2021年北京西城区数据清理学校(初中部)九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京西城区数据清理学校(初中部)九年级上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 一元二次方程 4x2+1=4x 的根的情况是
A. 有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根

3. 用配方法解方程 x2+4x+1=0，经过配方，得到
A. x+22=5B. x−22=5C. x−22=3D. x+22=3

4. 下面的表格列出了一个实验的统计数据．表示将皮球从高处落下时，弹跳高度 b 与下降高度 d 的关系，下面能表示这种关系的式子是
d5080100150b25405075
A. b=d2B. b=2dC. b=d2D. b=d+25

5. 如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，则这个四边形一定是
A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 等腰梯形

6. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率为
A. 932B. 516C. 38D. 716

7. 如图，⊙O 的半径 OD⊥ 弦 AB 于点 C，连接 AO 并延长交 ⊙O 于点 E，连接 EC，若 AB=4，CD=1，则 EB 的长为
A. 3B. 4C. 5D. 2.5

8. 抛物线 y=x2−3x+2 与 x 轴的交点个数是
A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如果抛物线 y=k−2x2+k 的开口向上，那么 k 的取值范围是 ．

10. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠C=90∘，AB=AD=4，BC=6，以 A 为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的面积是 ．

11. 设一个直角三角形的两条直角边分别为 a，b，斜边为 c，斜边上的高为 h，那么以 c+h，a+b，h 为边构成的三角形的形状是 ．

12. 若 a2−6a+9=4−2a，则实数 a 的值为 ．

13. 下面列举的事件中，哪些一定会发生?哪些一定不会发生?哪些可能会发生?请你做出判断．
序号事件判断1明天早晨,大家能看到太阳从东方冉冉升起2从分别写有2,4,6三个数字的三张卡片中随机抽出一张,卡片上的数字能被2整除3从装满红球的袋子中随机摸出一个球,是白球

14. 为解决群众看病贵问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为 100 元的药品进行连续两次降价，降价后售价为 81 元，设平均每次降价的百分率为 x，根据题意可列方程为 ．

15. 假设口袋中有白球 x 个，黑球 8 个，则从口袋中任取一球是黑球的概率为 ．若经过多次试验得出从口袋中任取一球是黑球的频率为 P，则解方程 就可以求出白球的数量．

16. 把直角三角形 ABC 的斜边 AB 放在定直线 l 上，按顺时针方向在 l 上无滑动转动两次，使它转到 △AʺBʺCʺ 的位置．若 BC=1，AC=3，则点 A 运动到点 Aʺ 时，点 A 所经过的路线长是 ．边 AC 所扫过的面积是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−2x−n−1=0 有两个不相等的实数根．
（1）求 n 的取值范围；
（2）若 n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根．

18. 小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树 A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．
（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若 △ABC 中 AB=8 米，AC=6 米，∠BAC=90∘，试求小明家圆形花坛的面积．

19. 下面是小飞设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，P 为 ⊙O 外一点．
求作：经过点 P 的 ⊙O 的切线．
作法：如下图，
①连接 OP，作线段 OP 的垂直平分线，交 OP 于点 A；
②以点 A 为圆心，OA 长为半径作圆，交 ⊙O 于 B，C 两点；
③作直线 PB，PC．
所以直线 PB，PC 就是所求作的切线．
根据小飞设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明（说明：括号里填写推理的依据）
证明：如图，连接 OB，OC，
∵PO 为 ⊙A 的直径，
∴∠PBO=∠PCO= （ ）．
∴PB⊥OB，PC⊥OC．
∴PB，PC 为 ⊙O 的切线（ ）．

20. 已知二次函数 y=ax2+bx+3 的图象经过点 −3,0，2,−5．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）请你判断点 P−2,3 是否在这个二次函数的图象上?

21. 如图，在每个小正方形的边长为 1 个单位的网格中，△ABC 的顶点均在格点（网格线的交点）上．
（1）将 △ABC 向右平移 5 个单位得到 △A1B1C1，画出 △A1B1C1；
（2）将（1）中的 △A1B1C1 绕点 C1 逆时针旋转 90∘ 得到 △A2B2C1，画出 △A2B2C1．

22. 在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案．
甲同学的方案：将红桃 2，3，4，5 四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影．
（1）甲同学的方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明；
（2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃 2，3，4 三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗?（只回答，不说明理由）

23. 如图，△ABC 中，AB=AC=1，∠BAC=45∘，△AEF 是由 △ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到的，连接 BE，CF 相交于点 D．
（1）求证：BE=CF．
（2）当四边形 ACDE 为菱形时，求 BD 的长．

24. 在平面直角坐标系中，直线 y=x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 y=ax2+bx+ca0．
解得 n>0．
（2） ∵n>0，且 n 为取值范围内的最小整数，
∴n=1．
此时方程为 x2−2x=0．
因式分解，得 xx−2=0．
于是得 x=0 或 x−2=0．
x1=0，x2=2．
18. （1） 如图，⊙O 即为所求作的花园的位置．
（2） ∵∠BAC=90∘，
∴BC 是直径．
∵AB=8 米，AC=6 米，
∴BC=10 米，
∴△ABC 外接圆的半径为 5 米，
∴ 小明家圆形花坛的面积为 25π 平方米．
19. （1） 补全的图形如图所示．
（2） 90∘；直径所对的圆周角是直角；过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
20. （1） 由题意得，
9a−3b+3=0,4a+2b+3=−5,
解得，
a=−1,b=−2,
则二次函数的解析式为 y=−x2−2x+3．
（2） 当 x=−2 时，y=−−22−2×−2+3=3，
∴ 点 P−2,3 在这个二次函数的图象上．
21. （1）如图，△A1B1C1 即为所求作．
（2）如图，△A2B2C1 即为所求作．
22. （1） 甲同学的方案不公平．理由如下：
列表：
由表格可知，两张牌面数字之和共有 12 种情况，数字之和为奇数的有 8 种，数字之和为偶数的有 4 种，
则 P小明看电影=23，P小刚看电影=13，
∴P小明看电影>P小刚看电影，
故甲同学的方案不公平．
（2） 乙同学的方案也不公平．
【解析】列表：
由表格可知，两张牌面数字之和共有 6 种情况，数字之和为奇数的有 4 种，数字之和为偶数的有 2 种，
则 P小明看电影=23，P小刚看电影=13，
P小明看电影>P小刚看电影，
故乙同学的方案不公平．
23. （1） ∵△AEF 是由 △ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到的，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即 ∠EAB=∠FAC，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
∴△AEB 可由 △AFC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到，
∴BE=CF．
（2） ∵ 四边形 ACDE 为菱形，AB=AC=1，
∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，
∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45∘，
∴∠AEB=∠ABE=45∘，
∴△ABE 为等腰直角三角形，
∴BE=2AC=2，
∴BD=BE−DE=2−1．
24. （1） y=x+2，令 x=0，则 y=2；令 y=0，则 x=−2，
故点 A，B 的坐标分别为 −2,0，0,2，则 c=2，
则函数表达式为：y=ax2+bx+2，
将点 A 坐标代入上式并整理得：b=2a+1．
（2） 当 x