2021年北京顺义区三中九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京顺义区三中九年级上期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 已知 3x=5yy≠0，则下列比例式成立的是
A. x3=5yB. x5=y3C. xy=35D. x3=y5

2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=4，AB=5，则 csA 的值是
A. 35B. 45C. 34D. 43

3. 如图，在 △ABC 中，DE∥BC，AD:AB=1:3，若 △ADE 的面积等于 3，则 △ABC 的面积等于
A. 9B. 15C. 18D. 27

4. 当 m<−1 时，二次函数 y=m+1x2−1 的图象一定经过的象限是
A. 一、二B. 三、四C. 一、二、三D. 一、二、三、四

5. 已知矩形的面积为 10，它的一组邻边长分别 x，y，则 y 与 x 之间的函数关系用图象表示大致是
A. B.
C. D.

6. 如图所示，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心 O，另一边所在直线与半圆相交于点 D，E，量出半径 OC=5 cm，弦 DE=8 cm，则直尺的宽度为
A. 1 cmB. 2 cmC. 3 cmD. 4 cm

7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠B=30∘，AB=4 cm，若以点 C 为圆心，以 2 cm 为半径作 ⊙C，则 AB 与 ⊙C 的位置关系是
A. 相离B. 相切C. 相交D. 相切或相交

8. 如图，A，B，C 是 ⊙O 上三个点，∠AOB=2∠BOC，则下列说法中正确的是
A. ∠OBA=∠OCAB. 四边形 OABC 内接于 ⊙O
C. AB=2BCD. ∠OBA+∠BOC=90∘

9. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示，那么一元二次方程 ax2+bx+c=m（a≠0，m 为常数且 m≤4）的两根之和为
A. 1B. 2C. −1D. −2

10. 选一选。
在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=x2+(2m−1)x+2m−4与y=x2−(3m+n)x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（ ）
A. m=57，n=−187B. m=5，n=−6C. m=−1，n=6D. m=1，n=−2

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

12. 二次函数 y=2x+22−1 的最小值是 ．

13. 请写出一个开口向上，且过点 0,1 的抛物线的表达式 ．

14. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，若 ∠BAD=110∘，则 ∠C 的度数是 ．

15. 已知抛物线 y=x2−2x−1，点 P 是抛物线上一动点，以点 P 为圆心，2 个单位长度为半径作 ⊙P．当 ⊙P 与 x 轴相切时，点 P 的坐标为 ．

16. 在数学课上，老师提出如下问题：
如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C 在 ⊙O 外，AC，BC 分别与 ⊙O 交于点 D，E，请你作出 △ABC 中 BC 边上的高．
小文说：连接 AE，则线段 AE 就是 BC 边上的高．
老师说：“小文的作法正确．”
请回答：小文的作图依据是 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 计算：cs30∘+tan60∘−2sin45∘．

18. 已知：如图，矩形 ABCD 中，E，F 分别是 CD，AD 上的点，且 BF⊥AE 于点 M．求证：AB⋅DE=AE⋅AM．

19. 已知抛物线的顶点坐标为 3,−4，且过点 0,5，求抛物线的表达式．

20. 某班开展测量教学楼高度的综合实践活动．大家完成任务的方法有很多种，其中一种方法是：如图，他们在 C 点测得教学楼 AB 的顶部点 A 的仰角为 30∘，然后向教学楼前进 20 米到达点 D，在点 D 测得点 A 的仰角为 60∘，且 B，C，D 三点在一条直线上．请你根据这些数据，求出这幢教学楼 AB 的高度．

21. 图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度 ym 与旋转时间 xmin 之间的关系如图②所示．
（1）根据图②填表：
x/min036812⋯y/m⋯
（2）变量 y 是 x 的函数吗?为什么?
（3）根据图中的信息，请写出摩天轮的直径．

22. 已知：如图，△ABC 内接于 ⊙O，∠C=45∘，AB=2，求 ⊙O 的半径．

23. 已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y1=mx 的图象与一次函数 y2=kx+b 的图象交于点 A−4,−1 和点 B1,n．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）观察图象，当 y1>y2 时，直接写出自变量 x 的取值范围；
（3）如果点 C 与点 A 关于 y 轴对称，求 △ABC 的面积．

24. 已知：在四边形 ABCD 中，∠ABC=90∘，∠C=60∘，AB=32，BC=1+3，CD=2．
（1）求 tan∠ABD 的值；
（2）求 AD 的长．

25. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个 20 元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量 y（个）与销售单价 x（元）有如下关系：y=−2x+8020≤x≤40．设这种健身球每天的销售利润为 w 元．
（1）求 w 与 x 之间的函数关系式；
（2）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
（3）如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于 28 元，该商店销售这种健身球每天要获得 150 元的销售利润，销售单价应定为多少元?

26. 已知：如图，在 △ABC 中，AC=BC，以 AC 为直径的 ⊙O 交 AB 于点 D，过点 D 作 ⊙O 的切线交 BC 于点 E．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）若 ⊙O 的半径为 5，csB=35，求 AB 的长．

27. 阅读下面材料：
小敏遇到这一个问题：已知 α 为锐角，且 tanα=12，求 tan2α 的值．小敏根据锐角三角函数及三角形有关的学习经验，先画出一个含锐角 α 的直角三角形：如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠B=α．她通过独立思考及与同学进行交流、讨论后，形成了构造 2α 角的几种方法：
方法 1：如图 2，作线段 AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，连接 AD．
方法 2：如图 3，以直线 BC 为对称轴，作出 △ABC 的轴对称图形 △AʹBC．
方法 3：如图 4，以直线 AB 为对称轴，作出 △ABC 的轴对称图形 △ABCʹ．
⋯
请你参考上面的想法，根据勾股定理及三角函数等知识帮助小敏求 tan2α 的值．（一种方法即可）

28. 已知：抛物线 y=ax2+4ax+4aa>0．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线经过点 Am,y1，Bn,y2，其中 −4”填空）；
（3）如图，矩形 CDEF 的顶点分别为 C1,2，D1,4，E−3,4，F−3,2，若该抛物线与矩形的边有且只有两个公共点（包括矩形的顶点），求 a 的取值范围．

29. 已知：△ABC 中，AC=6，BC=8，AB=10，点 D 是边 AB 上的一点，过 C，D 两点的 ⊙O 分别与边 CA，CB 交于点 E，F．
（1）若点 D 是 AB 的中点，
①在图 1 中用尺规作出一个符合条件的图形（保留作图痕迹，不写作法）；
②如图 2，连接 EF，若 EF∥AB，求线段 EF 的长；
③请写出求线段 EF 长度最小值的思路．
（2）如图 3，当点 D 在边 AB 上运动时，线段 EF 长度的最小值是 ．
答案
第一部分
1. B【解析】A、 x3=5y，可以化成：xy=15，故此选项错误；
B、 x5=y3，可以化成：3x=5y，故此选项正确；
C、 xy=35，可以化成：5x=3y，故此选项错误；
D、 x3=y5，可以化成：5x=3y，故此选项错误．
2. B【解析】在 Rt△ABC 中，csA=ACAB=45．
3. D【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=ADAB2=132=19，
∵S△ADE=3，
∴△ABC 的面积 =27．
4. B【解析】因为 m<−1，
所以 m+1<0，
所以抛物线开口向下，
因为 −1<0，
所以抛物线与 y 轴相交于负半轴，
所以二次函数 y=m+1x2−1 的图象一定经过第三、四象限．
5. B
【解析】∵ 矩形的面积为 10，它的一组邻边长分别 x，y，
∴xy=10，
∴y=10xx>0,y>0．
6. C
7. C【解析】过 C 作 CD⊥AB 于 D，
则 ∠ADC=∠BDC=90∘，
∵Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠B=30∘，AB=4 cm，
∴AC=12AB=2 cm，∠A=60∘，
∴∠ACD=30∘，
∴AD=12AC=1 cm，
在 Rt△ADC 中，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，12+CD2=22，
解得：CD=3，
∵ 以点 C 为圆心，以 2 cm 为半径作 ⊙C，
∴ 此时 AB 与 ⊙C 的位置关系是相交．
8. D【解析】过 O 作 OD⊥AB 于 D 交 ⊙O 于 E，
则 AE=BE，
所以 AE=BE，∠AOE=∠BOE=12∠AOB，
因为 ∠AOB=2∠BOC，
所以 ∠AOE=∠BOE=∠BOC，
所以 AE=BE=BC，
所以 AE=BE=BC，
所以 2BC>AB，故C错误；
因为 OA=OB=OC，
所以
∠OBA=12180∘−∠AOB=90∘−∠BOC.
∠OCA=12180∘−∠AOC=90∘−32∠BOC.
所以 ∠OBA≠∠OCA，故A错误；
因为点 A，B，C 在 ⊙O 上，而点 O 在圆心，
所以四边形 OABC 不内接于 ⊙O，故B错误；
因为 ∠BOE=∠BOC=12∠AOB，∠BOE+∠OBA=90∘，
所以 ∠OBA+∠BOC=90∘，故D正确．
9. D【解析】∵ 抛物线与 x 轴的两交点坐标为 −3,0，1,0，
∴ 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根分别为 x1=−3，x2=1，
∴−3+1=−ba，即 ba=2，
∴ 一元二次方程 ax2+bx+c−m=0 的两根之和 −ba=−2．
10. D
【解析】∵抛物线y=x2+(2m−1)x+2m−4与y=x2−(3m+n)x+n关于y轴对称，
∴
2m−1=3m+n2m−4=n
，解之得
m=1n=−2
，
故选：D．
第二部分
11. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
12. −1
【解析】由于 x+22≥0，
所以当 x=−2 时，x+22 取得最小值，
则二次函数 y=2x+22−1 最小值为 −1．
13. y=x2+1 等．答案不唯一
【解析】依题意，满足题意的抛物线解析式为 y=x2+1 等，答案不唯一．
14. 70∘
【解析】∵ 四边形 ABCD 内接于 ⊙O，
∴∠BAD+∠C=180∘，
∵∠BAD=110∘，
∴∠C=70∘．
15. 1,−2，−1,2，3,2
【解析】当 y=2 时，得：x2−2x−1=2，解得：x=−1或3，则 P 的坐标是 −1,2 或 3,2；
当 y=−2 时，x2−2x−1=−2，
∴x=1，则 P 的坐标是 1,−2，
则 P 的坐标是：1,−2，−1,2，3,2．
16. 直径所对的圆周角是直角
【解析】因为直径所对的圆周角是直角，
所以连接 AE，则线段 AE 就是 BC 边上的高．
第三部分
17. 原式=32+3−2×22=332−2.
18. ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD=∠D=90∘，
∴∠BAE+∠EAD=90∘．
∵BF⊥AE，
∴∠AMB=90∘．
∴∠BAE+∠ABM=90∘．
∴∠EAD=∠ABM，
∵∠D=∠AMB=90∘，
∴△ADE∽△BMA，
∴AEAB=DEAM，
∴AB⋅DE=AE⋅AM．
19. 设二次函数的表达式为 y=ax−h2+ka≠0，
∵ 抛物线的顶点坐标是 3,−4，
∴y=ax−32−4，
又 ∵ 抛物线经过点 0,5，
∴5=a0−32−4，
∴a=1，
∴ 二次函数的表达式为 y=x−32−4，化为一般式 y=x2−6x+5．
20. 如图，由已知，可得，
∵∠ADB=60∘，∠ACB=30∘，
∴∠CAD=30∘，
∴∠CAD=∠ACD，
∴CD=AD．
∵CD=20 米，
∴AD=20 米，
∵∠ADB=60∘，∠ABD=90∘，
∴sin∠ADB=ABAD=32，
∴AB=103（米）．
答：教学楼的高度为 103 米．
21. （1） 表格中分别填写：5，70，5，54，5．
（2） 变量 y 是 x 的函数．
理由：∵ 在这个变化过程中，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，
∴ 变量 y 是 x 的函数．
（3） 摩天轮的直径是 70−5=65m．
22. 连接 OB，OA，
∵∠BCA=45∘，
∴∠BOA=90∘，
∵OB=OA，
∴∠OBA=∠OAB=45∘，
∵AB=2，
∴OB=OA=2．
23. （1） 因为函数 y1=mx 的图象过点 A−4,−1，
所以 m=4，
所以反比例函数解析式为：y1=4x，
又因为点 B1,n 在 y1=4x 上，
所以 n=4，所以 B1,4，
又因为一次函数 y2=kx+b 过 A，B 两点，
所以 −4k+b=−1,k+b=4,
解得：k=1,b=3.
所以一次函数解析式为：y2=x+3．
（2） 若 y1>y2，则函数 y1 的图象总在函数 y2 的图象上方，
所以 x<−4 或 0 （3） 作 BD⊥AC 于点 D，如图所示：
∵ 点 C 与点 A 关于 y 轴对称，
所以 AC=8，BD=5，
所以 △ABC 的面积 S△ABC=12AC⋅BD=12×8×5=20．
24. （1） 如图 1，作 DE⊥BC 于点 E．
∵ 在 Rt△CDE 中，∠C=60∘，CD=2，
∴CE=1，DE=3，
∵BC=1+3，
∴BE=3．
∴BE=DE．
∵∠DEB=90∘，
∴∠EDB=∠EBD=45∘．
∵AB⊥BC，∠ABC=90∘，
∴∠ABD=∠ABC−∠EBD=45∘．
∴tan∠ABD=1．
（2） 如图 2，作 AF⊥BD 于点 F．
在 Rt△ABF 中，∠ABF=45∘，AB=32，
∴BF=AF=64．
∵ 在 Rt△BDE 中，BE=DE=3，
∴BD=6．
∴DF=364．
∴ 在 Rt△AFD 中，由勾股定理得：AD=152．
25. （1） 根据题意可得：
w=x−20⋅y=x−20−2x+80=−2x2+120x−1600,
w 与 x 的函数关系式为：w=−2x2+120x−1600．
（2） 根据题意可得：w=−2x2+120x−1600=−2x−302+200，
∵−2<0，
∴ 当 x=30 时，w 有最大值．w 最大值为 200．
答：销售单价定为 30 元时，每天销售利润最大，最大销售利润 200 元．
（3） 当 w=150 时，可得方程 −2x−302+200=150．
解得 x1=25，x2=35．
∵35>28，
∴x2=35 不符合题意，应舍去．
答：该商店销售这种健身球每天想要获得 150 元的销售利润，销售单价定为 25 元．
26. （1） 连接 CD，
∵AC 是 ⊙O 的直径，
∴CD⊥AB，
∵AC=BC，
∴AD=BD，
∵AO=CO，
∴OD∥BC，
∵DE 是 ⊙O 的切线，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥BC．
（2） ∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵csB=35，
∴csA=35，
∵⊙O 的半径为 5，
∴AC=10，
∴AD=6，
∴AB=2AD=12．
27. 方法 1：
因为线段 AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，
所以 AD=BD，
所以 ∠1=∠B，
因为 ∠B=α，
所以 ∠2=∠1+∠B=2α，
在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，tanα=12，
所以 ACBC=12，
设 AC=k，DC=x，则 AD=BD=2k−x，
在 Rt△ADC 中，∠C=90∘，由勾股定理得，k2+x2=2k−x2，
解得：x=3k4，
所以 tan2α=ACDC=k3k4=43．
28. （1） 因为 y=ax2+4x+4=ax+22，
所以抛物线的顶点坐标为 −2,0．
（2） <
【解析】因为 a>0，且对称轴为直线 x=−2，
所以当函数图象上的点离对称轴越近时其函数值越小，
因为 −4所以 A 点离对称轴 x=−2 近，
所以 y1 （3） 因为 y=ax+22 的图象开口向上，且顶点为 −2,0，
所以当抛物线开口越大时 a 的值越小，当抛物线开口越小时 a 的值越大，
所以当抛物线过点 C 时 a 有最小值，当抛物线过点 F 时 a 有最大值，
代入点 C1,2，得 a=29，
代入点 F−3,2，得 a=2，
所以 2929. （1） ①如图 1 所示，
②如图 2，连接 CD，FD，
∵AC=6，BC=8，AB=10，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC 是直角三角形，∠ACB=90∘，
∴EF 是 ⊙O 的直径，
∵D 是 AB 中点，
∴DA=DB=DC=5，
∴∠B=∠DCB，
∵EF∥AB，
∴∠A=∠CEF，
∵∠CDF=∠CEF，
∴∠A=∠CDF，
∵∠A+∠B=90∘，
∴∠CDF+∠DCB=90∘，
∴∠CFD=90∘，
∴CD 是 ⊙O 的直径，
∴EF=CD=5，
③由 AC2+BC2=AB2 可得 ∠ACB=90∘，
∴EF 是 ⊙O 的直径．
由于 CD 是 ⊙O 的弦，
∴ 有 EF≥CD，
∴ 当 CD 是 ⊙O 的直径时，EF 最小，
（2） 245
【解析】如图 3，
由（1）③知，CD 是 ⊙O 的直径时，EF 最小，即：最小值为 CD，
当点 D 在边 AB 上运动时，只有 CD⊥AB 时，CD 最小，
由（1）②知，△ABC 是直角三角形，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴AC⋅BC=AB⋅CD，
∴CD=AC⋅BCAB=6×810=245．