2021年北京房山区北京四中房山校区九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京房山区北京四中房山校区九年级上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 一元二次方程 4x2+1=4x 的根的情况是
A. 有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根

2. 图中阴影部分是由 4 个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在
A. 区域①处B. 区域②处C. 区域③处D. 区域④处

3. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是( )
A. 抛一枚硬币，出现正面朝上
B. 掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上
C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D. 从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球

4. 已知二次函数的图象 0≤x≤3 如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是
A. 有最小值 0，有最大值 3B. 有最小值 −1，有最大值 0
C. 有最小值 −1，有最大值 3D. 有最小值 −1，无最大值

5. 将抛物线 y=x2+2x−3 的图象先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到的抛物线的解析式是
A. y=x−12−1B. y=x+32−1
C. y=x−12−7D. y=x+32−7

6. 若反比例函数 y=m−3x 的图象在第一、第三象限，则 m 的值可以是
A. 4B. 3C. 0D. −3

7. 在下列条件中，能判定 △ABC 与 △DEF 相似的有 个
（1）∠C=∠F=90∘，∠A=55∘，∠D=35∘
（2）∠C=∠F=90∘，AB=10，BC=6，DE=15，EF=9
（3）∠C=∠F=90∘，BCEF=ACDF
（4）∠C=∠F=90∘，ABEF=DFAC
A. 1B. 2C. 3D. 4

8. 圆锥的底面面积为 16π cm2，母线长为 6 cm，则这个圆锥的侧面积为
A. 24 cm2B. 24π cm2C. 48 cm2D. 48π cm2

9. 如图，PA，PB，分别切 ⊙O 于 A，B 两点，∠P=40∘，则 ∠C 的度数为
A. 40∘B. 140∘C. 70∘D. 80∘

10. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为 x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 y=−x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是
A. 4 米B. 3 米C. 2 米D. 1 米

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

12. 若反比例函数 y=2a−1x 的图象有一支位于第一象限，则常数 a 的取值范围是 ．

13. 二次函数 y=x2+2x−4 的图象的顶点坐标是 ．

14. 如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框 AB 在地面上的影长 DE=1.8 m，窗户下檐距地面的距离 BC=1 m，EC=1.2 m，则窗户的高 AB= m．

15. 如图，阴影部分面积是大正方形面积的 25%，是圆面积的 23，则圆面积是大正方形面积的 %．

16. 如图，在平面直角坐标系中，对 △ABC 进行循环往复的轴对称变换，若原来点 A 的坐标是 2,3，则经过第 2020 次变换后所得的 A 点坐标是 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 用配方法解方程 x2+4x+3=0．

18. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，ED⊥AB，BC=6，AC=8，DE=3，求 AE 的长．

19. 如图，已知在以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于点 C，D．求证：AC=BD．

20. 已知一个长方形的长是一个正方形边长的 2 倍，宽比正方形的边长少 2 厘米，面积比正方形的面积大 96 平方厘米，求这个正方形的边长及长方形的长和宽．

21. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的三个顶点分别是 A−3,2，B0,4，C0,2，
（1）画出 △ABC 关于点 C 成中心对称的 △A1B1C；
（2）平移 △ABC：若点 A 的对应点 A2 的坐标为 0,−4，画出平移后对应的 △A2B2C2；
（3）△A1B1C 和 △A2B2C2 关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ．

22. 已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点 1,−4，0,−3．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求抛物线与 x 轴的交点坐标．

23. 如图，已知一次函数 y1=k1x+bk1≠0 与反比例函数 y2=k2xk2≠0 的图象交于 A4,1，Bn,−2 两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）请根据图象直接写出 y1
24. 圆周率 π 是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对 π 有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出 π 的小数部分超过 31.4 万亿位．有学者发现，随着 π 小数部分位数的增加，0∼9 这 10 个数字出现的频率趋于稳定接近相同．
（1）从 π 的小数部分随机取出一个数字，估计数字是 6 的概率为 ；
（2）某校进行校园文化建设，拟从以上 4 位科学家的画像中随机选用 2 幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解）

25. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，过 A 作直线 AE，∠B=∠EAC．
（1）如图①，AB 为 ⊙O 的直径．求证：E 是 ⊙O 的切线．
（2）如图②，AB 不是 ⊙O 的直径．求证：AE 是 ⊙O 的切线．

26. 现规定一种新的运算“ ⋇ ”：a⋇b=ab，如 3⋇2=32=9，计算：
（1）12⋇3；
（2）−3.5÷−78×−34⋇−2+4．

27. 已知二次函数 y=ax2+2ax+a−1a>0．
（1）求证：抛物线与 x 轴有两个交点；
（2）求该抛物线的顶点坐标；
（3）结合函数图象回答：当 x≥1 时，其对应的函数值 y 的最小值范围是 2≤y≤6，求 a 的取值范围．

28. 已知：点 O 为 △ABC 的边 AC 的中点，点 P 为射线 OA 上的一个动点（点 P 不与点 A 重合），分别过点 A，C 向直线 BP 作垂线，垂足分别为 E，F．
（1）当点 P 与点 O 重合时，如图 1，求证：OE=OF．
（2）直线 BP 绕点 B 逆时针方向旋转，当 ∠OFE=30∘ 时．
①当点 P 在线段 OA 上，如图 2，猜想线段 CF，AE，OE 之间有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并给予证明．
②当点 P 在线段 OA 的延长线上，如图 3，线段 CF，AE，OE 之间又有怎样的数量关系，请写出你的结论，并说明理由．（温馨提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

29. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数的图象与 x 轴、 y 轴分别交于点 A，B，则 △OAB 为此函数的坐标三角形．
（1）求函数 y=−34x+3 的坐标三角形的三条边长；
（2）若函数 y=−34x+b（b 为常数）的坐标三角形周长为 16，求此三角形面积．
答案
第一部分
1. B
2. B【解析】增加一个正方形，使得图形为中心对称图形，可得区域②满足题意．
故选B．
3. D【解析】【分析】利用折线统计图可得出试验的频率在0.33左右，进而得出答案．
【解析】解：A、抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合这一结果，故此选项错误；
B、掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上为16，不符合这一结果，故此选项错误；
C、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为：0.25，不符合这一结果，故此选项错误；
D、从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为：13，符合这一结果，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，正确求出各试验的概率是解题关键．
4. C
5. B
【解析】函数化为一般式为 y=x+12−4，
y=x2+2x−3 的图象先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得 y=x+32−1．
6. A【解析】因为反比例函数 y=m−3x 的图象在第一、第三象限，
所以 m−3>0，解得 m>3．
7. C
8. B
9. C【解析】
因为 PA 是圆的切线，
所以 ∠OAP=90∘，
同理 ∠OBP=90∘，
根据四边形内角和定理可得：∠AOB=360∘−∠OAP−∠OBP−∠P=360∘−90∘−90∘−40∘=140∘，
所以 ∠ACB=12∠AOB=70∘．
10. A
第二部分
11. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
12. a>12
13. −1,−5
14. 1.5
15. 37.5
16. 2,3
【解析】点 A 第一次关于 x 轴对称后在第四象限，
点 A 第二次关于 y 轴对称后在第三象限，
点 A 第三次关于 x 轴对称后在第二象限，
点 A 第四次关于 y 轴对称后在第一象限，即点 A 回到原始位置，
∴，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2020÷4=505，
∴ 经过第 2020 次变换后所得的 A 点与第四次变换的位置相同，在第一象限，坐标为 2,3．
第三部分
17.
x2+4x=−3,x2+4x+22=−3+22,x+22=1,x+2=±1,x=−2±1,所以x1=−1,x2=−3.
18. ∵Rt△ABC 中，BC=6，AC=8，
∴AB=10，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=∠C=90∘，
又 ∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴ABAE=BCDE，
∴AE=5．
19. 如答图，
过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，
则 CE=DE，AE=BE，
∴AE−CE=BE−DE，
即 AC=BD．
20. 正方形的边长为 12 厘米；长方形的长和宽分别为 24 厘米、 10 厘米．
21. （1） 如图所示，△A1B1C 即为所求．
（2） 如图所示，△A2B2C2 即为所求．
（3） 32,−1
【解析】如图所示，点 P 即为对称中心，其坐标为 32,−1．
22. （1） ∵ 抛物线 y=x2+bx+c 经过点 1,−4，0,−3，
∴1+b+c=−4,c=−3, 解得 b=−2,c=−3.
∴y=x2−2x−3．
（2） 令 y=0，
∴x2−2x−3=0．
解得：x1=−1，x2=3．
∴ 抛物线与 x 轴的交点坐标是 −1,0，3,0．
23. （1） 将 A4,1 代入 y2=k2xk2≠0，得 k2=4，
∴ 反比例函数的解析式为 y2=4x．
将 Bn,−2 代入 y2=4x，得 n=−2，
∴ 点 B 的坐标为 −2,−2．
将 A4,1，B−2,−2 代入 y1=k1x+bk1≠0，
得 4k1+b=1,−2k1+b=−2, 解得 k1=12,b=−1,
∴ 一次函数的解析式为 y1=12x−1．
（2） 根据两函数图象可以看出：y124. （1） 110
【解析】因为随着 π 小数部分位数的增加，0∼9 这 10 个数字出现的频率趋于稳定，
所以从 π 的小数部分随机取出一个数字共有 10 种等可能结果，其中出现数字 6 的只有 1 种结果，
所以从 π 的小数部分随机取出一个数字，估计是数字 6 的概率为 110．
（2） 将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表如下：
甲乙丙丁甲一乙,甲丙,甲丁,甲乙甲,乙一丙,乙丁,乙丙甲,丙乙,丙一丁,丙丁甲,丁乙,丁丙,丁一
因为共有 12 种等可能的情况，其中有一幅是祖冲之的有 6 种结果，
所以其中有一幅是祖冲之的概率为 612=12．
25. （1） ∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠C=90∘，
∵∠B+∠BAC=90∘，
∴∠B=∠EAC．
∴∠EAC+∠BAC=90∘，即 ∠BAE=90∘．
∴AE 为 ⊙O 的切线．
（2） 连接 AO，并延长 AO 交 ⊙O 于 Bʹ，
连接 CBʹ，
∵AC=AC，
∴∠Bʹ=∠B，
∵ABʹ 为 ⊙O 的直径，
∴∠ACBʹ=90∘，
∴∠Bʹ+∠CABʹ=90∘，
又 ∵∠Bʹ=∠B，∠B=∠EAC，
∴∠Bʹ=∠EAC，
∴∠EAC+∠CABʹ=90∘．
即 ∠EABʹ=90∘．
∴AE⊥ABʹ，
∴AE 是 ⊙O 的切线．
26. （1） 12⋇3=123=18.
（2） −3.5÷−78×−34⋇−2+4=−72×−87×−342=−32=9.
27. （1） 令 y=0，
∴ax2+2ax+a−1=0，
∵Δ=4a2−4aa−1=4a，a>0，
∴4a>0，
∴Δ>0，
∴ 抛物线与 x 轴有两个交点．
（2） x=−2a2a=−1，
把 x=−1 代入 y=ax2+2ax+a−1，得 y=−1，
∴ 顶点坐标 −1,−1．
（3） 由（2）可知，抛物线对称为 x=−1，当 x≥1 时，y 随着 x 的增大而增大，
①把 1,2 代入 y=ax2+2ax+a−1，
∴a=34，
②把 1,6 代入 y=ax2+2ax+a−1，
得 a=74，
∴ 由图象可知：34≤a≤74．
28. （1） ∵AE⊥PB，CF⊥BP，
∴∠AEO=CFO=90∘，
在 △AEO 和 △CFO 中，
∠AEO=∠CFO,∠AOE=∠COF,AO=OC,
∴∠AOE≌△COFAAS，
∴OE=OF．
（2） ①延长 EO 交 CF 于点 G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO=∠GCO，
在 △EOA 和 △GOC 中，
∠EAO=∠GCO,AO=OC,∠AOE=∠COG,
∴△EOA≌△GOCASA，
∴EO=GO，
AE=CG，
在 Rt△EFG 中，
∵EO=OG，
∴OE=OF=GO，
∵∠OFE=30∘，
∴∠OFG=90∘−30∘=60∘，
∴△OFG 是等边三角形，
∴OF=GF，
∵OE=OF，
∴OE=FG，
∵CF=FG+CG，
∴CF=OE+AE．
②延长 EO 交 FC 的延长线于点 G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠AEO=∠G，
∴ 在 △AOE 和 △COG 中，
∠AEO=∠G,∠AOE=∠GOC,AO=OC,
∴△AOE≌△COGAAS，
∴OE=OG，AE=CG，
在 Rt△EFG 中，
∵OE=OG，
∴OE=OF=OG，
∵∠OFE=30∘，
∴∠OFG=90∘−30∘=60∘，
∴△OFG 是等边三角形，
∴OF=FG，
∵OE=OF，
∴OE=FG，
∵CF=FG−CG，
∴CF=OE−AE．
29. （1） ∵ 直线 y=−34x+3 与 x 轴的交点坐标为 4,0，与 y 轴交点坐标为 0,3，
∴ 函数 y=−34x+3 的坐标三角形的三条边长分别为 3，4，5．
（2） 直线 y=−34x+b 与 x 轴的交点坐标为 43b,0，与 y 轴交点坐标为 0,b，
当 b>0 时，b+43b+53b=16，得 b=4，此时，坐标三角形面积为 323；
当 b<0 时，−b−43b−53b=16，得 b=−4，此时，坐标三角形面积为 323．
综上，当函数 y=−34x+b 的坐标三角形周长为 16 时，面积为 323．