2021年北京石景山区培训考核九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京石景山区培训考核九年级上期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如图所示是某几何体的三视图，则这个几何体是
A. 三棱锥B. 圆柱C. 球D. 圆锥

2. 如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“祝”字所在的面相对的面上标的字是
A. 考B. 试C. 顺D. 利

3. 如果点 M−2,y1，N−1,y2 在抛物线 y=−x2+2x 上，那么下列结论正确的是
A. y1y2C. y1≤y2D. y1≥y2

4. 如图，AB 是 ⊙O 的切线，B 为切点，AO 的延长线交 ⊙O 于 C 点，连接 BC，若 ∠A=30∘，AB=23，则 AC 等于
A. 4B. 6C. 43D. 63

5. 在一个边长为 2 的正方形中挖去一个边长为 x0A. y=x2B. y=4−x2C. y=x2−4D. y=4−2x

6. 如图，在 ⊙O 中，半径 OC⊥AB 于点 D，AD=4，则下列说法正确的是
A. OC=4B. AB=8
C. OD=3D. AB 垂直平分 OC

7. 已知在 Rt△ABC 中， ∠C=90∘ ， sinA=35 ，则 tanB 的值为
A. 43B. 45C. 54D. 34

8. 某地需要开辟一条隧道，隧道 AB 的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点 C，使 C 到 A，B 两点均可直接到达，测量找到 AC 和 BC 的中点 D，E，测得 DE 的长为 1100 m，则隧道 AB 的长度为
A. 3300 mB. 2200 mC. 1100 mD. 550 m

9. 若扇形的圆心角为 90∘ ，半径为 6 ，则该扇形的弧长为
A. 32πB. 2πC. 3πD. 6π

10. 如图，AD,BC 是 ⊙O 的两条互相垂直的直径，点 P 从点 O 出发，沿 O→C→D→O 的路线匀速运动，设 ∠APB=y （单位：度 ），点 P 运动的时间为 x （单位：秒 ），那么表示 y 与 x 关系的图象是
A. B.
C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

12. 小明四等分 AB，他的作法如下：
（1）连接 AB（如图）；
（2）作 AB 的垂直平分线 CD 交 AB 于点 M，交 AB 于点 T；
（3）分别作 AT，TB 的垂直平分线 EF，GH，交 AB 于 N，P 两点，则 N，M，P 三点把 AB 四等分．
你认为小明的作法是否正确： ，理由是 ．

13. 抛物线 y=−x+22−3 的对称轴为直线 ．

14. 已知二次函数 y=−x2+2x−3，用配方法化为 y=ax−h2+k 的形式为 ．

15. 一般地，当 α 为锐角时 sin180∘+α=−sinα，如 sin210∘=sin180∘+30∘=−sin30∘=−12，由此可知：sin240∘ 的值为 ．

16. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 BC=2 cm，∠ABC=60∘．若动点 P 以 2 cm/s 的速度从 B 点出发沿着 B→A 的方向运动，点 Q 以 1 cm/s 的速度从 A 点出发沿着 A→C 的方向运动，当点 P 到达点 A 时，点 Q 也随之停止运动．设运动时间为 ts，当 △APQ 是直角三角形时，t 的值为 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过 2,−1 和 4,3 两点，求二次函数 y=x2+bx+c 的表达式．

18. 如果三角形有一个边上的中线长恰好等于这个边的长，那么称这个三角形是“有趣三角形”，这条中线为“有趣中线”．如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，较短的一条直角边 BC=1，且 △ABC 是“有趣三角形”，求 △ABC 的“有趣中线”的长．

19. 一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长 AB=50 cm，拉杆最大伸长距离 BC=30 cm，点 A 到地面的距离 AD=8 cm，旅行箱与水平面 AE 成 60∘ 角，求拉杆把手处 C 到地面的距离（精确到 1 cm）．（参考数据：3≈1.73）

20. 根据下列要求，解答相关问题．
请补全以下求不等式 −2x2−4x>0 的解集的过程．
①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数 y=−2x2−4x；并在下面的坐标系中（图 1）画出二次函数 y=−2x2−4x 的图象（只画出图象即可）．
②求得界点，标示所需，当 y=0 时，求得方程 −2x2−4x=0 的解为 ；并用锯齿线标示出函数 y=−2x2−4x 图象中 y>0 的部分．
③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式 −2x2−4x>0 的解集为 −2
21. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D．
（1）动手操作：利用尺规作 ⊙O，使 ⊙O 经过点 A，D，且圆心 O 在 AB 上；并标出 ⊙O 与 AB 的另一个交点 E，与 AC 的另一个交点 F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）综合应用：在你所作的图中．
①判断直线 BC 与 ⊙O 的位置关系，并说明理由；
②如果 ∠BAC=60∘，CD=3，求线段 BD，BE 与劣弧 DE 所围成的图形面积（结果保留根号和 π）．

22. 定义：P，Q 分别是两条线段 a 和 b 上任意一点，线段 PQ 的长度的最小值叫做线段 a 与线段 b 的距离．已知 O0,0，A4,0，Bm,n，Cm+4,n 是平面直角坐标系中四点．
（1）根据上述定义，当 m=2，n=2 时，如图 1，线段 BC 与线段 OA 的距离是 ；当 m=5，n=2 时，如图 2，线段 BC 与线段 OA 的距离为 ；
（2）如图 3，若点 B 落在圆心为 A，半径为 2 的圆上，线段 BC 与线段 OA 的距离记为 d，求 d 关于 m 的函数解析式．
（3）当 m 的值变化时，动线段 BC 与线段 OA 的距离始终为 2，线段 BC 的中点为 M．
①求出点 M 随线段 BC 运动所围成的封闭图形的周长；
②点 D 的坐标为 0,2，m≥0，n≥0，作 MH⊥x 轴，垂足为 H，是否存在 m 的值使以 A，M，H 为顶点的三角形与 △AOD 相似?若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由．

23. 如图，∠A=50∘，∠B=80∘，∠D=50∘，∠E=80∘．求证：△ABC∽△DEF．

24. 已知：在 ⊙O 中，BC 是直径，点 C 和点 D 是 ⊙O 上的点，且 ∠ABC=30∘，∠DBC=45∘，请补全图形，并求出 ∠AOD 的度数．

25. 如图，以平行四边形 ABCD 的顶点 A 为圆心，AB 长为半径作 ⊙A，分别交 BC，AD 于点 E，F，交 BA 的延长线于点 G．
（1）求证：EF=GF；
（2）连接 EG，若 EG 所对的圆心角为 140∘，求 ∠GAF 的度数．

26. 某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点 B（点 B 与河对岸岸边上的一棵树的底部点 D 所确定的直线垂直于河岸）．
（1）小明在 B 点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点 D 处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离 AB=1.7 米；
（2）小明站在原地转动 180∘ 后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了 DB 延长线上的点 E 处，此时小亮测得 BE=9.6 米，小明的眼睛距地面的距离 CB=1.2 米．
根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽 BD 是多少米?

27. 已知 AB 是 ⊙O 的直径，CD 是 ⊙O 的弦，AB 与 CD 交于 E，CE=DE，过 B 作 BF∥CD，交 AC 的延长线于点 F，求证：BF 是 ⊙O 的切线．

28. 请回答：
（1）尝试：如图①，已知 A，E，B 三点在同一条直线上，且 ∠A=∠B=∠DEC=90∘，求证：△ADE∽△BEC；
（2）一位同学在尝试了上题后还发现：如图②③，只要 A，E，B 三点在同一条直线上，且 ∠A=∠B=∠DEC，则（1）中的结论总成立．你同意吗?请在图②③中选择一个说明理由．

29. 已知二次函数 y=x2+2x+m 的图象 C1 与 x 轴有且只有一个公共点．
（1）求 C1 的顶点坐标；
（2）将 C1 向下平移若干个单位后，得抛物线 C2 ，如果 C2 与 x 轴的一个交点为 A(−3,0) ，求 C2 的函数关系式，并求 C2 与 x 轴的另一个交点坐标；
（3）若 Pn,y1,Q2,y2是 C1 上的两点，且 y1>y2, 求实数n 的取值范围．
答案
第一部分
1. D【解析】∵ 几何体的主视图和左视图都是三角形，
∴ 该几何体是一个锥体．
∵ 俯视图是一个圆，
∴ 该几何体是一个圆锥．
2. D【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“祝”与“利”是相对面，“你”与“试”是相对面，“考”与“顺”是相对面．
3. A【解析】抛物线 y=−x2+2x 的对称轴是直线 x=−2−2=1，
∵ a=−1<0，抛物线开口向下，−2<−1<1，
∴ y14. B【解析】连接 OB．
∵AB 是 ⊙O 的切线，B 为切点，
∴OB⊥AB，
在 Rt△ABC 中，OB=AB⋅tanA=23×33=2，则 OA=2OB=4，
∴AC=4+2=6．
5. B
6. B
7. A【解析】在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，则 sinA=ac，tanB=ba 和 a2+b2=c2．
由 sinA=35 知，若设 a=3k，则 c=5k，结合 a2+b2=c2，得 b=4k，
∴ tanB=ba=4k3k=43．
8. B
9. C
10. B
第二部分
11. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
12. 不正确，弦 AN 与 MN 不相等，则 AN≠MN
【解析】小明的作法不正确．
理由是：如图，连接 AN 并延长，交 CD 于 J，连接 MN，设 EF 与 AB 交于 I．
由作法可知，EF∥CD，AI=IT，
∴AN=NJ，
∵∠NMJ>∠NJM，
∴NJ>MN，
∴AN>MN，
∴ 弦 AN 与 MN 不相等，则 AN≠MN．
13. x=−2
14. y=−x−12−2
15. −32
16. 3−3 或 32−8313
第三部分
17. 把 2,−1 和 4,3 代入 y=x2+bx+c 得 4+2b+c=−1,16+4b+c=3, 解得 b=−4,c=3,
∴ 二次函数解析式为 y=x2−4x+3．
18. “有趣中线”有三种情况：
若“有趣中线”为斜边 AB 上的中线，直角三角形的斜边的中点到三顶点距离相等，
不合题意；
若“有趣中线”为 BC 边上的中线，“有趣中线”等于 1，
若“有趣中线”为另一直角边 AC 上的中线，如图所示，
BC=1，设 BD=2x，则 CD=x，
在 Rt△CBD 中，
根据勾股定理得：BD2=BC2+CD2，
即 2x2=12+x2，
解得：x=33，
故 △ABC 的“有趣中线”的长为 1 或 233．
19. 作 CG⊥AE 于点 G．
在直角 △ACG 中，AC=AB+BC=50+30=80cm，sin∠CAG=CGAC，
∴CG=AC⋅sin∠CAG=80×32=403≈69.2cm．
则拉杆把手处 C 到地面的距离是：69.2+8=77.2≈77cm．
20. ①图 1 所示：
② x1=0，x2=−2
图象如图 1；
③函数 y=x2−2x+1 的图象是：
当 y=4 时，x2−2x+1=4，解得：x1=3，x2=−1．
则不等式的解集是：x≥3 或 x≤−1．
【解析】② 方程 −2x2−4x=0 即 −2xx+2=0，解得：x1=0，x2=−2；
则方程的解是 x1=0，x2=−2．
21. （1） 如图 1．
（2） ①直线 BC 与 ⊙O 的位置关系为相切．理由如下：
如图 1，连接 OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵∠BAC 的平分线 AD 交 BC 边于 D，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ADO，
∴∠AC∥OD，
∵∠C=90∘，
∴∠ODB=90∘，
∴OD⊥BC，
即直线 BC 是 ⊙O 的切线，
∴ 直线 BC 与 ⊙O 的位置关系为相切．
②如图 2，
∵∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D，∠BAC=60∘，∠C=90∘，
∴∠CAD=∠DAB=30∘，∠B=30∘，
∴∠DAB=∠B=30∘，
∴BD=AD．
∵ 在 Rt△ADC 中，∠C=90∘，∠CAD=30∘，CD=3，
∴AD=2CD=23，AC=3CD=3，
∴BD=23．
∵∠ODB=90∘，∠B=30∘，
∴∠DOB=60∘，
∴OD=33BD=33×23=2，
∴S扇形DOE=60×π×22360=23π，
S△ODB=12OD⋅BD=12×2×23=23，
∴ 线段 BD，BE 与劣弧 DE 所围成的图形面积为：S△ODB−S扇形DOE=23−23π．
22. （1） 2；5
【解析】当 m=2，n=2 时，
线段 BC 与线段 OA 的距离（即线段 BN 的长）=2；
当 m=5，n=2 时，B 点坐标为 5,2，线段 BC 与线段 OA 的距离，即为线段 AB 的长，如答图 2，过点 B 作 BN⊥x 轴于点 N，
则 AN=1，BN=2，在 Rt△ABN 中，由勾股定理得：AB=AN2+BN2=12+22=5．
（2） 如答图 3 所示，
当点 B 落在 ⊙A 上时，m 的取值范围为 2≤m≤6；
当 4≤m≤6，显然线段 BC 与线段 OA 的距离等于 ⊙A 半径，即 d=2；
当 2≤m<4 时，作 BN⊥x 轴于点 N，线段 BC 与线段 OA 的距离等于 BN 长，ON=m，AN=OA−ON=4−m，在 Rt△ABN 中，由勾股定理得：
∴
d=22−4−m2=4−16+8m−m2=−m2+8m−12.
（3） ①依题意画出图形，点 M 的运动轨迹如答图 4 中粗体实线所示：
由图可见，封闭图形由上下两段长度为 8 的线段，以及左右两侧半径为 2 的半圆所组成，其周长为：2×8+2×π×2=16+4π，
∴ 点 M 随线段 BC 运动所围成的封闭图形的周长为：16+4π．
②结论：存在．
∵ m≥0，n≥0，
∴ m+m+42=m+2>0，
∴ 点 M 位于第一象限或 x 正半轴上．
∵ A4,0，D0,2，
∴ OA=2OD．
如答图 1 所示，
相似三角形有三种情形：
（Ⅰ）△M1H1A∽△AOD，此时点 M 纵坐标为 2，点 H 在 A 点左侧．
如图，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OA−OH1=2−m，由相似关系可知，M1H1AH1=AOOD=2，即 M1H1=2AH1，即 2=22−m，
∴ m=1；
（Ⅱ）△M2H2A∽△AOD，此时点 M 纵坐标为 2，点 H 在 A 点右侧．
如图，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2−OA=m−2，由相似关系可知，M2H2AH2=AOOD=2，即 M2H2=2AH2，即 2=2m−2，
∴ m=3；
（Ⅲ）△AH3M3∽△AOD，假设点 B 不在 ⊙A 上，则有 M3H3=2．
由相似关系可知 M3H3OD=AH3AO=1，
∴ AH3=AO=4，
∴ B 点坐标为 6,2，与题设不符，
∴ 点 B 在 ⊙A 上．
此时，OH3=m+2，AH3=OH3−OA=m−2，过点 B 作 BN⊥x 轴于点 N，设 BN=M3H3=n，另有 AN=m−4，由相似关系可知，M3H3AH3=ODAO=12，AH3=2M3H3，即 m−2=2n, ⋯⋯1
在 Rt△ABN 中，由勾股定理得：22=m−42+n2. ⋯⋯2
由（1），（2）式解得：m1=265，m2=2．
当 m=2 时，点 M 与点 A 横坐标相同，点 H 与点 A 重合，故舍去，
∴ m=265．
综上所述，存在 m 的值使以 A，M，H 为顶点的三角形与 △AOD 相似，m 的取值为：1，3 或 265．
23. 如图，将 △ABC 与 △DEF 重合于点 A，点 D，
∵∠B=∠E=80∘，
∴BC∥EF，
∴△ABC∽△DEF．
24. 当点 D 在图（1）所示的位置时，
∵∠ABD=∠ABC+∠CBD=30∘+45∘=75∘，
∴∠AOD=150∘．
当点 D 在图（2）所示的位置时，
∵∠ABD=∠CBD−∠ABC=45∘−30∘=15∘，
∴∠AOD=30∘．
综上所述，∠AOD=150∘ 或 30∘．
25. （1） 如图，连接 AE．
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠EAF=∠AEB，∠GAF=∠B．
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB．
∴∠EAF=∠GAF．
∴EF=GF．
（2） ∵EG 所对的圆心角为 140∘，
∴∠EAG=140∘．
由（1）知 ∠EAF=∠GAF，
∴∠GAF=12∠EAG=70∘．
26. 由题意得，∠BAD=∠BCE．
∵ ∠ABD=∠ABE=90∘，
∴ △BAD∽△BCE．
∴ BDBE=ABCB．
∴ BD9.6=1.71.2．
∴ BD=13.6．
∴ 河流的宽 BD 是 13.6 米．
27. ∵AB 是 ⊙O 的直径，CE=DE，
∴AB⊥CD．
又 BF∥CD，
∴BF⊥AB，
∴BF 是 ⊙O 的切线．
28. （1） ∵∠A=∠DEC=90∘，
∴∠DEA+∠CEB=90∘，∠DEA+∠D=90∘，
∴∠D=∠CEB，
又 ∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC．
（2） 同意，选择图②说明理由：
∵∠A=∠DEC，∠A+∠D=∠DEC+∠CEB，
∴∠D=∠CEB，
又 ∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC．
（也可选图③）
29. （1） y=x2+2x+m=x+12+m−1,对称轴为x=−1,
∵与x 轴有且只有一个公共点，∴顶点的纵坐标为 0 ．
∴C1 的顶点坐标为 (−1,0) ．
（2） 设 C2 的函数关系式为 y=x+12+k,
把 A(−3,0) 代入上式得 −3+12+k=0,得k=−4,
∴C2 的函数关系式为 y=x+12−4.
∵抛物线的对称轴为 x=−1,与x 轴的一个交点为 A(−3,0) ，由对称性可知，它与 x 轴的另一个交点坐标为 (1,0) ．
（3） 当 x≥−1时， y 随x 的增大而增大，
当 n≥−1时，∵y1>y2,∴n>2.
当 n<−1 时， Pn,y1 的对称点坐标为 −2−n,y1, 且 −2−n≥−1, ， ∵y1>y2,∴−2−n>2,∴n<−4.
综上所述： n>2 或 n<−4.