2021年北京朝阳区清华附广华中学九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区清华附广华中学九年级上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如图，A，B，C 三点在 ⊙O 上，∠AOB=80∘，则 ∠ACB 的度数为
A. 40∘B. 60∘C. 80∘D. 100∘

2. 如图是一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，圆柱的下底面紧贴在长方体的上底面上，那么这个几何体的俯视图为
A. B.
C. D.

3. 反比例函数 y=kxk>0 的部分图象如图示，A，B 是图象上两点，AC⊥x轴 于点 C，BD⊥x轴 于点 D，若 △AOC 的面积为 S1，△BOD 的面积为 S2，则 S1 和 S2 的大小关系为
A. S1>S2B. S1=S2C. S1
4. 已知一个扇形的弧长为 π，半径是 3，则这个扇形的面积为
A. πB. 2π3C. 3π2D. 3π

5. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

6. 将 y=2x−1⋅x+2+1 化成 y=ax+m2+n 的形式为
A. y=2x+342−2516B. y=2x−342−178
C. y=2x+342−178D. y=2x+342+178

7. 如图，由图中数据可知 tanα 等于
A. 12B. 2C. 55D. 5

8. 平面直角坐标系中有点 A−1,1，以点 A 为圆心，1.5 为半径画圆，在同一坐标系中直线 y=x 与 ⊙A 的位置关系是
A. 相离B. 相切
C. 相交D. 以上情况都有可能

9. 下列反比例函数中，图象位于第二，第四象限的是
A. y=2xB. y=0.2xC. y=2xD. y=−25x

10. 如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市冬季某天气温 T 随时间 t 变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是
A. 凌晨4时气温最低为 −3∘C
B. 14时气温最高为 8∘C
C. 从0时至14时，气温随时间增长而上升
D. 从14时至24时，气温随时间增长而下降

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如果 sinα=32，那么锐角 α= ∘．

12. 如图，在圆内接四边形 ABCD 中，∠B=100∘，则 ∠D 的度数为 ．

13. 抛物线 y=2x2 沿 y 轴向上平移 3 个单位长度后的抛物线的表达式为 ．

14. 如图，CD 为 ⊙O 的弦，直径 AB 为 4，AB⊥CD 于 E，∠A=30∘，则 BC 的长为 （结果保留 π）．

15. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，AC=6，BC=8，则 CD= ．

16. 如图，正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合，将 △AEF 绕其顶点 A 旋转，在旋转过程中，当 BE=DF 时，∠BAE 的大小可以是 ∘．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 计算：2sin30∘+tan60∘−cs45∘+tan30∘．

18. 现有 A，B，C 三个不透明的盒子，A 盒中装有红球、黄球、蓝球各 1 个，B 盒中装有红球、黄球各 1 个，C 盒中装有红球、蓝球各 1 个，这些球除颜色外都相同．现分别从 A，B，C 三个盒子中任意摸出一个球．
（1）从 A 盒中摸出红球的概率为 ；
（2）用画树状图的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率．

19. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A=30∘，AB=6，解这个直角三角形．

20. 抛物线的顶点坐标为 1,2，点 2,3 也在图象上，求出它的函数解析式．

21. 如图，OA，OB，OC 都是 ⊙0 的半径，∠AOB=2∠BOC，求证：∠ACB=2∠BAC．

22. 作出下列三角形的外接圆（如图所示）．

23. 一艘船向正北方向航行，在 A 处时看到灯塔 S 在船的北偏东 30∘ 的方向上，继续航行 12 海里到达 B 处，看到灯塔 S 在船的北偏东 60∘ 的方向上．若继续沿正北方向航行，求航行过程中船距灯塔 S 的最近距离．（结果精确到 0.1 海里）
（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）

24. 有这样一个问题：探究函数 y=1x−22 的图象与性质，小静根据学习函数的经验，对函数 y=1x−22 的图象与性质进行了探究，下面是小静的探究过程，请补充完整：
（1）函数 y=1x−22 的自变量 x 的取值范围是 ；
（2）下表是 y 与 x 的几组对应值．
x⋯−101325234⋯y⋯191414m114⋯
表中的 m= ；
（3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；
（4）结合函数图象，写出一条该函数图象的性质： ．

25. 已知反比例函数 y=m−8x（m 为常数）的图象经过点 A−1,6．
（1）求 m 的值；
（2）如图，过点 A 作直线 AC 与函数 y=m−8x 的图象交于点 B，与 x 轴交于点 C，且 AB=2BC，求点 C 的坐标．

26. 如图，OA 是 ⊙M 的直径，点 B 在 x 轴上，连接 AB 交 ⊙M 于点 C．
（1）若点 A 的坐标为 0,2，∠ABO=30∘，求点 B 的坐标．
（2）若 D 为 OB 的中点，求证：直线 CD 是 ⊙O 的切线．

27. 已知三角形 ABC．
（1）画出三角形 A1B1C1，使三角形 ABC 与三角形 A1B1C1 关于直线 MN 成轴对称；
（2）画出三角形 A2B2C2，使三角形 ABC 与三角形 A2B2C2 关于点 O 成中心对称；
（3）三角形 A1B1C1 与三角形 A2B2C2 是对称图形吗?若是，请写出对称轴或对称中心．

28. 在平面直角坐标系中 xOy 中，抛物线 y=12x2−mx+12m2+m−2 的顶点在 x 轴上．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 Q 是 x 轴上一点，
①若在抛物线上存在点 P，使得 ∠POQ=45∘，求点 P 的坐标；
②抛物线与直线 y=2 交于点 E，F（点 E 在点 F 的左侧），将此抛物线在点 E，F（包含点 E 和点 F）之间的部分沿 x 轴平移 n 个单位后得到的图象记为 G，若在图象 G 上存在点 P，使得 ∠POQ=45∘，求 n 的取值范围．

29. 如图已知，P 为等边三角形 ABC 内一点，且 BP=3，PC=4，将 BP 绕点 B 顺时针旋转 60∘ 至 BPʹ 的位置．
（1）试判断 △BPPʹ 的形状，并说明理由；
（2）若 ∠BPC=150∘，求 PA 的长度．
答案
第一部分
1. A【解析】∵∠ABO=80∘，
∴∠ACB=12∠AOB=12×80∘=40∘．
2. C
3. B
4. C【解析】扇形面积为 S=nπr2360，
弧长公式为 l=nπr180，
∴S=12lr，
∵l=π，r=3，
∴S=3π2．
5. A
6. C
7. A
8. C
9. D【解析】A，B，C中反比例函数的比例系数均大于 0，图象均位于第一，第三象限，不符合题意；D中，k=−25<0，图象位于第二，第四象限，符合题意．
10. C
第二部分
11. 60
【解析】由 sinα=32，得锐角 α=60∘．
12. 80∘
13. y=2x2+3
14. 23π
15. 4.8
16. 15 或 165
第三部分
17. 原式=2×12+3−22+33=433.
18. （1） 13
（2） 画树状图如图．
共有 12 种等可能的结果，摸出的三个球中至少有一个红球的结果有 10 种，
∴ 摸出的三个球中至少有一个红球的概率为 1012=56．
19. ∠B=180∘−∠A−∠C=60∘，
BC=AB⋅sinA=6×12=3，
AC=AB⋅csA=6×32=33．
20. 设抛物线的解析式为 y=ax−12+2，
因为点 2,3 在抛物线上，
所以 a2−12+2=3，
则 a=1，
所以解析式为 y=x−12+2．
21. ∵∠ACB=12∠AOB，∠BAC=12∠BOC，
又 ∵∠AOB=2∠BOC，
∴∠ACB=2∠BAC．
22. 如图所示．
23. 过点 S 作 SC⊥AB 于点 C，
依题意可知 ∠1=30∘，∠3=60∘，AB=12，
∴∠2=30∘，BS=AB=12，
在 Rt△CSE 中，∠SCB=90∘，sin∠3=CSBS，∠3=60∘，
∴CS=BS×sin∠3=12×sin60∘=12×32≈12×1.73×12≈10.38≈10.4．
答：航行过程中船距灯塔 S 的最近距离是 10.4 海里．
24. （1） x≠2
【解析】∵x−2≠0，
∴x≠2．
（2） 4
【解析】令 x=52，则 m=152−22=4．
（3） 如图所示．
（4） 函数图象关于直线 x=2 对称（答案不唯一，正确即可）
25. （1） ∵ 图象过点 A−1,6，
∴m−8−1=6，解得 m=2．
故 m 的值为 2．
（2） 分别过点 A，B 作 x 轴的垂线，垂足分别为点 E，D，
由题意得，AE=6，OE=1，即 A−1,6，
∵BD⊥x 轴，AE⊥x 轴，
∴AE∥BD，
∴△CBD∽△CAE，
∴CBCA=BDAE，
∵AB=2BC，
∴CBCA=13，
∴13=BD6，
∴BD=2．
即点 B 的纵坐标为 2．
当 y=2 时，x=−3，即 B−3,2，
设直线 AB 解析式为：y=kx+b，
把 A 和 B 代入得：−k+b=6,−3k+b=2, 解得 k=2,b=8,
∴ 直线 AB 解析式为 y=2x+8，
令 y=0，解得 x=−4，
∴C−4,0．
26. （1） ∵ A 的坐标为 0,2，
∴ OA=2，
∵ ∠ABO=30∘，∠AOB=90∘，
∴ AB=2OA=4，
∴ 由勾股定理可知：OB=23，
∴ B23,0．
（2） 连接 OC，MC，
∵ OA 是 ⊙M 的直径，
∴ ∠ACO=90∘，
∴ ∠OCB=90∘，
在 Rt△OCB 中，D 为 OB 的中点，
∴ CD=12OB=OD，
∴ ∠DCO=∠DOC，
∵ MC=MO，
∴ ∠OCM=∠COM．
∵ ∠MOC+∠DOC=∠AOB=90∘，
∴ ∠MCO+∠DCO=∠MCD=90∘．
即 MC⊥CD，
∴ 直线 CD 是 ⊙M 的切线．
27. （1） 画出 △A1B1C1，使 △ABC 与 △A1B1C1 关于直线 MN 成轴对称，如下图所示：
（2） 画出 △A2B2C2，使 △ABC 与 △A2B2C2 关于点 O 成中心对称，如上图所示；
（3） 是；对称轴为直线 EF．
28. （1） y=12x2−mx+12m2+m−2=12x−m2+m−2，
由题意，可得 m−2=0．
∴m=2，
∴y=12x−22．
（2） ①由题意得，点 P 是直线 y=x 或 y=−x 与抛物线的交点．
当 P 为直线 y=x 与抛物线的交点时，
x=12x−22，解得 x1=3+5，x2=3−5．
∴P 点坐标为 3+5,3+5 或 3−5,3−5；
当P为y=-x与抛物线的交点时，
−x=12x−22，方程无解；
综上，P 点坐标为 3+5,3+5 或 3−5,3−5．
② ∵∠POQ=45∘，
∴E 点或 F 点的横、纵坐标的绝对值相等，
∴ 当 E 点移动到点 2,2 时，n=2；
当 F 点移动到点 −2,2 时，n=−6．
由图象可知，符合题意的 n 的取值范围是 −6≤n≤2．
29. （1） △BPPʹ 为等边三角形，理由：由旋转的性质可知 ∠PBPʹ=60∘，BP=BPʹ，
∴△BPPʹ 为等边三角形．
（2） ∵△ABC，△PBPʹ 为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60∘，BP=BPʹ=PPʹ，∠PBPʹ=∠BPPʹ=60∘，
∴∠ABP=∠CBPʹ，
在 △ABP 和 △CBPʹ 中，
AB=CB,∠ABP=∠CBPʹ,BP=BPʹ,
∴△ABP≌△CBPʹ．
∴PA=PʹC．
∵∠BPPʹ=60∘，∠BPC=150∘．
∴∠CPPʹ=90∘．
在 Rt△PCPʹ 中，PPʹ=BP=3，PC=4，
∴PʹC=5．
∴AP=5．