2021年北京延庆区测试九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京延庆区测试九年级上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 若点 2,5，4,5 是抛物线 y=ax2+bx+c 上的两个点，那么这条抛物线的对称轴是
A. 直线 x=1B. 直线 x=2C. 直线 x=3D. 直线 x=4

2. 若一个扇形的半径是 18 cm，且它的弧长是 12π cm，则此扇形的圆心角等于
A. 30∘B. 60∘C. 90∘D. 120∘

3. 如果一种变换是将抛物线向右平移 2 个单位或向上平移 1 个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是 y=x2+1，则原抛物线的解析式不可能是
A. y=x2−1B. y=x2+6x+5C. y=x2+4x+4D. y=x2+8x+17

4. 如图，以点 O 为位似中心，将 △ABC 缩小后得到 △AʹBʹCʹ，已知 BBʹ=2OBʹ，则 △AʹBʹCʹ 与 △ABC 的面积之比为
A. 1:3B. 1:4C. 1:5D. 1:9

5. 如图，一个三角尺 ABC 的斜边 AB 与量角器的直径恰好重合，点 D 对应的刻度是 46∘，则 ∠ACD 的度数为
A. 46∘B. 23∘C. 44∘D. 67∘

6. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 图象上部分点的坐标 x,y 对应值如下表所示，则该函数图象的对称轴是
x⋯−3−2−101⋯y⋯−3−2−3−6−11⋯
A. 直线 x=−3B. y 轴C. 直线 x=−1D. 直线 x=−2

7. 某种植基地 2016 年蔬菜产量为 80 吨，预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为 x，则可列方程为
A. 801+x2=100B. 1001−x2=80
C. 801+2x=100D. 801+x2=100

8. 如图是二次函数 y=−x2+2x+4 的图象，使 y≤1 成立的 x 的取值范围是
A. −1≤x≤3B. x≤−1
C. x≥1D. x≤−1 或 x≥3

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 边长为 4 的正六边形内接于 ⊙M，则 ⊙M 的半径是 ．

10. 如图 y=ax2+bx+ca≠0 的图象与 x 轴交于 A 、 B，与 y 轴交于 C，B−1,0，下面四个结论：① OA=3 ② a+b+c<0 ③ ac>0 ④ b2−4ac>0 其中正确的结论是 ．

11. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=6，sinA=12，则 BC= ．

12. 已知函数 y=−2x2+x−4，当 x< 时，y 随 x 的增大而增大；当 x> 时，y 随 x 的增大而减小；当 x= 时，y 最大值为 ．

13. 如图，在 ⊙O 中，弦 AB=8 cm，OC⊥AB，垂足为 C，OC=3 cm，则 ⊙O 的半径为 cm．

14. 如图，已知 PA，PB 分别切 ⊙O 于点 A，B，PA=3，那么 PB= ．

15. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠A=70∘，DC=DB，则 ∠CDB= ∘．

16. 已知一次函数的图象经过点 −12,−14，且与 x 轴的交点到原点的距离为 1，则该一次函数的解析式为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：3tan30∘+cs230∘−2sin60∘．

18. 关于 x 的一元二次方程 x2−2m+1x+m2=0 有两个实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）写出一个满足条件的 m 的值，并求此时方程的根．

19. 已知 △ABC 内接于 ⊙O，过点 A 作直线 EF．
（1）如图①，AB 为直径，∠CAE=∠B．求证：EF 是 ⊙O 的切线；
（2）如图②，AB 是非直径的弦，∠CAE=∠B．求证：EF 是 ⊙O 的切线；
（3）如图③，AB 是非直径的弦，∠CAE=∠B，EF 还是 ⊙O 的切线吗?请直接给出答案．

20. 已知二次函数 y=x+mx−1 的图象经过点 2,−3．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数图象，并利用图象解决下列问题：
①直接写出方程 x+mx−1=−3 的解；
②当 x 满足什么条件时，y>0?

21. 如图，在 ⊙O 中，AB 为 ⊙O 的直径，C 为 ⊙O 上一点，P 是 BC 的中点，过点 P 作 AC 的垂线，交 AC 的延长线于点 D．
（1）求证：DP 是 ⊙O 的切线；
（2）若 AC=5，sin∠APC=513，求 AP 的长．

22. 创客联盟的队员想用 3D 打印完成一幅边长为 4 米的正方形作品 ABCD，设计图案如图所示（四周阴影是四个全等的矩形，用材料甲打印；中心区是正方形 AʹBʹCʹDʹ，用材料乙打印）．在打印厚度保持相同的情况下，两种材料的消耗成本如下表
材料甲乙价格元/米26030
设矩形的较短边 AH 的长为 x 米，打印材料的总费用为 y 元．
（1）AʹDʹ 的长为 米（用含 x 的代数式表示）；
（2）求 y 关于 x 的函数解析式；
（3）当中心区的边长不小于 3 时，预备材料的购买资金 700 元够用吗?请利用函数的增减性来说明理由．

23. 已知关于 x 的二次函数 y=x2−2tx+2．
（1）求该抛物线的对称轴（用含 t 的式子表示）．
（2）若点 Mt−3,m，Nt+5,n 在抛物线上，则 m n．（用“<”，“=”，或“>”填空）
（3）Px1,y1，Qx2,y2 是抛物线上的任意两个点，若对于 −1≤x1≤3 且 x2=3，都有 y1≤y2，求 t 的取值范围．

24. 如图，在平面直角坐标系中，BO=5，sin∠AOB=35，A10,0．
（1）求点 B 的坐标；
（2）求 AB 的长．

25. 如图，△ABC 为等边三角形，P 是等边 △ABC 内一点，△ABP 经过逆时针旋转后到达 △ACQ 的位置，则：
（1）旋转中心是 ；
（2）旋转角的度数是 ；
（3）△APQ 是 三角形．
答案
第一部分
1. C
2. D
3. B【解析】因为抛物线 y=x2−1 可以向上平移两次得到 y=x2+1，所以 A可能．
因为抛物线 y=x2+4x+4=x+22 可以先向右平移一次再向上平移一次得到 y=x2+1，所以C可能．
因为抛物线 y=x2+8x+17=x+42+1 可以向右平移两次得到 y=x2+1，所以D可能．
因为抛物线 y=x2+6x+5=x+32−4，所以经过任意两次简单变换都不能得到 y=x2+1．
4. D
5. D
【解析】如图，连接 OD，
∵ 三角尺 ABC 的斜边 AB 与量角器的直径恰好重合，
∴A，B，C，D 四点共圆，
∵ 点 D 对应的刻度是 46∘，
∴∠BOD=46∘，
∴∠BCD=12∠BOD=23∘，
∴∠ACD=90∘−∠BCD=67∘．
6. D【解析】由表格中的数据可得，该函数图象的对称轴为直线 x=−3+−12=−2．
7. A
8. D【解析】由图可知，x≤−1 或 x≥3 时，y≤1
第二部分
9. 4
【解析】正六边形的中心角为 360∘÷6=60∘，
那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，
∴ 边长为 4 的正六边形外接圆半径是 4．
故答案为 4．
10. ①④
11. 3
12. 14，14，14，−318
13. 5
14. 3
15. 40
【解析】在平行四边形 ABCD 中，∠A=∠C=70∘，
∵DC=DB，
∴∠DBC=∠C=70∘，
∴∠CDB=180∘−∠DBC−∠C=180∘−70∘−70∘=40∘.
16. y=16x−16 或 y=−12x−12
【解析】由题意可知一次函数的图象与 x 轴的交点坐标为 1,0 或 −1,0．
设一次函数的解析式为 y=kx+b（k≠0），
当一次函数图象过点 −12,−14，1,0 时，
由 −14=−12k+b,0=k+b, 解得 k=16,b=−16,
此时一次函数的解析式为 y=16x−16；
当一次函数图象过点 −12,−14，−1,0 时，
由 −14=−12k+b,0=−k+b, 解得 k=−12,b=−12,
此时一次函数的解析式为 y=−12x−12．
综上所述，该一次函数的解析式为 y=16x−16 或 y=−12x−12．
第三部分
17. 原式=3×33+322−2×32=3+34−3=34.
18. （1） 依题意，得 Δ=−2m+12−4×1×m2=4m+1≥0，
解得 m≥−14．
（2） 答案不唯一，如：m=0，
此时方程为 x2−x=0，
解得 x1=0，x2=1．
19. （1） ∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠C=90∘，
∴∠B+∠CAB=90∘．
又 ∠CAE=∠B，
∴∠CAE+∠CAB=90∘，
即 ∠EAB=90∘，
∴AB⊥EF，
∴EF 是 ⊙O 的切线
（2） 如图，连接 AO 并延长，交 ⊙O 于点 D，连接 CD，
则 AD 为 ⊙O 的直径．
∴∠ACD=90∘，
∴∠D+∠CAD=90∘．
∵∠D=∠B，∠CAE=∠B，
∴∠CAE=∠D，
∴∠CAE+∠CAD=90∘，
即 ∠EAD=90∘，
∴AD⊥EF，
∴EF 是 ⊙O 的切线．
（3） EF 是 ⊙O 的切线．
20. （1） 将点 2,−3 代入 y=x+mx−1，
得 2+m2−1=−3．解得 m=−5．
∴ 这个二次函数的解析式为 y=x−5x−1=x2−6x+5．
（2） 由二次函数解析式可得函数图象与 x 轴的交点为 1,0，5,0，
对称轴为直线 x=3．
∴ 点 2,−3 关于对称轴对称的点为 4,−3，二次函数图象与 y 轴的交点为 0,5．
描点、连线画函数图象如图所示．
①方程 x+mx−1=−3 的解为 x=2 或 x=4．
②由图象可知，当 x<1 或 x>5 时，y>0．
21. （1） ∵P 是 BC 的中点，
∴PC=PB．
∴∠PAD=∠PAB，
∵OA=OP．
∴∠APO=∠PAO．
∴∠DAP=∠APO．
∴AD∥OP，
∵PD⊥AD，
∴PD⊥OP．
∴DP 是 ⊙O 的切线．
（2） 连接 BC 交 OP 于点 E，
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘．
∵P 是 BC 的中点，
∴OP⊥BC，CE=BE．
∴ 四边形 CDPE 是矩形．
∴CD=PE，PD=CE．
∵∠APC=∠B，
∴sin∠APC=sin∠ABC=ACAB=513．
∵AC=5，
∴AB=13．
∴BC=12．
∴PD=CE=BE=6．
∵OE=12AC=52，OP=132，
∴CD=PE=132−52=4．
∴AD=9．
∴AP=AD2+PD2=92+62=313．
22. （1） 4−2x
【解析】∵AH=GDʹ=x，AD=4，
∴AʹDʹ=4−2x，
故答案为：4−2x．
（2） y 关于 x 的函数解析式为：y=60×4×x⋅4−x+30×4−2x2=−120x2+480x+480．
（3） ∵ 当中心区的边长不小于 3 米时，
∴4−2x≥3，
解得：x≤0.5，
∵y=−120x2+480x+480，a=−120<0，−b2a=2，
∴ 当 x≤0.5 时，y 随 x 增大而增大，
∴ 当 x=12 时，y=690<700，
∴ 当中心区的边长不小于 3 米时，预备材料的购买资金 700 元够用．
23. （1） ∵ y=x2−2tx+2=x−t2+2−t2，
∴ 该抛物线的对称轴为直线 x=t．
（2） <
【解析】∵ 抛物线开口向上，
∴ 抛物线图象上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，
∴ Mt−3,m，Nt+5,n 在抛物线上，
∴ M 点到对称轴的距离为 3，N 点到对称轴的距离为 5，
∴ m （3） 当 t≤1 时，此时 −1≤x1<3，x2=3 都有 y1≤y2，符合题意；
当 t>1 时，令 x1=−1 时，y1>y2，不符合题意．
综上所述：t≤1．
24. （1） 过点 B 作 BC⊥OA 于 C，
在 Rt△BCO 中，
sin∠AOB=BCOB=BC5=35，
∴BC=3，
又 ∵OB2=BC2+OC2，
∴OC=OB2−BC2=52−32=4，
∴B 点坐标为 4,3．
（2） ∵A10,0，
∴OA=10，
又 ∵OC=4，
∴AC=10−4=6，
又 ∵BC=3，
∴AB=BC2+AC2=32+62=35．
25. （1） A
（2） 60∘
（3） 等边