2021年北京海淀区北京市海淀实验中学九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京海淀区北京市海淀实验中学九年级上期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图所示的主视图和俯视图对应的几何体（阴影所示为右）是
A. B.
C. D.

2. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 如图，⊙O 中，CD⊥AB 于点 E，若 ∠B=60∘，则 ∠A=
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

4. 如图，下列四个选项中不一定成立的是
A. △COD∽△AOBB. △AOC∽△BOD
C. △DCA∽△BACD. △PCA∽△PBD

5. 把 △ABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍，则锐角 A 的正弦函数值
A. 不变B. 缩小为原来的 13
C. 扩大为原来的 3 倍D. 不能确定

6. 已知矩形的面积为 36 cm2，相邻的两条边长为 x cm 和 y cm，则 y 与 x 之间的函数图象大致是
A. B.
C. D.

7. 若扇形的圆心角为 90∘ ，半径为 6 ，则该扇形的弧长为
A. 32πB. 2πC. 3πD. 6π

8. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为 x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 y=−x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是
A. 4 米B. 3 米C. 2 米D. 1 米

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如图，△ABC 的顶点都在正方形网格格点上，点 A 的坐标为 −1,4．将 △ABC 沿 y 轴翻折到第一象限，则点 C 的对应点 Cʹ 的坐标是 ．

10. 反比例函数 y=2a−1x 的图象有一支位于第一象限，则常数 a 的取值范围是 ．

11. 已知 △ABC 和 △DEF，∠A=72∘，∠B=35∘，∠D=72∘，则当 ∠C 的对应角 ∠F= 时，△ABC∽△DEF．

12. 已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是 313，则这个锐角的正切值为 ．

13. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 OA=1 cm，水面宽 AB=1.2 m，某天下雨后，水管水面上升了 0.2 m，则此时排水管水面宽 CD 等于 m．

14. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与 △AʹBʹCʹ 的顶点都在格点（网格线的交点）上，且 △ABC 与 △AʹBʹCʹ 关于点 P 位似，若平移平面直角坐标系，使得原点与点 P 重合，则平移后点 A 的坐标为 ．

15. 某种商品每件进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元（20≤x≤30，且 x 为整数）出售，可卖出 30−x 件．若使利润最大，每件的售价应为 元．

16. 假设口袋中有白球 x 个，黑球 8 个，则从口袋中任取一球是黑球的概率为 ．若经过多次试验得出从口袋中任取一球是黑球的频率为 P，则解方程 就可以求出白球的数量．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：2cs45∘−2sin60∘+3tan230∘−cs60∘−10．

18. 如图，AC 平分 ∠BAD，∠B=∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD．
（2）若 AB=2，AC=3，求 AD 的长．

19. 某校准备组建“校园安全宣传队”，每班有两个队员名额，七年 2 班有甲、乙、丙、丁四位同学报名，这四位同学综合素质都很好，王老师决定采取抽签的方式确定人选，具体做法是：将甲、乙、丙、丁四名同学分别编号为 1，2，3，4 号，将号码分别写在 4 个大小、质地、形状、颜色均无差别的小球上，然后把小球放入不透明的袋子中，充分搅拌均匀后，王老师从袋中随机摸出两个小球，根据小球上的编号确定本班“校园安全宣传员”人选．
（1）用画树状图或列表法，写出“王老师从袋中随机摸出两个小球”可能出现的所有结果．
（2）求甲同学被选中的概率．

20. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，a，b，c 分别是 ∠A，∠B，∠C 的对边，a=3，b=5．
（1）求 c 边的长．
（2）求 ∠A，∠B 的度数（精确到 1∘）．

21. 如图，△ABC 的三个顶点都在边长为 1 的小正方形组成的网格的格点上，以点 O 为原点建立平面直角坐标系，回答下列问题：
（1）将 △ABC 绕原点 O 旋转 180∘ 得到 △A1B1C1，在表格中画出 △A1B1C1；
（2）已知点 A 的坐标为 −4,−1，则点 A1 的坐标为 ．

22. 下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O 及 ⊙O 外一点 P．
求作：⊙O 的一条切线，使这条切线经过点 P．
作法：
①连接 OP，作 OP 的垂直平分线 l，交 OP 于点 A；
②以 A 为圆心，AO 长为半径作圆，交 ⊙O 于点 M；
③作直线 PM，则直线 PM 即为 ⊙O 的切线．
根据小芸设计的尺规作图过程．
（1）用直尺和圆规，在下图中补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成证明．

23. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在 O 点正上方 1 m 的 P 处发出一球，羽毛球飞行的高度 ym 与水平距离 xm 之间满足函数表达式 y=ax−42+h．已知点 O 与球网的水平距离为 5 m，球网的高度为 1.55 m．
（1）当 a=−124 时，①求 h 的值；②通过计算判断此球能否过网．
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点 O 的水平距离为 7 m，离地面的高度为 125 m 的 Q 处时，乙扣球成功，求 a 的值．

24. 在同一平面直角坐标系中，设一次函数 y1=mx+n（m，n 为常数，且 m≠0，m≠−n）与反比例函数 y2=m+nx．
（1）若 y1 与 y2 的图象有交点 1,5，且 n=4m，当 y1≥5 时，y2 的取值范围；
（2）若 y1 与 y2 的图象有且只有一个交点，求 mn 的值．

25. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 E，F 在 ⊙O 上，且 BF=2BE，连接 OE，AF，过点 B 作 ⊙O 的切线，分别与 OE，AF 的延长线交于点 C，D．
（1）求证：∠COB=∠A；
（2）若 AB=6，CB=4，求线段 FD 的长．

26. 有这样一个问题：探究函数 y=1x2+x 的图象与性质．
小菲根据学习函数的经验，对函数 y=1x2+x 的图象与性质进行了探究．
下面是小菲的探究过程，请补充完整：
（1）函数 y=1x2+x 的自变量 x 的取值范围是 ．
（2）下表是 y 与 x 的几组对应值．
x⋯−3−2−1−23−122312123⋯y⋯−269−74m191272351292294289⋯
表中 m 的值为 ．
（3）如下图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象；
（4）根据画出的函数图象，写出：
① x=1.5 时，对应的函数值 y 约为 （结果保留一位小数）；
②该函数的一条性质： ．

27. 在正方形 ABCD 中，点 E，F，G 分别是边 AD，AB，BC 的中点，点 H 是直线 BC 上一点．线段 FH 绕点 F 逆时针旋转 90∘，得到线段 FK，连接 EK．
（1）如图 1，求证：EF=FG，且 EF⊥FG．
（2）如图 2，若点 H 在线段 BC 的延长线上，猜想线段 BH，EF，EK 之间满足的数量关系，并证明你的结论．
（3）若点 H 在线段 BC 的反向延长线上，如图 3，请直接写出线段 BH，EF，EK 之间满足的数量关系．

28. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 Px,y 和 Qx,yʹ，给出如下定义：若 yʹ=y,x≥0−y,x<0，则称点 Q 为点 P 的“可控变点”．
例如：点 1,2 的“可控变点”为点 1,2，点 −1,3 的“可控变点”为点 −1,−3．
（1）点 −5,−2 的“可控变点”坐标为 ．
（2）若点 P 在函数 y=−x2+16 的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标 yʹ 是 7，求“可控变点”Q 的横坐标．
（3）若点 P 在函数 y=−x2+16−5≤x≤a 的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标 yʹ 的取值范围是 −16≤yʹ≤16，直接写出实数 a 的值．
答案
第一部分
1. B【解析】观察选项中的几何体，可知B选项中的几何体的主视图和俯视图与题图相符．
2. A
3. A【解析】∵CD⊥AB，
∴∠AED=90∘，
∵∠D=∠B=60∘，
∴∠A=90∘−∠D=30∘．
4. C
5. A
6. A
7. C
8. A
第二部分
9. 3,1
10. a>12
【解析】∵ 反比例函数 y=2a−1x 的图象有一支位于第一象限，
∴2a−1>0，解得 a>12．
11. 73∘
【解析】因为 ∠A=72∘，∠B=35∘，
所以 ∠C=180∘−∠A−∠B=180∘−72∘−35∘=73∘，
∠F 与 ∠C 是对应角时，∠F=73∘．
12. 3
13. 1.6
14. −1,2
【解析】如图，连接 AAʹ，BBʹ，交点 P 就是位似中心，
则由题意可知平移后点 A 的坐标是 −1,2．
15. 25
【解析】利润 y=30−xx−20=−x2+50x−600=−x−252+25，
因为 20≤25≤30，
所以若使利润最大，每件的售价应为 25 元．
16. 88+x，88+x=P
第三部分
17. 原式=2×22−2×32+3×332−1=1−3+1−1=1−3.
18. （1） ∵AC 平分 ∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠B=∠ACD，
∴△ABC∽△ACD．
（2） ∵△ABC∽△ACD，
∴ACAB=ADAC，
∵AB=2，AC=3，
∴AD=92．
19. （1） 方法 1：列表法
12341 1,21,31,422,1 2,32,433,13,2 3,444,14,24,3
所有可能出现的结果共有 12 种，每种结果出现的可能性相同．
【解析】方法 2：树状图法
1,21,31,42,12,32,43,13,23,44,14,24,3，
所有可能出现的结果共有 12 种，每种结果出现的可能性相同．
（2） 甲被选中的结果共有 6 种，
所以，P甲被选中=612=12．
20. （1） c=34．
（2） ∠A≈31∘，∠B≈59∘．
21. （1） 如图，△A1B1C1 即为所求．
（2） 4,1
22. （1） 如图所示：
PM 即为所求作的 ⊙O 的切线．
（2） 如图，连接 OM，
根据作图过程可知，OP 为 ⊙O 的直径，
所以 ∠PMO=90∘，即 OM⊥PM，
又 OM 为 ⊙O 的半径，
所以 PM 为 ⊙O 的切线．
23. （1） ①当 a=−124 时，
y=−124x−42+h，
将点 P0,1 代入，得：−124×16+h=1，
解得：h=53；
②把 x=5 代入 y=−124x−42+53
得：y=−124×5−42+53=1.625，
∵1.625>1.55，
∴ 此球能过网．
（2） 把 0,1，7,125 代入 y=ax−42+h，
得：
16a+h=1,9a+h=125,
解得：
a=−15,h=215,∴a=−15
．
24. （1） 把 1,5 代入 y1=mx+n，得 m+n=5．
又 ∵n=4m，
∴m=1，n=4．
∴y1=x+4，y2=5x．
∴ 当 y1≥5 时，x≥1．此时，0 （2） 令 m+nx=mx+n，得 mx2+nx−m+n=0．
由题意得，Δ=n2+4mm+n=2m+n2=0，即 2m+n=0．
∴mn=−12．
25. （1） 取 BF 的中点 M，连接 OM，OF，
∵BF=2BE，
∴BM=MF=BE，
∴∠COB=12∠BOF，
∵∠A=12∠BOF，
∴∠COB=∠A．
（2） 连接 BF，如图，
∵CD 为 ⊙O 的切线，
∴AB⊥CD，
∴∠OBC=∠ABD=90∘，
∵∠COB=∠A，
∴△OBC∽△ABD，
∴OBAB=BCBD，即 36=4BD，解得 BD=8，
在 Rt△ABD 中，AD=AB2+BD2=62+82=10，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠AFB=90∘，
∵∠BDF=∠ADB，
∴Rt△DBF∽Rt△DAB，
∴DFDB=DBDA，即 DF8=810，解得 DF=325．
26. （1） x≠0
（2） m=0
【解析】令 x=−1，
∴y=11−1=0，
∴m=0．
（3） 如图所示：
（4） ① 1.9 至 2.0
②答案不唯一，如 x<0 时，y 随 x 的增大而增大
27. （1） ∵ 正方形 ABCD，E，F，G 分别是边 AD，AB，BC 的中点，
∴AE=AF=FB=BG，∠A=∠B=90∘，
在 △AEF 和 △BGF 中，
AE=BG,∠A=∠B,AF=BF,
∴△AEF≌△BGF，
∴EF=FG，∠AFE=∠BFG=45∘，
∴∠EFG=180∘−∠AFE−∠BFG=90∘，
即 EF⊥FG．
（2） BH=22EF+EK．
理由如下：
∵ 将线段 FH 绕点 F 逆时针旋转 90∘，得到线段 FK，
∴FH=FK，∠HFK=90∘，
∴∠KFE+∠EFH=90∘，
∵∠EFG=90∘，
∴∠HFG+∠EFH=90∘，
∴∠KFE=∠HFG，
在 △EFK 和 △GFH 中，
FK=FH,∠KFE=∠HFG,EF=FG,
∴△EFK≌△GFH，
∴EK=GH．
∵△BFG 是等腰直角三角形，
∴BG=22FG，
∴BH=BG+GH=22FG+EK=22EF+EK,
即 BH=22EF+EK．
（3） BH=EK−22EF
【解析】补全图形如图，
由题意有，FH=FK，∠HFK=90∘，
∴∠KFE+∠EFH=90∘，
∵∠EFG=90∘，
∴∠EFG+∠GFK=∠HFK+∠GFK，
∴△EFK≌△GFH，
∴EK=GH，
∴△BFG 是等腰直角三角形，
∴BG=22FG，
∴BH=GH−BG=EK−22FG=EK−22EF,
∴BH=EK−22EF．
28. （1） −5,2
【解析】∵−5<0，
∴yʹ=−y=2，
即点 −5,−2 的“可控变点”坐标为 −5,2．
（2） 如图 1，
由题意，得 y=−x2+16 的图象上的点 P 的“可控变点”必在函数 yʹ=−x2+16,x≥0x2−16,x<0 图象上，
∵“可控变点”Q 的纵坐标 yʹ 是 7，
∴ 当 −x2+16=7 时，解得 x=3，
当 x2−16=7 时，解得 x=−23，
故答案为：3 或 −23．
（3） 42
【解析】由题意，得 y=−x2+16 的图象上的点 P 的“可控变点”必在函数
yʹ=−x2+16,x≥0x2−16,x<0 的图象上如图 2，
当 x=−5 时，x2−16=9，
∵yʹ=x2−16>−16x<0，
∴yʹ=−16 在 yʹ=−x2+16x≥0 上，
∴−16=−x2+16，
∴x=42，
∴ 实数 a 的值为 42．