2021年北京通州区人大附中九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京通州区人大附中九年级上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列图案中不是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 在 △ABC 中，∠C=90∘，tanA=13，则 sinB=
A. 1010B. 23C. 34D. 31010

3. 下列事件属于必然事件的是
A. 打开电视，正在播放新闻
B. 我们班的同学将会有人成为航天员
C. 实数 a<0, 则 2a<0
D. 新疆的冬天不下雪

4. 若分式 x2−9x−3 的值为 0，则 x 的值等于
A. 0B. 3C. −3D. ±3

5. 关于函数 y=−2x2+3，下列说法正确的是
A. 不管 x 取何值，y 总是负数B. 它的图象有最高点
C. 其图象对称轴是直线 x=−1D. y 随 x 的增大而减小

6. 已知：如图， △ABC 内接于 ⊙O ， AD 是 ⊙O 的直径， ∠ABC=30∘ ，则 ∠CAD 等于 ．
A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 60∘

7. 用 10 米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为 6 平方米．若设它的一条边长为 x 米，则根据题意可列出关于 x 的方程为
A. x5+x=6B. x5−x=6
C. x10−x=6D. x10−2x=6

8. 甲、乙两辆摩托车分别从 A 、 B 两地出发相向而行，图中 l1 、 l2 分别表示两辆摩托车与 A 地的距离 s（千米）与行驶时间 t（小时）之间的函数关系，则下列说法：① A 、 B 两地相距 24 千米；
②甲车比乙车行完全程多用了 0.1 小时；
③甲车的速度比乙车慢 8 千米/小时；
④两车出发后，经过 311 小时，两车相遇．
其中正确的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共4小题；共20分）
9. 小明掷一枚均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有 1，2，3，4，5，6 点，得到的点数为奇数的概率是 ．

10. 老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质，甲：第一象限内有它的图象；乙：第三象限内有它的图象；丙：在每个象限内，y 随 x 的增大而减小．请你写一个满足上述性质的函数解析式 ．

11. 抛物线 y=x2−2x−3 与 x 轴分别交于 A 、 B 两点，则 AB 的长为 ．

12. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，边 CD 在直线 l 上，将矩形 ABCD 沿直线 l 作无滑动翻滚，当点 A 第一次翻滚到点 A1 位置时，点 A 经过的路线长为 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
13. 用含 30∘，45∘，60∘ 这三个特殊角的四个三角比及其组合可以表示某些实数，如：12 可表示为 12=sin30∘=cs60∘=tan45∘⋅sin30∘=⋯．
仿照上述材料，完成下列问题
（1）用含 30∘，45∘，60∘ 这三个特殊角的三角比或其组合表示 32，即：
填空：32= = = =⋯；
（2）用含 30∘，45∘，60∘ 这三个特殊角的三角比，结合加、减、乘、除四种运算，设计一个等式．要求：等式中须含有这三个特殊角的三角比、上述四种运算都至少出现一次，且这个等式的结果等于 1．即：
填空：1= ．

14. 解方程 x2−6x−4=0．

15. 某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点 B（点 B 与河对岸岸边上的一棵树的底部点 D 所确定的直线垂直于河岸）．
（1）小明在 B 点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点 D 处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离 AB=1.7 米；
（2）小明站在原地转动 180∘ 后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了 DB 延长线上的点 E 处，此时小亮测得 BE=9.6 米，小明的眼睛距地面的距离 CB=1.2 米．
根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽 BD 是多少米?

16. 如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点．求证：AC=BD．

17. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，顶点叫做格点．△ABC 的三个顶点 A，B，C 都在格点上．将 △ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90∘ 得到 △ABʹCʹ．
（1）在正方形网格中，画出 △ABʹCʹ；
（2）计算线段 AB 在变换到 ABʹ 的过程中扫过的区域的面积．

18. 如图，某山顶上建有手机信号中转塔 AB，在地面 D 处测得塔尖的仰角 ∠ADC=60∘，塔底的仰角 ∠BDC=45∘，点 D 距塔 AB 的距离 DC 为 100 米，求手机信号中转塔 AB 的高度（结果保留根号）．

19. 关于 x 的一元二次方程 m−1x2−2mx+m+1=0 有两个实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）当 m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数．

20. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=x 与反比例函数 y=kxk≠0 的图象相交于点 A3,a．
（1）求 a，k 的值；
（2）直线 x=bb>0 分别与一次函数 y=x 、反比例函数 y=kx 的图象相交于点 M，N，当 MN=2 时，画出示意图并直接写出 b 的值．

21. 如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形的自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为 19 m），另外三边利用学校现有总长 38 m 的铁栏围成．
（1）若围成的面积为 180 m2，试求出自行车车棚的长和宽．
（2）能围成面积为 200 m2 的自行车车棚吗?如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．

22. 如图，已知 A，B，C 分别是 ⊙O 上的点，∠B=60∘，P 是直径 CD 延长线上的一点，且 AP=AC．
（1）求证：AP 与 ⊙O 相切；
（2）如果 AC=3，求 PD 的长．

23. 已知二次函数 y=x2+ax+a−2 ．证明：不论a取何值，抛物线 y=x2+ax+a−2 的顶点Q总在x轴的下方；

24. 已知 △ABC 中，M 为 BC 的中点，直线 m 绕点 A 旋转，过 B，M，C 分别作 BD⊥m 于点 D，ME⊥m 于点 E，CF⊥m 于点 F．
（1）当直线 m 经过 B 点时，如图 1，易证 EM=12CF；（不需证明）
（2）当直线 m 不经过 B 点，旋转到如图 2 、图 3 的位置时，线段 BD，ME，CF 之间有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明．

25. 如图，在平面直角坐标系中．顶点为 −4,−1 的抛物线交 y 轴于点 A0,3，交 x 轴于 B，C 两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点 P 是抛物线上位于 B，C 两点之间的一个动点，问：当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大?并求出此时四边形 ABPC 的面积．
（3）过点 B 作 AB 的垂线交抛物线于点 D，是否存在以点 C 为圆心且与线段 BD 和抛物线的对称轴 l 同时相切的圆?若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. D
2. D
3. C
4. C【解析】∵ 分式 x2−9x−3 的值为 0，
∴x2−9=0，x−3≠0，解得：x=−3．
5. B
6. D
7. B
8. D
第二部分
9. 0.5 或 12
10. y=1x
11. 4
12. 6π
【解析】点 A 经过的路线如图所示，其长为 lAA′+lA′A″+lA″A1=3π2+2π+5π2=6π．
第三部分
13. （1） sin60∘；cs30∘；tan45∘⋅sin60∘ 等
（2） tan45∘+sin30∘⋅ct45∘−cs60∘÷tan45∘=1 等
14. 移项，得
x2−6x=4.
配方，得
x2−6x+9=4+9,
x−32=13.
由此可得
x−3=±13,
x1=13+3,x2=−13+3.
15. 由题意得，∠BAD=∠BCE．
∵ ∠ABD=∠ABE=90∘，
∴ △BAD∽△BCE．
∴ BDBE=ABCB．
∴ BD9.6=1.71.2．
∴ BD=13.6．
∴ 河流的宽 BD 是 13.6 米．
16. 过点 O 作 OE⊥AB 于点 E．
∵O 为圆心，且 OE⊥AB．
∴AE=BE，
同理 CE=DE．
∴AC=BD．
17. （1）
（2） 由图可知，线段 AB 在变换到 ABʹ 的过程中扫过区域的面积就是扇形 BʹAB 的面积，
其中 ∠BʹAB=90∘，AB=32+42=5，
∴ 线段 AB 在变换到 ABʹ 的过程中扫过的区域的面积为：90∘360∘π×52=254π．
18. 由题意可知，△ACD 与 △BCD 都是直角三角形．
在 Rt△BCD 中，
∵∠BDC=45∘，
∴BC=CD=100．
在 Rt△ACD 中，
∵∠ADC=60∘，CD=100，
∴tan∠ADC=ACCD，即 AC100=3．
∴AC=1003．
∴AB=AC−BC=1003−1．
答：手机信号中转塔的高度为 1003−1 米．
19. （1） 根据题意得 m≠1，
Δ=−2m2−4m−1m+1=4>0．
∴m 的取值范围是 m≠1．
（2） 原方程的两个根为 x1=2m−22m−1=1，x2=m+1m−1=1+2m−1．
∵ 方程的两个根都是正整数，
∴2m−1 是正整数，
∴m−1=1 或 2
∴m=2 或 3．
20. （1） ∵ 直线 y=x 与双曲线 y=kxk≠0 相交于点 A3,a，
∴a=3，
∴A3,3，
∴3=k3，解得 k=3．
（2） 如图所示，
b=3或1．
21. （1） 设 AB=x，则 BC=38−2x．
根据题意列方程，得
x38−2x=180,
解得
x1=10,x2=9.
当 x=10，38−2x=18（米）；
当 x=9，38−2x=20（米），而墙长为 19 m，不合题意舍去．
答：若围成的面积为 180 m2，自行车车棚的长和宽分别为 18 米，10 米．
（2） 根据题意列方程，得
x38−2x=200,
整理，得
x2−19x+100=0.
因为 b2−4ac=361−400=−39<0，故此方程没有实数根，
答：因此如果墙长 19 m，满足条件的车棚面积不能达到 200 m2．
22. （1） 连接 OA．
∵∠B=60∘，
∴∠AOC=120∘，
∴∠AOP=60∘．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO=30∘．
∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30∘．
∴∠PAO=90∘，
∴OA⊥PA．
∵ 点 A 在 ⊙O 上，
∴PA 是 ⊙O 的切线．
（2） 在 Rt△PAO 中，∠P=30∘，
∴PO=2AO．
∵AC=3，
∴AP=AC=3．
根据勾股定理得 AO=3．
∴AO=DO=3，PO=23．
∴PD=3．
23. ∵ 顶点Q的纵坐标=−[14(a−2)2+4]<0,
∴顶点Q总在x轴的下方；
24. （2）图 2 的结论为 ME=12BD+CF．
图 3 的结论为 ME=12CF−BD．
图 2 的结论证明如下：
连接 DM 并延长交 FC 的延长线于点 K，
∵BD⊥m，CF⊥m，
∴BD∥CF，
∴∠DBM=∠KCM，
∵∠DMB=∠CMK，BM=MC，
∴△DBM≌△KCM，
∴DB=CK，DM=MK．
由（1）知 EM=12FK，
∴ME=12CF+CK=12CF+DB．
图 3 的结论证明如下：
连接 DM 并延长交 FC 于点 K，
∵BD⊥m，CF⊥m，
∴BD∥CF，
∴∠MBD=∠KCM，
∵∠DMB=∠CMK，BM=MC，
∴△DBM≌△KCM，
∴DB=CK，DM=MK，
由（1）知 EM=12FK，
∴ME=12CF−CK=12CF−DB．
25. （1） 根据题意，可设抛物线的解析式为 y=ax+42−1，
把点 A0,3 代入得 3=16a−1，解得 a=14，
所以此抛物线的解析式为 y=14x+42−1．
（2） 如图，
令 y=0，则 0=14x+42−1，解得 x1=−2，x2=−6，
∴B−2,0，C−6,0，
∴BC=4，
∵S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC，S△ABC=12BC⋅OA=12×4×3=6，
∴ 要使四边形 ABPC 的面积最大，则 △PBC 的面积最大，
∴ 当 P 点移动到抛物线的顶点时，△PBC 的面积最大，
∴ 四边形 ABPC 的面积的最大值为 S△ABC+S△PBC=6+12×4×1=6+2=8．
（3） 如图，设 ⊙C 与 BD 相切于点 E，连接 CE，
则 ∠BEC=∠AOB=90∘．
∵A0,3，B−2,0，C−6,0，
∴OA=3，OB=2，OC=6，BC=4；
∴AB=OA2+OB2=13，
∵AB⊥BD，
∴∠ABC=∠EBC+90∘=∠OAB+90∘，
∴∠EBC=∠OAB，
∴△OAB∽△EBC，
∴CEOB=BCAB，即 CE2=413
∴EC=81313．
设抛物线对称轴交 x 轴于 F．
∵ 抛物线的对称轴 x=−4，
∴CF=2≠81313，
∴ 不存在以点 C 为圆心且与线段 BD 和抛物线的对称轴 l 同时相切的圆．