2021年北京房山区夏村中学九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京房山区夏村中学九年级上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 把方程 12x=1 变形为 x=2，其依据是
A. 等式的性质 1B. 等式的性质 2
C. 分式的基本性质D. 不等式的性质 1

2. 如图，在 △ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 G 在线段 AD 上，GE∥BD，且交 AB 于点 E，GF∥AC，且交 CD 于点 F，则下列结论一定正确的是
A. ABAE=AGADB. DFCF=DGADC. FGAC=EGBDD. AEBE=CFDF

3. 将抛物线 y=x+12−3 向右平移 2 个单位后得到的新抛物线的表达式为
A. y=x−12−3B. y=x+32−3
C. y=x+12−1D. y=x+12−5

4. 在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=BC，则 sinA 等于
A. 12B. 22C. 32D. 1

5. 若点 a,b 在反比例函数 y=2x 的图象上，则代数式 ab−4 的值为
A. 0B. −2C. 2D. −6

6. 抛物线 y=−x+22−3 的顶点坐标是
A. 2,3B. −2,3C. 2,−3D. −2,−3

7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AD 是 BC 边上的中线，BD=4，AB=217，则 tan∠CAD 的值是
A. 2B. 2C. 3D. 17

8. 如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，BE 是 ⊙O 的直径，连接 AE．若 ∠BCD=2∠BAD，则 ∠DAE 的度数是
A. 30∘B. 35∘C. 45∘D. 60∘

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 抛物线 y=x2+4x−2 的顶点在第 象限．

10. 计算 cs60∘= ．

11. 如图，在平面直角坐标系内，点 A 是反比例函数 y=2xx>0 图象上的一点，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 B，则 △AOB 的面积为 ．

12. 如图，M 是平行四边形 ABCD 的 AB 边的中点，CM 与 BD 相交于点 E，设平行四边形 ABCD 的面积为 1，则图中阴影部分的面积是 ．

13. n∘ 圆心角所对的弧长是圆周长的 ．（填分数）

14. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 OA=1 cm，水面宽 AB=1.2 m，某天下雨后，水管水面上升了 0.2 m，则此时排水管水面宽 CD 等于 m．

15. 如果抛物线 y=a−2x2−1 不经过第二象限，那么 a 的取值范围是 ．

16. 如图，是二次函数 y=−x2+bx+c 的部分图象，则不等式 −x2+bx+c>0 的解集是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：ct45∘tan60∘−2sin45∘−cs30∘+2017−π0．

18. 如图，在 △ABC 中，AB=4 cm，AC=6 cm．
（1）作图：作 BC 边的垂直平分线分别交与 AC，BC 于点 D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接 BD，求 △ABD 的周长．

19. 抛物线的图象如图所示，其中点 A 为顶点．求出点 A，B 的坐标及抛物线的解析式．

20. 在 △ABC 中，∠C=90∘，AB=46，BC=43，解这个直角三角形．

21. 用公式法解方程：
（1）x2−7x−18=0；
（2）4x2+4x−1=−10−8x；
（3）2x2−7x+7=0．

22. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AD，CE 分别是 BC，AB 边上的中线，且满足 AD⊥CE，垂足为 F，连接 BF．
（1）请写出所有与 △ACD 相似的三角形，并选择其中一对三角形进行证明；
（2）求证：BFAB=BDAD．

23. 如图，为了测量某条河的对岸边 C，D 两点间的距离．在河的岸边与 CD 平行的直线 EF 上取两点 A，B，测得 ∠BAC=45∘，∠ABC=37∘，∠DBF=60∘，量得 AB 长为 70 米．求 C，D 两点间的距离（参考数据：sin37∘≈35，cs37∘≈45，tan37∘≈34）．

24. 如图，AB 是 ⊙O 的弦，OP⊥OA 交 AB 于点 P，过点 B 的直线交 OP 的延长线于点 C，且 CP=CB．
（1）求证：BC 是 ⊙O 的切线．
（2）若 ⊙O 的半径为 5，OP=1，求 BC 的长．

25. 如图，A，B，C 为 ⊙O 上的定点，连接 AB，AC，M 为 AB 上的一个动点，连接 CM，将射线 MC 绕点 M 顺时针旋转 90∘，交 ⊙O 于点 D，连接 BD，若 AB=6 cm，AC=2 cm，记 A，M 两点间的距离为 x cm，B，D 两点间的距离为 y cm．
小东根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小东探究的过程，请补充完整：
（1）通过取点，画图，测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：
1.660
（2）在平面直角坐标系中 xOy 中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 BD=AC 时，AM 的长度约为 cm．

26. 对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 M 和点 P，给出如下定义：将图形 M 绕点 P 顺时针旋转 90∘ 得到图形 N，图形 N 称为图形 M 关于点 P 的“垂直图形”．例如，图 1 中点 D 为点 C 关于点 P 的“垂直图形”．
（1）点 A 关于原点 O 的“垂直图形”为点 B．
①若点 A 的坐标为 0,2，则点 B 的坐标为 ；
②若点 B 的坐标为 2,1，则点 A 的坐标为 ．
（2）E−3,3，Fa,0，点 E 关于点 F 的“垂直图形”记为 Eʹ，求点 Eʹ 的坐标（用含 a 的式子表示）．

27. 如图 1，以 AB 为腰向两侧分别作全等的等腰三角形 ABC 和等腰三角形 ABD，过顶角的顶点 A 作 ∠MAN，使 ∠MAN=∠BAC=α（0∘<α<60∘），将 ∠MAN 的边 AM 与 AC 重合，绕点 A 按逆时针方向旋转，与射线 CB，BD 分别交于点 E，F，设旋转角度为 β．
（1）如图 1，当 0∘<β<α 时，线段 BE 与 DF 相等吗?请说明理由．
（2）当 α<β<2α 时，线段 CE，FD 与线段 BD 具有怎样的数量关系?请在图 2 中画出图形并说明理由．
（3）连接 EF，在 ∠MAN 绕点 A 逆时针旋转过程中（0∘<β<2α），当线段 AD⊥EF 时，请用含 α 的代数式直接表示出 ∠CEA 的度数．

28. 如图，将等边三角形的三条边分别 8 等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注等分点的序号 0，1，2，3，4，5，6，7，8，将不同边上的序号和为 8 的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点 A 的坐标可表示为 1,2,5，点 B 的坐标可表示为 3,1,4．
（1）按此方法，则点 C 的坐标可表示为 ，点 D 的坐标可表示为 ．
（2）若 P 点的坐标为 3,m,m−1，则 m= ．
（3）在图中以 A，B，C，E 为顶点构成平行四边形，则 E 点的坐标为 ．
答案
第一部分
1. B
2. D
3. A【解析】∵ 将抛物线 y=x+12−3 向右平移 2 个单位，
∴ 新抛物线的表达式为 y=x+1−22−3=x−12−3．
4. B
5. B
6. D
7. A
8. A【解析】∵ 四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180∘，
∵∠BCD=2∠BAD，
∴∠BCD=120∘，∠BAD=60∘，
∵BE 是 ⊙O 的直径，
∴∠BAE=90∘，
∴∠DAE=90∘−∠BAD=90∘−60∘=30∘．
第二部分
9. 三
10. 12
11. 1
12. 13
【解析】设平行四边形的面积为 1，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴S△DAB=12S平行四边形ABCD．
又 ∵M 是平行四边形 ABCD 的 AB 的中点，
则 S△DAM=12S△DAB=14S平行四边形ABCD，
∵BEDE=MBCD=12，
∴△EMB 上的高线与 △DAB 上的高线比为 BEBD=13，
∴S△EMB=13×12S△DAB=112，
∴S△DEC=4S△MEB=13，
∴S阴影面积=1−14−112−13=13．
13. n360
14. 1.6
15. a<2
16. −1【解析】∵ 对称轴 x=4，抛物线与 x 轴的交点 9,0，
∴ 另一个与 x 轴交点的坐标 −1,0，
∴ 二次函数 y=−x2+2x+c 的图象与 x 轴交点坐标为 −1,0，9,0，
而 −x2+bx+c>0，即 y>0，
∴−1第三部分
17. 原式=13−2×22−32+1=3+2−32+1=32+2+1.
18. （1） 如图1．
（2） 如图2，
∵DE 是 BC 边的垂直平分线，
∴BD=DC，
∵AB=4 cm，AC=6 cm．
∴△ABD 的周长 =AB+BD+AD=AB+AC=4+6=10 cm．
19. 由图象知 A 点坐标为 2,−4，B 点坐标为 0,4，设抛物线的解析式为 y=ax−22−4，将 B0,4 代入得 4=a0−22=4，
解得 a=2，
∴ 抛物线的解析式为 y=2x−22−4．
20. 在 △ABC 中，
∵∠C=90∘，AB=46，BC=43，
∴sinA=4346=22．
∴∠A=45∘，
∴∠B=90∘−∠A=45∘．
∴∠A=∠B=45∘，
∴AC=BC=43．
21. （1） 这里 a=1，b=−7，c=−18，
∵Δ=−72−4×1×−18=121>0,∴
方程有两个不相等的实数根，
∴x=−b±b2−4ac2a=−−7±1212×1=7±112,
即
x1=9,x2=−2.
（2） 方程整理得
4x2+12x+9=0,
这里 a=4，b=12，c=9，
∵Δ=122−4×4×9=0,∴x1=x2=−b2a=−122×4=−32.
（3） 这里 a=2，b=−7，c=7，
∵Δ=−72−4×2×7=−7<0,∴
方程没有实数根．
22. （1） △ACD∽△AFC，△ACD∽△CFD，△ACD∽△BCA，
∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AD⊥CE，
∴ ∠AFC=∠AFE=∠ACD=90∘，
∵ ∠CAD=∠FAC，
∴ △ACD∽△AFC．
（2） ∵ △ACD∽△CFD，
∴ CDAD=DFCD，
∵ AD 是 BC 边上的中线，
∴ CD=BD，
∴ BDAD=DFBD，
∵ ∠BDF=∠ADB，
∴ △BDF∽△ADB，
∴ BFAB=BDAD．
23. 过点 C，D 分别作 CM⊥EF，DN⊥EF，垂足为 M，N，
在 Rt△AMC 中，
∵∠BAC=45∘，
∴AM=MC，
在 Rt△BMC 中，
∵∠ABC=37∘，tan∠ABC=CMBM，
∴BM=CMtan37∘=43CM，
∵AB=70=AM+BM=CM+43CM，
∴CM=30=DN，
在 Rt△BDN 中，∵∠DBN=60∘，
∴BN=DNtan60∘=303=103，
∴CD=MN=MB+BN=43×30+103=40+103．
答：C，D 两点间的距离为 40+103 米，
24. （1） 连接 OB，如图．
∵OP⊥OA，
∴∠AOP=90∘，
∴∠A+∠APO=90∘，
∵CP=CB，
∴∠CBP=∠CPB，而 ∠CPB=∠APO，
∴∠APO=∠CBP，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90∘，
∴OB⊥BC，
∴BC 是 ⊙O 的切线．
（2） 设 BC=x，则 PC=x，
在 Rt△OBC 中，OB=5，OC=CP+OP=x+1，
∵OB2+BC2=OC2，
∴52+x2=x+12，解得 x=2，即 BC 的长为 2．
25. （1） 2.41
（2） 如图所示．
（3） 1.38 或 4.62
26. （1） 2,0；−1,2
【解析】①如图 1，
故答案为：2,0；
②如图 2，
故答案为：−1,2．
（2） 如图 3，过点 E 作 EH⊥x 轴于 H，过点 Eʹ 作 EʹK⊥x 轴于 K．
因为 ∠EHF=∠EFEʹ=∠EʹKF=90∘，
所以 ∠EFH+∠E=90∘，∠EFH+∠EʹFK=90∘，
所以 ∠E=∠EʹFK，
在 △EHF 和 △FKEʹ 中，
∠EHF=∠EʹFK,∠E=∠EʹFK,EF=FEʹ,
所以 △EHF≌△FKEʹAAS，
所以 EH=FK=3，FH=KEʹ，
因为 E−3,3，Ga,0，
所以 H−3,0，
所以 HF=∣a+3∣，EH=FK=3．
所以 EʹK=∣a+3∣，OK=∣a+3∣，
故答案为：Eʹa+3,a+3．
27. （1） 相等．理由如下：
∵ 等腰三角形 ABC 和等腰三角形 ABD 全等，
∴AB=AC=AD，∠C=∠ABC=∠ABD=∠D（全等三角形、等腰三角形的性质），
∠BAC=∠BAD（全等三角形的对应角相等）．
∵∠MAN=∠BAC=α（已知），
∴∠MAN=∠BAD=α（等量代换），
所以 ∠MAN−∠BAN=∠BAD−∠BAN（等式性质），
即 ∠EAB=∠FAD．
在 △AEB 和 △AFD 中，∠ABE=∠D已证,AB=AD已证,∠EAB=∠FAD已证,
所以 △AEB≌△AFD（ASA），
所以 BE=DF（全等三角形的对应边相等）．
（2） CE−FD=BD．画出图形如图所示，理由如下：
∵∠MAN=∠BAD=α（等量代换），
∴∠MAN−∠EAD=∠BAD−∠EAD（等式性质），
即 ∠DAF=∠BAE．
∵∠ABC=∠ADB（已证），
∴180∘−∠ABC=180∘−∠ADB，
即 ∠ABE=∠ADF．
在 △AEB 和 △AFD 中，∠ABE=∠ADF已证,AB=AD,∠BAE=∠DAF已证,
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴BE=DF（全等三角形的对应边相等），
∴CE−FD=CB+BE−DF=CB（等量代换）．
∵△ABC 与 △ABD 全等，
∴BC=BD（全等三角形的对应边相等），
∴CE−FD=BD（等量代换）．
（3） 90∘−α．
28. （1） 3,2,3；5,3,0
（2） 3
（3） 5,1,2，1,1,6，1,3,4