2021年北京顺义区高丽营学校（初中部）九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京顺义区高丽营学校（初中部）九年级上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图是一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，圆柱的下底面紧贴在长方体的上底面上，那么这个几何体的俯视图为
A. B.
C. D.

2. 在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉字，这个字是“绿”的概率为
A. 310B. 110C. 19D. 18

3. 如图，是中国共产主义青年团团旗上的图案，点 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五等分圆，则 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 等于
A. 360∘B. 180∘C. 150∘D. 120∘

4. 抛物线 y=x−12+2 的对称轴是
A. x=−1B. x=1C. x=−2D. x=2

5. 如图，在 5×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则 cs∠BAC 的值为
A. 43B. 34C. 35D. 45

6. 下列命题中，正确的个数是
①等边三角形都相似 ②直角三角形都相似③等腰三角形都相似④锐角三角形都相似⑤等腰三角形都全等⑥有一个角相等的等腰三角形相似⑦有一个钝角相等的两个等腰三角形相似⑧全等三角形相似
A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个

7. 在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则 cs∠B 为
A. 12B. 22C. 32D. 33

8. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为 x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 y=−x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是
A. 4 米B. 3 米C. 2 米D. 1 米

二、填空题（共8小题；共47分）
9. 如图，点 D，E 分别在 △ABC 的边 AB，AC 上，且 DE∥BC．若 AD:AB=2:3，则 △ADE 与 △ABC 的面积之比为 ．

10. 已知线段 a，b，c．①如果 a=b，b=c，那么 a c；②如果 a>b，b>c，那么 a c．

11. 抛物线 y=2x2 沿 y 轴向上平移 3 个单位长度后的抛物线的表达式为 ．

12. 反比例函数 y=4x 的图象过点 1,a，则 a= ．

13. 扇形的面积是 360 平方厘米，它所在圆的直径是 60 厘米，则这个扇形的弧长是 厘米．

14. 写出下列各点的坐标：
A （ ， ）
B （ ， ）
C （ ， ）
D （ ， ）
E （ ， ）
F （ ， ）

15. 在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共 60 只，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（2）班的数学学习小组做了摸球实验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的统计数据：
摸球的次数n501003005008001000摸到红球的次数m143395155241298摸到红球的频率
请估计：当次数 n 足够大时，摸到红球的频率将会接近 .（精确到 0.1）

16. 如图，一块长方体大理石板的 A，B，C 三个面上的边长如图所示，如果大理石板的 A 面向下放在地上时地面所受压强为 m 帕，则把石板 B 面向下放在地上地面所受压强是 帕．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：sin60∘+cs245∘−sin30∘⋅tan60∘．

18. 已知抛物线与 x 轴的交点为 −1,0，3,0，函数的最大值为 4．
（1）求抛物线的对称轴．
（2）求抛物线的解析式．

19. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，线段 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，交 AB 于点 E．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）当 AC=8，BC=6 时，求 DE 的长．

20. 如图，一座拱桥呈圆弧形，它的跨度 AB=60 m，拱高 PD=18 m．
（1）求圆弧所在圆的半径 r 的长．
（2）当水位上涨至跨度只有 30 m 时，必须采取紧急措施．当水位上涨至离拱顶 4 m，即 PE=4 m 时，是否需采取紧急措施?

21. 小明有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别写有 1，2，3，4，5，6 这六个数．如果掷这枚正方体骰子两次，求掷两次的点数和为奇数的概率．

22. 如图，小山岗的斜坡 AC 的坡度是 tanα=34，在与山脚 C 距离 200 米的 D 处，测得山顶 A 的仰角为 26.6∘，求小山岗的高 AB（结果取整数，已知 sin26.6∘≈0.45，cs26.6∘≈0.89，tan26.6∘≈0.50）．

23. 如图，已知反比例函数 y=kx 的图象经过点 A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点 B−12,16，C−4,2，D8,1 是否在这个函数的图象上?

24. 如图，在 ⊙O 中，∠CAB=∠CBA=45∘．
（1）求证：AB 是 ⊙O 的直径；
（2）若 AC=3，求 AB 的长．

25. 画出下列抛物线的大致图象：
（1）y=3x+22−1；
（2）y=−2x+12+2．

26. 已知抛物线 y=x2−2x−3．
（1）求它与 y 轴的交点坐标；
（2）求它的顶点坐标．

27. 如图，直线 l1:y=2x+1 与直线 l2:y=mx+4 相交于点 P1,b．
（1）求 b，m 的值；
（2）垂直于 x 轴的直线 x=a 与直线 l1，l2 分别交于点 C，D，若线段 CD 的长为 2，求 a 的值．

28. 回答下列问题．
（1）问题：如图①，在 Rt△ABC 中，AB=AC，D 为 BC 边上一点（不与点 B，C 重合），将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90∘ 得到 AE，连接 EC，则线段 BC，DC，EC 之间满足的等量关系式为 ．
（2）探索：如图②，在 Rt△ABC 与 Rt△ADE 中，AB=AC，AD=AE，将 △ADE 绕点 A 旋转，使点 D 落在 BC 边上，试探索线段 AD，BD，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论．
（3）应用：如图③，在四边形 ABCD 中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45∘．若 BD=9，CD=3，求 AD 的长．
答案
第一部分
1. C
2. B
3. B
4. B【解析】抛物线 y=x−12+2 的对称轴是 x=1．
5. C
【解析】如图，过 C 作 CD⊥AB 于 D，
则 ∠ADC=90∘，
∴AC=AD2+CD2=32+42=5，
∴cs∠BAC=ADAC=35．
故选C．
6. B
7. B
8. A
第二部分
9. 4:9
【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE:S△ABC=ADAB2=232=4:9．
10. =，>
11. y=2x2+3
12. 4
13. 24
14. 2，1，−2，3，−2，−3，1，−3，3，0，0，−2
15. 0.3
【解析】当次数 n 足够大时，摸到红球的频率将会接近 0.3．
16. 3m
第三部分
17. 原式=32+12−12×3=32+12−32=12.
18. （1） 依题意，设函数解析式为 y=ax+1x−3，
∴y=ax2−2x−3=ax2−2x+1−4=ax−12−4a,
∴ 抛物线的对称轴为 x=1．
（2） ∵ 函数的最大值为 4，
∴−4a=4，
∴a=−1，
∴y=−x2−2x−3，即 y=−x2+2x+3．
19. （1） ∵DE 垂直平分线段 AB，
∴∠AED=90∘，
∴∠AED=∠C，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC．
（2） 在 Rt△ABC 中，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
∵DE 平分 AB，
∴AE=5．
∵△ADE∽△ABC，
∴DEBC=AEAC，
∴DE6=58，
∴DE=154．
20. （1） r=34
（2） 跨度为 32 m>30 m，因此不需采取紧急措施
21. 12．
22. 由 tanα=34 得 ABBC=34．
设 AB=3x，则 BC=4x，BD=200+4x．
∵tan26.6∘=ABBD，
∴0.50=3x200+4x，x=100，
∴AB=3×100=300（米），
∴ 小山岗的高为 300 米．
23. （1） 由图象知点 A 的坐标为 2,−4，
将 A2,−4 代入 y=kx，得 −4=k2，解 k=−8，
∴ 反比例函数的解析式为 y=−8x．
（2） 分别把 x=−12,−4,8 代入 y=−8x，y=16,2,−1，
∴ 点 B−12,16，C−4,2 在这个函数的图象上，点 D8,1 不在这个函数的图象上．
24. （1） ∵∠CAB=∠CBA=45∘，
∴∠C=180∘−∠CAB−∠CBA=180∘−45∘−45∘=90∘．
∴AB 是 ⊙O 的直径．
（2） ∵∠CAB=∠CBA=45∘，
∴AC=BC=3，
在 Rt△ABC 中，AB=AC2+BC2=32．
25. （1） 函数图象如图所示：
（2） 函数图象如图所示：
26. （1） 令 x=0，则 y=0−0−3=−7，
所以抛物线与 y 轴的交点坐标为 0,−3．
（2） y=x2−2x−3=x2−2x+1−4=x−12−4，
所以顶点坐标为 1,−4．
27. （1） 把点 P1,b 代入 y=2x+1，得 b=3，把 1,3 代入 y=mx+4 得 3=m+4，解得 m=−1．
（2） 由（1）知直线 l2 的解析式为 y=−x+4，直线 x=a 与直线 l1 的交点 C 的坐标为 a,2a+1，与直线 l2 的交点 D 的坐标为 a,−a+4 .
因为 CD=2，
所以 ∣2a+1−−a+4∣=2，即 ∣3a−3∣=2，
所以 3a−3=2 或 3a−3=−2，
所以 a=53 或 a=13．
28. （1） BC=DC+EC
【解析】理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90∘，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即 ∠BAD=∠CAE，
在 △BAD 和 △CAE 中，
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，
∴BC=BD+CD=EC+CD．
（2） 连接 CE．
由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ACE=∠B，
∴∠DCE=90∘，
∴CE2+CD2=ED2，
在 Rt△ADE 中 AD2+AE2=ED2，
又 AD=AE，
∴BD2+CD2=2AD2．
（3） 作 AE⊥AD，使 AE=AD，连接 CE，DE．
∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即 ∠BAD=∠CAE，
在 △BAD 与 △CAE 中，
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△BAD≌△CAESAS，
∴BD=CE=9，
∵∠ADC=45∘，∠EDA=45∘，
∴∠EDC=90∘，
∴DE=CE2−CD2=62，
∵∠DAE=90∘，
∴AD=AE=22DE=6．