⊥AB 于点 E，若 ∠B=60∘，则 ∠A=
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

7. 如果在两个圆中有两条相等的弦，那么
A. 这两条弦所对的圆心角相等
B. 这两条弦所对的弧相等
C. 这两条弦都被与它垂直的半径平分
D. 这两条弦所对的弦心距相等

8. 若一个扇形的半径是 18 cm，且它的弧长是 12π cm，则此扇形的圆心角等于
A. 30∘B. 60∘C. 90∘D. 120∘

9. 如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 看一栋楼顶部 B 的仰角为 30∘，看这栋楼底部 C 的俯角为 60∘，热气球 A 与楼的水平距离为 120 米，这栋楼的高度 BC 为
A. 160 米B. 60+1603 米
C. 1603 米D. 360 米

10. 下图是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，对于下列说法：① ac>0，② 2a+b>0，③ 4ac0 时，y 随 x 的增大而减小，其中正确的是
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ③④⑤

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 抛物线 y=2x2+8x+m 与 x 轴只有一个交点，则 m= ．

12. 如图，在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，F 是 AD 上一点，且 AF:FD=1:4，连接 CF，并延长交 AB 于点 E，则 AE:EB= ．

13. 如图①，将一个量角器与一张等边三角形（△ABC）纸片放置成轴对称图形，CD⊥AB，垂足为 D，半圆（量角器）的圆心与点 D 重合，此时，测得顶点 C 到量角器最高点的距离 CE=2 cm，将量角器沿 DC 方向平移 1 cm，半圆（量角器）恰与 △ABC 的边 AC，BC 相切，如图②，则 AB 的长为 cm．

14. 如图，已知二次函数 y1=ax2+bx+c 与一次函数 y2=kx+m 的图象相交于 A−1,2，B4,1 两点，则关于 x 的不等式 ax2+bx+c>kx+m 的解集是 ．

15. 旋转的三要素： 、 、 ．

16. 阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：
小亮的作法如下：
老师说："小亮的作法正确．"
请你回答：小亮的作图依据是

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 计算：ct45∘+tan60∘sin60∘−cs60∘−ct30∘．

18. 如图，Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=10，AC=8，E 是 AC 上一点，AE=5，ED⊥AB 于 D．
（1）求证：△ACB∽△ADE；
（2）求 AD 的长度．

19. 小明家客厅是用若干块相同的正万形地砖铺成的，面积为 21.6 m2，小明数了一下正好是 60 块，请你帮忙算一下，每块地砖的边长是多少米?

20. 如图，飞机沿水平方向（A，B 两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶 M 到飞行路线 AB 的距离 MN．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方 N 处才测飞行距离），请设计一个求距离 MN 的方案，要求：
（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；
（2）用测出的数据写出求距离 MN 的步骤．

21. 已知四边形 ABCD 中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120∘，∠MBN=60∘，∠MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD，DC（或它们的延长线）于 E，F．
（1）当 ∠MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF 时（如图 1），求证 AE+CF=EF；
（2）当 ∠MBN 绕 B 点旋转到 AE≠CF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE，CF，EF 又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并给出简单证明过程．

22. 已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象与 y 轴交于点 0,3，且经过点 A1,−8 和 B5,8．
（1）求二次函数的解析式，并写出其图象的顶点坐标；
（2）当 1≤x≤4 时，求二次函数的函数值 y 的取值范围．

23. 如图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是 1 m，拱桥的跨度为 10 m，桥洞与水面的最大距离是 5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 4 m 的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求两盏景观灯之间的水平距离．

24. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A，D 的 ⊙O 分别交 AB，AC 于点 E，F．
（1）求证：BC 是 ⊙O 切线；
（2）设 AB=m，AF=n，试用含 m，n 的代数式表示线段 AD 的长．

25. （1）如图所示，已知 AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，AC=8，CD=6 ， 求 cs∠ABC 的值．
（2）如图所示，在 △ABC 中，∠A=30∘，∠B=45∘，AC=23，求 AB 的长．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=x2−4x+2m−1 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧）．
（1）求 m 的取值范围；
（2）当 m 取最大整数时，求点 A 、点 B 的坐标．

27. 抛物线 M：y=ax2−4ax+a−1a≠0 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），抛物线的顶点为 D．
（1）抛物线 M 的对称轴是直线 ；
（2）当 AB=2 时，求抛物线 M 的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，直线 l：y=kx+bk≠0 经过抛物线的顶点 D，直线 y=n 与抛物线 M 有两个公共点，它们的横坐标分别记为 x1，x2，直线 y=n 与直线 l 的交点的横坐标记为 x3x3>0，若当 −2≤n≤−1 时，总有 x1−x3>x3−x2>0，请结合函数的图象，直接写出 k 的取值范围．

28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的任意两点 Mx1,y1，Nx2,y2，给出如下定义：点 M 与点 N 的“折线距离”为：dM,N=∣x1−x2∣+∣y1−y2∣.
例如：若点 M−1,1，点 N2,−2，则点 M 与点 N 的“折线距离”为：dM,N=∣−1−2∣+∣1−−2∣=3+3=6．
根据以上定义，解决下列问题：
（1）已知点 P3,−2．
①若点 A−2,−1，则 dP,A= ；
②若点 Bb,2，且 dP,B=5，则 b= ；
③已知点 Cm,n 是直线 y=−x 上的一个动点，且 dP,C<3，求 m 的取值范围．
（2）⊙F 的半径为 1，圆心 F 的坐标为 0,t，若 ⊙F 上存在点 E，使 dE,O=2，直接写出 t 的取值范围．

29. 已知两个共一个顶点的等腰 Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90∘，
（1）如图①，当 CB 与 CE 在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图①，若 CB=a，CE=2a，求 BM，ME 的长；
（3）如图②，当 ∠BCE=45∘ 时，求证：BM=ME．
答案
第一部分
1. D
2. A
3. A
4. D【解析】因为把抛物线 y=−12x2 向右平移 2 个单位，根据“左加右减自变量”得平移后所得抛物线的表达式为 y=−12x−22．
5. C
6. A【解析】∵CD⊥AB，
∴∠AED=90∘，
∵∠D=∠B=60∘，
∴∠A=90∘−∠D=30∘．
7. C
8. D
9. C【解析】如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，
则 ∠BAD=30∘，∠CAD=60∘，AD=120（米），
在 Rt△ABD 中，BD=AD⋅tan30∘=120×33=403（米），
在 Rt△ACD 中，CD=AD⋅tan60∘=120×3=1203（米），
∴BC=BD+CD=1603（米）．
10. C
【解析】分析过程如下：
①由题中图象知,a>0,c<0,∴ac<0×②对称轴是直线x=−b2a<1,∴−b<2a,∴2a+b>0③抛物线与x轴有两个交点,∴b2−4ac>0,∴4ac第二部分
11. 8
【解析】∵ 抛物线与 x 轴只有一个交点，
∴b2−4ac=0，
∴64−8m=0，m=8．
12. 1:8
【解析】如图，过点 D 作 DG∥EC 交 AB 于 G．
∵AD 是 BC 边上的中线，
∴BD=CD，
∴BG=GE．
∵DG∥EC，
∴AE:EG=AF:FD=1:4．
∴AE:EB=1:8．
13. 23
【解析】如图，设半圆的圆心为 O，与 BC 的切点为 M，连接 OM，则 OM⊥MC，
∴∠OMC=90∘，
设 AB 为 2x cm，
∵△ABC 是等边三角形，
∴BD=x cm，CD=3x cm，
∴ 半圆的半径为 3x−2 cm，OC=3x−1 cm，
∵sin∠DCB=OMOC=12，
∴3x−23x−1=12，
∴x=3，
∴AB=2x=23cm．
14. x<−1 或 x>4
15. 旋转中心，旋转方向，旋转角
16. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆；线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等；两条直线交于一点
第三部分
17. 4+3．
18. （1） 因为 DE⊥AB，∠C=90∘，
所以 ∠EDA=∠C=90∘，
因为 ∠A=∠A，
所以 △ACB∽△ADE．
（2） 因为 △ACB∽△ADE，
所以 AEAB=ADAC，
所以 510=AD8，
所以 AD=4．
19. 设每块地砖的边长为 x m，则
60x2=
答：每块地砖的边长为 0.6 m．
20. （1） 如图，连接 AM，BM，测出飞机在 A 处对山顶的俯角 α，测出飞机在 B 处对山顶的俯角 β，测出 A，B 间的距离 d．
（2） 第一步：在 Rt△AMN 中，tanα=MNAN，
所以 AN=MNtanα．
第二步：在 Rt△BMN 中，tanβ=MNBN，
所以 BN=MNtanβ．
由 AN=d+BN，得 MNtanα=d+MNtanβ，
解得 MN=d⋅tanα⋅tanβtanβ−tanα．
21. （1） ∵ AB⊥AD，BC⊥CD，
∴ ∠A=∠C=90∘，
在 △ABE 和 △CBF 中，
AB=BC,∠A=∠C,AE=CF,
∴ △ABE≌△CBFSAS；
∴ ∠ABE=∠CBF，BE=BF；
∵ ∠ABC=120∘，∠MBN=60∘，
∴ ∠ABE=∠CBF=30∘，
∴ AE=12BE，CF=12BF；
∵ ∠MBN=60∘，BE=BF，
∴ △BEF 为等边三角形；
∴ AE+CF=12BE+12BF=BE=EF．
（2） 图 2 成立，图 3 不成立．
证明：延长 DC 至点 K，使 CK=AE，连接 BK，
在 △BAE 和 △BCK 中，
AB=BC,∠A=∠BCK=90∘,AE=CK,
∴ △BAE≌△BCK，
∴ BE=BK，∠ABE=∠KBC，
∵ ∠FBE=60∘，∠ABC=120∘，
∴ ∠FBC+∠ABE=60∘，
∴ ∠FBC+∠KBC=60∘，
∴ ∠KBF=∠FBE=60∘，
在 △KBF 和 △EBF 中，
BK=BE,∠KBF=∠EBF,BF=BF,
∴ △KBF≌△EBF，
∴ KF=EF，
∴ KC+CF=EF，即 AE+CF=EF．
图 3 不成立，
AE，CF，EF 的关系是 AE−CF=EF．
在 AD 上截取 AP=CF，如图，
同图 2 可证 △ABP≌△CBF，
进而可证 △BPE≌△BFE，
可证 AP=CF，EF=EP，
所以，AE−CF=AE−AP=EP=EF．
22. （1） ∵ 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象与 y 轴交于点 0,3，且经过点 A1,−8 和 B5,8，
∴ c=3,a+b+c=−8,25a+5b+c=8, 解得 a=3,b=−14,c=3.
∴ 此二次函数的解析式为 y=3x2−14x+3，y=3x2−14x+3=3x−732−403，
∴ 此二次函数图象的顶点坐标为 73,−403．
（2） ∵ y=3x−732−403，
∴ 当 x=73 时，y 有最小值 −403；
当 x=4 时，y=34−732−403=−5，
当 x=1 时，y=−8．
∴ 当 1≤x≤4 时，二次函数的函数值 y 的取值范围是 −403≤y≤−5．
23. （1） y=−425x−52+50≤x≤10．
（2） 5 米．
24. （1） 如图，连接 OD，则 OD 为圆 O 的半径，
∵AD 平分 ∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODC=∠C=90∘，
即 OD⊥BC，
∴BC 是 ⊙O 切线．
（2） 连接 DF，OF，由（1）知 BC 为圆 O 的切线，
∴∠ODC=90∘，
∴∠ODF+∠CDF=90∘，
∴∠ODF=90∘−∠CDF，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD=12180∘−∠DOF=90∘−12∠DOF，
又 ∵∠DAF=12∠DOF，
∴∠ODF=90∘−∠DAF，
∴∠CDF=∠DAF．
又 ∵∠CDF+∠CFD=90∘，∠DAF+∠CDA=90∘，
∴∠CDA=∠CFD，
∴∠AFD=∠ADB，
∵∠BAD=∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，
∴ABAD=ADAF，
则 AD2=AB⋅AF．
∵AB=m，AF=n，
∴AD2=mn．
∴AD=mn．
25. （1） ∵AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，CD=6 ，
∴CE=12CD=3，∠ACB=90∘，
∴∠ABC=∠ACD．
cs∠ABC=cs∠ACD=CEAC=38．
（2） 过点 C 作 CD⊥AB 于点 D．
∵∠A=30∘，AC=23，
∴CD=3，AD=3，
∵∠B=45∘，
∴DB=CD=3．
AB=AD+DB=3+3．
26. （1） 因为抛物线 y=x2−4x+2m−1 与 x 轴有两个交点，令 y=0，
所以 x2−4x+2m−1=0．
因为与 x 轴有两个交点，
所以方程有两个不等的实数根．
所以 Δ>0，即 Δ=−42−4⋅2m−1>0，
所以 m<2.5．
（2） 因为 m<2.5，且 m 取最大整数，
所以 m=2．
当 m=2 时，抛物线 y=x2−4x+2m−1=x2−4x+3．
令 y=0，得 x2−4x+3=0，解得 x1=1，x2=3．
所以抛物线与 x 轴两个交点的坐标为 A1,0，B3,0．
27. （1） x=2
（2） 因为抛物线 y=ax2−4ax+a−1 的对称轴为直线 x=2，抛物线 M 与 x 轴的交点为点 A，B（点 A 在点 B 左侧），AB=2，
所以 A，B 两点的坐标分别为 A1,0，B3,0．
因为点 A 在抛物线 M 上，
所以将 A1,0 的坐标代入抛物线的函数表达式，得 a−4a+a−1=0．
解得 a=−12．
所以抛物线 M 的函数表达式为 y=−12x2+2x−32．
（3） k>54．
【解析】如图．
28. （1） ① 6；
② 2 或 4
③ ∵ 点 Cm,n 是直线 y=−x 上的一个动点，
∴n=−m，∴dP,C=∣3−m∣+∣−2−n∣=∣3−m∣+∣−2+m∣=∣m−3∣+∣m−2∣<3，
即数轴上表示数 m 的点到表示数 3 的点的距离与到表示数 2 的点的距离之和小于 3，
所以 1答：m 的取值范围为 1【解析】①由折线距离的定义式：dM,N=∣x1−x2∣+∣y1−y2∣，及点 P3,−2，A−2,−1 得：
dP,A=∣3−−2∣+∣−2−−1∣=6．
② dP,B=∣3−b∣+∣−2−2∣=∣3−b∣+4=5，
∴∣3−b∣=1，
∴b=2 或 4．
（2） 2−2≤t≤3 或 −3≤t≤2−2．
【解析】∵⊙F 的半径为 1，圆心 F 的坐标为 0,t，
∴ 如图所示，当点 F 位于 0,3 或 0,−3 时，刚好存在唯一一个点 E，使得 dE,0=2；
作正方形 ABCD，顶点坐标分别为：A−2,0，B0,−2，C2,0，D0,2，
当 ⊙F 在 y 轴正半轴与 AD，CD 相切时，连接圆心 F 和切点 H，则 FH⊥AD，FH=DH=1，
∴DF=2，
∴F0,2−2，
∴ 当 ⊙F 在 y 轴正半轴时，2−2≤t≤3，符合要求；
同理可得，当 ⊙F 在 y 轴负半轴时，−3≤t≤2−2，符合要求．
答：t 的取值范围为 2−2≤t≤3 或 −3≤t≤2−2．
29. （1） 连接 AF．
M 是 AF 的中点，连接 MB，
ME．延长 AB 交 CF 于点 D，
则易知 △ABC 与 △BCD 均为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，
∴ 点 B 为线段 AD 的中点，
又 ∵ 点 M 为线段 AF 的中点，
∴BM 为 △ADF 的中位线，
∴BM∥CF
（2） 如图，延长 AB 交 CF 于点 D，
则易知 △BCD 与 △ABC 为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD=a，
AC=CD=2a，
∴ 点 B 为 AD 中点，
∵ 点 M 为 AF 中点，
∴BM=12DF．
分别延长 FE 与 CA 交于点 G，
则易知 △CEF 与 △CEG 均为等腰直角三角形，
∴CE=EF=GE=2a，
CG=CF=22a，
∴ 点 E 为 FG 中点，又点 M 为 AF 中点，
∴ME=12AG．
∵CG=CF=22a，
CA=CD=2a，
∴AG=DF=2a，
∴BM=ME=12×2a=22a
（3） 延长 AB 交 CE 于点 D，连接 DF．
则易知 △ABC 与 △BCD 均为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，
AC=CD，
∴ 点 B 为 AD 中点，
又点 M 为 AF 中点，
∴BM=12DF．
延长 FE 与 CB 交于点 G，连接 AG，
则易知 △CEF 与 △CEG 均为等腰直角三角形，
∴CE=EF=EG，
CF=CG，
∴ 点 E 为 FG 中点，又点 M 为 AF 中点，
∴ME=12AG．
在 △ACG 与 △DCF 中，
AC=CD∠ACG=∠DCF=45∘CG=CF，
∴△ACG≌△DCFSAS，
∴DF=AG，
∴BM=ME