2021年北京海淀区一零一学校石油分校九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京海淀区一零一学校石油分校九年级上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 把 △ABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍，则锐角 A 的正弦函数值
A. 不变B. 缩小为原来的 13
C. 扩大为原来的 3 倍D. 不能确定

2. 以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是
A. 2，5，10，25B. 4，7，4，7
C. 2，12，12，4D. 2，5，25，52

3. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，下列比例式不能判定 DE∥BC 的是
A. ADDB=AEECB. ABAD=ACAEC. ADAB=DEBCD. BDAB=CEAC

4. 如果一种变换是将抛物线向右平移 2 个单位或向上平移 1 个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是 y=x2+1，则原抛物线的解析式不可能是
A. y=x2−1B. y=x2+6x+5C. y=x2+4x+4D. y=x2+8x+17

5. 反比例函数 y=kx 的图象如图所示，则 k 的值可能是
A. −1B. 12C. 1D. 2

6. 如图，在半径为 5 cm 的 ⊙O 中，圆心 O 到弦 AB 的距离为 3 cm，则弦 AB 的长是
A. 4 cmB. 6 cmC. 8 cmD. 10 cm

7. 已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示，分析下列四个结论：① abc<0；② b2−4ac>0；③ 3a+c>0；④ a+c2A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

8. 如图，BD 是 ⊙O 的直径，点 A，C 在 ⊙O 上，AB=AD，AC 交 BD 于点 G，若 ∠COD=126∘，则 ∠AGB 的度数为
A. 99∘B. 108∘C. 110∘D. 117∘

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 反比例函数 y=5x 的图象在第 象限．

10. 已知函数 y=2x+12+1，当 x< 时，y 随 x 的增大而减小；当 x> 时，y 随 x 的增大而增大；当 x= 时，y 最小值为 ．

11. 如图，在 Rt△ABC 中，AC=2，BC=1，则 tanα= ．

12. 在 △ABC 中，AB=10，AC=6，BC=8，则 tanA 的值为 ．

13. 如果一个半径为 2 厘米的圆的面积恰好与一个半径为 4 厘米的扇形面积相等，那么这个扇形的圆心角度数为 ．

14. 老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质，甲：第一象限内有它的图象；乙：第三象限内有它的图象；丙：在每个象限内，y 随 x 的增大而减小．请你写一个满足上述性质的函数解析式 ．

15. 如图，抛物线 y=ax2+c 与直线 y=mx+n 交于 A−1,p ， B3,q 两点，则不等式 ax2+mx+c>n 的解集是 ．

16. 如图，已知四边形 ABCD 中，∠B=∠C，CD=2，BC=5，AB=m，点 P 是边 BC 上使 ∠APD=∠B=∠C 的点，当 m= 时，这样的 P 点只有一个．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：8+1−20−2sin45∘．

18. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2−2xa≠0 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧）．
（1）当 a=−1 时，求 A，B 两点的坐标；
（2）过点 P3,0 作垂直于 x 轴的直线 l，交抛物线于点 C．当 a=2 时，求 PB+PC 的值．

19. 如图，某测量小组为了测量山 BC 的高度，在地面 A 处测得山顶 B 的仰角 45∘，然后沿着坡度为 i=1:3 的坡面 AD 走了 200 米达到 D 处，此时在 D 处测得山顶 B 的仰角为 60∘，求山高 BC（结果保留根号）．

20. 小云出黑板报时遇到了一个难题，在版面设计过程中需要将一个半圆面三等分，请帮她设计一个合理的等分方案，要求尺规作图，保留作图痕迹．

21. 如图，一次函数 y=2x+3 的图象与反比例函数 y=kxx>0 的图象相交于点 Am,5．
（1）求 m，k 的值；
（2）若一次函数图象上有一点 B 的横坐标为 −78，过点 B 作 BC∥x 轴交反比例函数 y=kxx>0 图象于点 C，点 D 在 x 轴上，且 ∠BCD=∠BCA，求点 D 的坐标．

22. 如图，已知梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90∘，CD=15，BC=16，AB=12，点 E 是边 BC 上的一点，连接 DE，且 DE=CE．
（1）求梯形 ABCD 的面积；
（2）求 ∠DEC 的正切值．

23. 已知点 2,3 在抛物线 y=−x2+m+1x−m 上．
（1）求 m 的值；
（2）求出抛物线的顶点坐标及对称轴．

24. 在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，∠ACB=30∘．将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转一个角度 α 得到 △DEC，点 A，B 的对应点分别为 D，E．
（1）若点 E 恰好落在边 AC 上，如图 1，求 ∠ADE 的大小．
（2）若 α=60∘，F 为 AC 的中点，如图 2，求证：四边形 BEDF 是平行四边形．

25. 如图，平面直角坐标系中，直线 AB：y=−43x+4 与坐标轴分别交于 A，B 两点．
（1）直接写出 A，B 的坐标：A ，B ．
（2）在 x 轴上是否存在点 P 使得 △ABP 是等腰三角形?若存在，请直接写出点 P 的坐标．若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. A
2. C
3. C
4. B【解析】因为抛物线 y=x2−1 可以向上平移两次得到 y=x2+1，所以 A可能．
因为抛物线 y=x2+4x+4=x+22 可以先向右平移一次再向上平移一次得到 y=x2+1，所以C可能．
因为抛物线 y=x2+8x+17=x+42+1 可以向右平移两次得到 y=x2+1，所以D可能．
因为抛物线 y=x2+6x+5=x+32−4，所以经过任意两次简单变换都不能得到 y=x2+1．
5. B
6. C【解析】连接 OA，
∵OD⊥AB，如图，
∴AD=BD，OD=3 cm，
在 Rt△AOD 中，OA=5 cm，OD=3 cm，
∴AD=OA2−OD2=4 cm，
∴AB=2AD=8 cm．
7. B
8. B
第二部分
9. 一、三
10. −1，−1，−1，1
11. 12
12. 43
13. 90
14. y=1x
15. x<−3 或 x>1
【解析】∵ 抛物线 y=ax2+c 与直线 y=mx+n 交于 A−1,p ， B3,q 两点，
∴−m+n=p ， 3m+n=q ，
∴ 抛物线 y=ax2+c 与直线 y=−mx+n 交于 P1,p ， Q−3,q 两点，
观察函数图象可知：当 x<−3 或 x>1 时，直线 y=−mx+n 在抛物线 y=ax2+bx+c 的下方，
∴ 不等式 ax2+mx+c>n 的解集为 x<−3 或 x>1 ．
16. 258
【解析】∵∠APD=∠B，∠APD+∠APB+∠DPC=180∘，∠B+∠APB+∠PAB=180∘，
∴∠DPC=∠PAB，
∵∠B=∠C，
∴△DPC∽△PAB，
∴CDPB=CPAB，
设 CP=x，则 BP=5−x，
∴25−x=xm，
整理得 x2−5x+2m=0，
∵P 点只有一个，
∴Δ=25−8m=0，
解得 m=258．
第三部分
17. 原式=22+1−2×22=22+1−2=2+1.
18. （1） 当 a=−1 时，有 y=−x2−2x．
令 y=0，得：−x2−2x=0．
解得 x1=0，x2=−2．
∵ 点 A 在点 B 的左侧，
∴A−2,0，B0,0．
（2） 当 a=2 时，有 y=2x2−2x．
令 y=0，得 2x2−2x=0．
解得 x1=0，x2=1．
∵ 点 A 在点 B 的左侧，
∴A0,0，B1,0．
∴PB=2．
当 x=3 时，yC=2×9−2×3=12．
∴PC=12．
∴PB+PC=14．
19. 100+1003 米．
20. 如图即为所求.
【解析】作 AB 的垂直平分线 CD 交 AB 于点 O；
分别以 A 、 B 为圆心，以 AO 或 的长为半径画弧，分别交半圆于点 M 、 N；
连接 OM 、 ON 即可．
21. （1） 把点 Am,5 代入 y=2x+3 中得，
5=2m+3，
∴m=1，
∴点A1,5，
把点 A1,5 代入 y=kx 得，k=5．
（2） 由 1 得反比例函数的解析式为 y=5x，
∵ 一次函数图象上有一点 B 的横坐标为 −78，
∴B−78,54，
∵BC∥x 轴，且交反比例函数 y=kxx>0 图象于点 C，
∴C4,54，
过 A 作 AH⊥BC 于 H，过 C 作 CG⊥x 轴于 G，
∴∠AHC=∠CGD=90∘，
∵∠BCD=∠BCA，∠BCD=∠CDG，
∴∠ACH=∠CDG，
∴△ACH∽△CDG，
∴AHCG=CHDG，
∴15454=3DG，
∴DG=1，
∴OD=3，
∴ 点 D 的坐标为 3,0．
22. （1） 过 D 作 DF⊥BC 于 F，
∵ 梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90∘，CD=15，BC=16，AB=12，
∴DF=AB=12，
∴CF=DC2−DF2=152−122=9，
∴AD=BF=BC−CF=16−9=7，
∴ 梯形 ABCD 的面积 =AD+BC2⋅DF=7+162×12=138；
（2） ∵DE=CE，
∴EF=DE−9，
∵DE2=DF2+EF2，
∴DE2=144+DE−92，
∴DE=252，
∴EF=72，
∴tan∠DEC=DFEF=247．
23. （1） 将点 2,3 代入 y=−x2+m+1x−m，
得 3=−22+2m+1−m，
解得 m=5．
（2） 由（1）得，抛物线的表达式为 y=−x2+6x−5，
∴ 抛物线对称轴为直线 x=−62×−1=3，当 x=3 时，y=−32+3×6−5=4．
∴ 抛物线的顶点坐标是 3,4．
24. （1）
在 △ABC 中，∠ABC=90∘，∠ACB=30∘，
∴∠BAC=60∘．
由旋转性质得，DC=AC，∠DCE=∠ACB=30∘，
∴∠DAC=∠ADC=12180∘−∠DCE=75∘，
又 ∠EDC=∠BAC=60∘，
∴∠ADE=∠ADC−∠EDC=15∘．
（2） 在 △ABC 中，∠ABC=90∘，∠ACB=30∘，
∴AB=12AC，
∵F 是 AC 的中点，
∴BF=FC=12AC，
∴∠FBC=∠ACB=30∘．
由旋转性质得，
AB=DE，∠DEC=∠ABC=90∘，∠BCE=∠ACD=60∘，
∴DE=BF，
延长 BF 交 EC 于点 G，
则 ∠BGE=∠GBC+∠GCB=90∘，
∴∠BGE=∠DEC，
∴DE∥BF，
∴ 四边形 BEDF 是平行四边形．
25. （1） 3,0；0,4
【解析】直线 AB：y=−43x+4 与坐标轴分别交于 A，B 两点，
令 x=0，y=4，令 y=0，x=3，
∴A3,0，B0,4．
（2） 存在．
∵P 是 x 轴上一动点，A3,0，B0,4，
∴ 设点 Px,0，
则：AB=5，AP=3−x2，BP=x2+16，
当 AB=AP 时，5=3−x2，
解得：x=−2 或 8．
∴P1−2,0，P28,0．
当 AB=BP 时，5=x2+16，
整理得：x2=9，
解得：x=±3，
∴P33,0，P4−3,0．
当 AP=BP 时，
3−x2=x2+16，无解．
综上所述：
∴P1−2,0，P28,0，P33,0，P4−3,0．