2021年北京朝阳区安民学校定福庄校区（初中部）九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区安民学校定福庄校区（初中部）九年级上期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 据中新社 2017 年 10 月 8 日报道，2017 年我国粮食总产量达到 736000000 吨，将 736000000 用科学记数法表示为
A. 736×106B. 73.6×107C. 7.36×108D. 0.736×109

2. 有理数 a 在数轴上对应的点如图所示，则 a，−a，−1 的大小关系是
A. −a
3. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，下列比例式不能判定 DE∥BC 的是
A. ADDB=AEECB. ABAD=ACAEC. ADAB=DEBCD. BDAB=CEAC

4. △ABC 与 △DEF 的相似比为 1:4，则 △ABC 与 △DEF 的周长比为
A. 1:2B. 1:3C. 1:4D. 1:16

5. 已知二次函数的图象 0≤x≤3 如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是
A. 有最小值 0，有最大值 3B. 有最小值 −1，有最大值 0
C. 有最小值 −1，有最大值 3D. 有最小值 −1，无最大值

6. 将抛物线 y=2x−32+2 向左平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，得到抛物线的解析式是
A. y=2x−62B. y=2x−62+4
C. y=2x2D. y=2x2+4

7. 如图，点 A 为 ∠α 边上任意一点，作 AC⊥BC 于点 C，CD⊥AB 于点 D，下列用线段比表示 csα 的值，错误的是
A. BDBCB. BCABC. ADACD. CDAC

8. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C 是 BAD 上一点（B，D 除外），∠AOD=136∘，则 ∠C 的度数是
A. 44∘B. 22∘C. 46∘D. 36∘

9. 如图，从热气球 C 处测得地面 A，B 两点的俯角分别为 30∘，45∘，如果此时热气球 C 处的高度 CD 为 100 米，点 A，D，B 在同一直线上，则 A，B 两点的距离是
A. 200 米B. 2003 米
C. 2203 米D. 1003+1 米

10. 在 △ABC 中，∠C 为锐角，分别以 AB，AC 为直径作半圆，过点 B，A，C 作 BAC，如图所示．若 AB=4，AC=2，S1−S2=π4，则 S3−S4 的值是
A. 29π4B. 23π4C. 11π4D. 5π4

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如图所示，在数轴上点 A 和点 B 之间的整数是 ．

12. 若 sinα=32，则锐角 α= ．

13. 二次函数 y=ax2+bx+c 的部分对应值如下表：
x⋯−3−20135⋯y⋯70−8−9−57⋯
则当 x=2 时对应的函数值 y= ．

14. 运行程序如图所示，从“输入实数 x”到“结果是否 >18”为一次程序操作，若输入 x 后程序操作进行了两次才停止，则 x 的取值范围是 ．

15. 如图，正六边形的面积为 6a，则图中阴影部分的面积为 ．

16. 如图，这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为 x 轴、 y 轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示 1 km，甲、乙两人对着地图如下描述路桥区 A 处的位置
甲：路桥区 A 处的坐标是 2,0，
乙：路桥区 A 处在椒江区 B 处南偏西 30∘ 方向，相距 16 km．
则椒江区 B 处的坐标是 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 已知如图，在 △ABC 中，∠A=30∘,∠C=105∘,AC=23，求 AB 的长．

18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx−3a≠0 与 x 轴交于点 A−2,0 、 B4,0 两点，与 y 轴交于点 C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 P 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点 Q 从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度向 C 点运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当 △PBQ 存在时，求运动多少秒使 △PBQ 的面积最大，最大面积是多少?
（3）当 △PBQ 的面积最大时，在 BC 下方的抛物线上存在点 K，使 S△CBK:S△PBQ=5:2，求 K 点坐标．

19. 计算：48−613÷3×12．

20. 先化简： a2−b2a2−ab÷a+2ab+b2a ，当 b=−1 时，再从 −2
21. 如图，Rt△ABC 与 Rt△DEF 中，∠A=∠D=90∘，∠B=40∘，∠E=20∘，用一条过顶点的线段将 Rt△ABC 分割成两个三角形，再用另一条过顶点的线段将 Rt△DEF 也分割成两个三角形；所分割成的四个三角形恰好是两对相似三角形．（要求：1 、用三种不同的方法；2 、在图中标出相应的锐角度数）

22. 反比例函数 y=kx 过点 3,−4．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当 −3≤x≤−1 时，求 y 的取值范围．

23. 不过圆心的直线 l 交 ⊙O 于 C，D 两点，AB 是 ⊙O 的直径，AE⊥l，垂足为 E，BF⊥l，垂足为 F．
（1）在如图所示的三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
（2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各图形都具有的两条线段相等的结论（不再标注其他字母，找结论的过程中，所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程）；
（3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）中所得出的结论．

24. 我市准备在相距 2 千米的 M，N 两工厂间修一条笔直的公路，但在 M 地北偏东 45∘ 方向、 N 地北偏西 60∘ 方向的 P 处，有一个半径为 0.6 千米的住宅小区（如图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁?（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）

25. 已知：如图，在 △ABC 中，∠A=∠B=30º，D 是 AB 边上一点，以 AD 为直径作 ⊙O 恰过点 C．
（1）求证：BC 所在直线是 ⊙O 的切线；
（2）若 AD=23，求弦 AC 的长．

26. 卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分，在大桥截面 1:11000 的比例图上，跨度 AB=5 cm，拱高 OC=0.9 cm，线段 DE 表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图①在比例图上，以直线 AB 为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，以 1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图②．（结果精确到 1 m，参考数据：2≈1.4）
（1）求出图②中以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）如果 DE 与 AB 的距离 OM=0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长．

27. 如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
（1）sin2A1＋sin2B1＝ ；sin2A2＋sin2B2＝ ；sin2A3＋sin2B3＝ ；
（2）观察上述等式，猜想：在 Rt△ABC 中，∠C＝90∘．都有：sin2A＋sin2B＝ ；
（3）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90∘，∠A，∠B，∠C 的对边分别是 a，b，c；利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；
（4）已知：∠A＋∠B＝90∘，且 sinA＝513，求 sinB．

28. 如图，顶点 M0,−1 在 y 轴上的抛物线与直线 y=x+1 相交于 A，B 两点，且点 A 在 x 轴上，连接 AM，BM．
（1）求点 A 的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）求点 B 的坐标；
（3）把抛物线与直线 y=x 的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为 m,2m，当 m 满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点?

29. 如图1，点 O 在线段 AB 上，AO=2，OB=1，OC 为射线，且 ∠BOC=60∘，动点 P 以每秒 2 个单位长度的速度从点 O 出发，沿射线 OC 做匀速运动，设运动时间为 t 秒．
（1）当 t=12 秒时，则 OP= ，S△ABP= ；
（2）当 △ABP 是直角三角形时，求 t 的值；
（3）如图2，当 AP=AB 时，过点 A 作 AQ∥BP，并使得 ∠QOP=∠B，求证：AQ⋅BP=3．为了证明 AQ⋅BP=3，小华同学尝试过 O 点作 OE∥AP 交 BP 于点 E．试利用小华同学给我们的启发补全图形并证明 AQ⋅BP=3．
答案
第一部分
1. C
2. C
3. C
4. C【解析】∵△ABC 与 △DEF 的相似比为 1:4，
∴△ABC 与 △DEF 的周长比为 1:4．
5. C
6. C
7. C
8. B【解析】∵∠AOD=136∘，
∴∠BOD=180∘−136∘=44∘，
∴∠C=22∘，
故选B．
9. D【解析】由已知，得 ∠A=30∘，∠B=45∘，CD=100，
因为 CD⊥AB 于点 D，
所以在 Rt△ACD 中，AD=CDtanA=10033=1003，
在 Rt△BCD 中，DB=CD=100 米，
所以 AB=AD+DB=1003+100=1003+1 米．
10. D
【解析】∵AB=4，AC=2，
∴S3+S1=12πAB22=2π，S2+S4=12πAC22=π2．
∵S1−S2=π4，
∴S1+S3−S2+S4=S1−S2+S3−S4=3π2，
∴S3−S4=5π4．
第二部分
11. 2
12. 60∘
13. −8
14. 143【解析】由题意得 3x−6≤18, ⋯⋯①33x−6−6>18. ⋯⋯②
解不等式 ① 得 x≤8，
解不等式 ② 得 x>143，
则 x 的取值范围是 14315. 2a
【解析】连接 AD，BE，CF 交于点 O．
∵ABCDEF 是正六边形，
∴CF∥AB∥DE，
∴S△ABF=S△AOB=16S正六边形ABCDEF，S△DEF=S△EOD=16S正六边形ABCDEF，
∴S阴=13S正六边形ABCDEF=2a，
故答案为 2a．
16. 10,83
【解析】如图，在 Rt△ABH 中，AB=16，∠ABH=30∘，所以，AH=8，BH=83．
第三部分
17. 在 △ABC 中，∠A=30∘,∠C=105∘
∴∠B=45∘，
过 C 作 CD⊥AB 于 D．
∴∠ADC=∠BDC=90∘，
∵∠B=45∘，
∴∠BCD=∠B=45∘，
∴CD=BD，
∵∠A=30∘，AC=23，
∴CD=3，
∴BD=CD=3，
由勾股定理得：AD=AC2−CD2=3，
∴AB=AD+BD=3+3．
18. （1） 将 A−2,0，B4,0 两点坐标分别代入 y=ax2+bx−3a≠0．
即 4a−2b−3=0,16a+4b−3=0.
解得：a=38,b=−34
抛物线的表达式为 y=38x2−34x−3．
（2） 设运动时间为 t 秒，由题意可知：
过点 Q 作 QD⊥AB，垂直为 D．
易证 △OCB∽△DQB．
∴OCDQ=BCBQ．
∵ OC=3，OB=4，BC=5，AP=3t，PB=6−3t，BQ=t，
∴3DQ=5t．
∴DQ=35t．
∴S△PBQ=12PB⋅DQ=12×6−3t×35t=−910t2+95t .
∵ 对称轴 t=−952×−910=1，
∴ 当运动 1 秒时，△PBQ 面积最大，S△PBQ=−910+95=910，最大为 910．
（3） 如图，设 Km,38m2−34m−3．
连接 CK 、 BK，作 KL∥y 轴交 BC 与 L．
由（2）知：S△PBQ=910，
∵ S△CBK:S△PBQ=5:2，
∴S△CBK=94．
设直线 BC 的表达式为 y=kx+n．
∵B4,0，C0,−3，
∴4k+n=0,n=−3.
解得：k=34,n=−3.
∴ 直线 BC 的表达式为 y=34x−3．
∴Lm,34m−3，KL=32m−38m2．
∵S△CBK=S△KLC+SKLB=12×32m−38m2×m+12×32m−38m2×4−m=12×4×32m−38m2.
即：232m−38m2=94．
解得 m=1或m=3．
∴ K 坐标为 1,−278 或 3,−158．
19. 48−613÷3×12=43−23÷3×12=23÷3×12=2×12=2.
20. 原式= a+ba−baa−b÷a2+2ab+b2a=1a+b
在 −2①若 a=−1, 分式 a2−b2a2−ab 无意义；
②若 a=0, 分式 2ab+b2a 无意义；
③若 a=1, 分式 1a+b 无意义．
所以 a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）．
21. 方法一：
方法二：
方法三：
【解析】方法四：
方法五：
22. （1） y=−12x．
（2） 4≤y≤12．
23. （1） 如图所示．
（2） 三个图形都有 CE=DF，ED=FC．（写一个即可）
（3） 选图①证明（2）中的结论：
作 OG⊥l 于点 G，则 CG=DG．
∵AE⊥l，BF⊥l，OG⊥l，
∴AE∥BF∥OG，
又 ∵OA=OB，EG=FG，
∴EG−CG=FG−DG，EG+DG=FG+CG，即 CE=DF，ED=FC．
24. 过点 P 作 PD⊥MN 于 D .
∴ MD=PD⋅ct45∘=PD，
ND=PD⋅ct30∘=3PD，
∵ MD+ND=MN=2，
即 3PD+PD=2，
∴ PD=23+1=3−1≈1.73−1=0.73>0.6．
∴ 修的公路不会穿越住宅小区，故该小区居民不需搬迁．
25. （1） 如图，连接 OC．
则 OC=OA，∠ACO=∠A=30∘．
在 △ABC 中，
∵∠A=∠B=30º，
∴∠ACB=180∘−∠A−∠B=120∘．
∴∠OCB=∠ACB−∠ACO=120∘−30∘=90∘．
∴OC⊥BC．
∴BC 是 ⊙O 的切线．
（2） 连接 CD．
∵AD 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACD=90∘．
在 Rt△ACD 中，
∵∠A=30º，AD=23，
∴AC=AD⋅csA=23×32=3．
即弦 AC 的长为 3．
26. （1） 由于顶点 C 在 y 轴上，
所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 y=ax2+910．
因为点 A−52,0 或 B52,0 在抛物线上，
所以 0=a⋅−522+910，得 a=−18125．
因此所求函数解析式为 y=−18125x2+910−52≤x≤52．
（2） 因为点 D，E 的纵坐标为 920，
所以 920=−18125x2+910，得 x=±542．
所以点 D 的坐标为 −542,920，点 E 的坐标为 542,920．
所以 DE=542−−542=522．
因此卢浦大桥拱内实际桥长为 522×11000×0.01=2752m≈385 m．
27. （1） 1，1，1
（2） 1
（3） ∵sinA=ac，sinB=bc，a2+b2=c2，
sin2A+sin2B=a2c2+b2c2=a2+b2c2=1；
（4） ∵sinA=513,sin2A+sin2B=1，
∴sinB=1−5132=1213．
28. （1） ∵ 点 A 是直线 y=x+1 与 x 轴的交点，
∴A−1,0．
设顶点为 0,−1 的抛物线的解析式为 y=ax2−1，
∵ 点 A−1,0 在抛物线 y=ax2−1 上，
∴0=a−1，
∴a=1，
∴ 抛物线的解析式为 y=x2−1；
（2） 解方程组 y=x+1,y=x2−1.
得 x1=−1,y1=0, x2=2,y2=3.
故点 B 的坐标为 2,3．
（3） 设平移后的抛物线的解析式为 y=x−m2+2m，
把 y=x 代入 y=x−m2+2m，得
x=x−m2+2m，
整理得，x2−2m+1x+m2+2m=0，
由题可得 Δ=2m+12−4×1×m2+2m=1−4m≥0，
解得 m≤14．
故当 m≤14 时，平移后的抛物线总有不动点．
29. （1） 1；334
（2） ① ∵∠A<∠BOC=60∘ ，
∴∠A 不可能是直角．
②当 ∠ABP=90∘ 时，
∵∠BOC=60∘ ，
∴∠OPB=30∘ ，
∴OP=2OB，即 2t=2 ，
∴t=1 .
③当 ∠APB=90∘，如图，过点 P 作 PD⊥AB 于点 D ，则 OP=2t，OD=t，PD=3t，AD=2+t，DB=1−t .
∵∠APD+∠BPD=90∘，∠B+∠BPD=90∘ ，
∴∠APD=∠B ，
∴△APD∽△PBD .
∴ADPD=PDBD ，
即 2+t3t=3t1−t
即 4t2+t−2=0 ，
解得 t1=−1+338，t2=−1−338 （舍去）
（3） 补全图形，如图
∵AP=AB，
∴∠APB=∠B．
∵OE∥AP
∴∠OEB=∠APB=∠B．
∵AQ∥BP，
∴∠QAB+∠B=180∘．
∵∠3+∠OEB=180∘，
∴∠3=∠QAB．
∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，
∵∠B=∠QOP，
∴∠1=∠2 .
∴△QAO∽△OEP．
∴AQEO=AOEP，即 AQ⋅EP=EO⋅AO．
∵OE∥AP，
∴△OBE∽△ABP．
∴OEAP=BEBP=BOBA=13．
∴OE=13AP=1,BP=32EP．
∴AQ⋅BP=AQ⋅32EP=32AO⋅OE=32×2×1=3 .