2021年北京平谷区门楼庄中学九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京平谷区门楼庄中学九年级上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 已知 ⊙O 的半径为 5 cm，若点 A 到圆心 O 的距离为 3 cm，则点 A
A. 在 ⊙O 内B. 在 ⊙O 上
C. 在 ⊙O 外D. 与 ⊙O 的位置关系无法确定

2. 四边形的外角和为
A. 180∘B. 360∘C. 540∘D. 720∘

3. 若函数 y=−x2+bx+c 的图象最高点是 1,−4，则 b，c 的值分别是
A. −2，−5B. 2，5C. −2，5D. 2，−5

4. 如图，∠ACB=90∘，CD 是 AB 边上的高，若 AD=24，BD=6，则 CD 的长是
A. 8B. 10C. 12D. 14

5. 关于反比例函数 y=2x，下列说法不正确的是
A. 函数图象分别位于第一、第三象限
B. 当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小
C. 若点 Ax1,y1，Bx2,y2 都在函数图象上，且 x1y2
D. 函数图象经过点 1,2

6. 如图，⊙O 中，CD⊥AB 于点 E，若 ∠B=60∘，则 ∠A=
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

7. 在做抛硬币试验时，甲、乙两个小组画出折线统计图后发现频率的稳定值分别是 50.00% 和 50.02%，则下列说法错误是
A. 乙同学的试验结果是错误的
B. 这两种试验结果都是正确的
C. 增加试验次数可以减小稳定值的差异
D. 同一个试验的稳定值不是唯一的

8. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为 x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 y=−x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是
A. 4 米B. 3 米C. 2 米D. 1 米

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如图，分别以正三角形的 3 个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为 6 cm，则该莱洛三角形的周长为 cm．

10. 将抛物线 y=2x2 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的表达式为 ．

11. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，连接 DE．
（1）若 ADDB=AEEC，则 DE BC（填“∥”或“=”）；
（2）若 ACAB= ，则 DE∥BC．

12. 请写出一个二次函数表达式，使其图象的对称轴为 y 轴： ．

13. 在直角坐标平面内有一点 A12,5，点 A 与原点 O 的连线与 x 轴的正半轴的夹角为 θ，那么 csθ= ．

14. 如图，在四边形 ABCD 中，∠B=90∘，AB=BC=4，CD=6，DA=2．则 ∠DAB 的度数是 ∘．

15. 如果一个正方形的面积是 3，那么它的边长是 ．

16. 经济学家在研究市场供求关系时，一般用纵轴表示产品单价（自变量），而用横轴表示产品数量（因变量），下列两条曲线分别表示某种产品的数量与单价之间的供求关系，一条表示厂商希望的供应曲线，另一条表示客户希望的需求曲线．其中表示客户希望的需求曲线的是 （填入序号即可）．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：12−1−6cs30∘−π2021−70+27．

18. 已知二次函数 y=x2+4x+3．
（1）用配方法将 y=x2+4x+3 化成 y=ax−h2+k 的形式．
（2）在平面直角坐标系 xOy 中，画出这个二次函数的图象．

19. 如图，△ABC 是 ⊙O 内接三角形，点 C 是优弧 AB 上一点（点 C 与 A，B 不重合），设 ∠OAB=α，∠C=β．
（1）当 α=35∘ 时，求 β 的度数；
（2）猜想 α 与 β 之间的关系，并给予证明．

20. 如图，经过原点的直线 y1 与双曲线 y2=kx（k 为常数，k≠0）交于 A，B 两点，其中点 A 的坐标为 1,2．
（1）求 k 的值；
（2）当 y1>y2 时，请你直接写出 x 的取值范围．

21. 某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门．如图为该“测温门”截面示意图．身髙 1.6 米的小聪做了如下实验：当他在地面 M 处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头 B 处测得 A 的仰角为 30∘；当他在地面 N 处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头 C 处测得 A 的仰角为 53∘．如果测得小聪的有效测温区间 MN 的长度是 0.98 米，求测温门顶部 A 处距地面的高度约为多少米?（注：额头到地面的距离以身高计，sin53∘≈0.8，cs53∘≈0.6，ct53∘≈0.75，3≈1.73．）

22. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，以 AC 为直径作 ⊙O 交 AB 于点 D，连接 CD．
（1）求证：∠A=∠BCD．
（2）若 M 为线段 BC 上一点，试问当点 M 在什么位置时，直线 DM 与 ⊙O 相切?并说明理由．

23. 已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象过点 1,−2 和 −1,0 和 0,−32．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）按照列表、描点、连线的步骤，在如图所示的平面直角坐标系内画出该函数的图象（要求至少 5 点）．

24. （1）如图①，若 BC=6，AC=4，∠C=60∘，求 △ABC 的面积 S△ABC；
（2）如图②，若 BC=a，AC=b，∠C=α，求 △ABC 的面积 S△ABC；
（3）如图③，四边形 ABCD，若 AC=m，BD=n，对角线 AC，BD 交于 O 点，它们所成的锐角为 β．求四边形 ABCD 的面积 S四边形ABCD．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．给出如下定义：对于任意两个整点 Mx1,y1，Nx2,y2，M 与 N 的“直角距离”记为 dMN，dMN=∣x1−x2∣+∣y1−y2∣．例如，点 M1,5 与 N7,2 的“直角距离”dMN=∣1−7∣+∣5−2∣=9．
（1）已知点 A4,−1．
①点 A 与点 B1,3 的“直角距离”dAB= ；
②若点 A 与整点 C−2,m 的“直角距离”dAC=8，则 m 的值为 ；
（2）小明有一项设计某社区规划图的实践作业，这个社区的道路都是正南正北，正东正西方向，并且平行的相邻两条路之间的距离都是相等的，可近似看作正方形的网格．小明建立平面直角坐标系画出了此社区的示意图（如图所示）．
为了做好社区消防，需要在某个整点处建一个消防站 P，要求是：消防站与各个火警高危点的“直角距离”之和最小．目前该社区内有两个火警高危点，分别是 D−2,−1 和 E2,2．
①若对于火警高危点 D 和 E，消防站 P 不仅要满足上述条件，还需要消防站 P 到 D，E 两个点的“直角距离”之差的绝对值最小，则满足条件的消防站 P 的坐标可以是 （写出一个即可），所有满足条件的消防站 P 的位置共有 个；
②在设计过程中，如果社区还有一个火警高危点 F4,−2，那么满足与这三个火警高危点的“直角距离”之和最小的消防站 P 的坐标为 ．
答案
第一部分
1. A【解析】∵OA=3 cm<5 cm，
∴ 点 A 在 ⊙O 内．
2. B【解析】∵ 多边形外角和 =360∘，
∴ 四边形的外角和为 360∘．
3. D
4. C【解析】∵CD 是斜边 AB 边上的高，
∴CD2=AD⋅BD=24×6=144，
∴CD=12．
5. C
【解析】反比例函数 y=2x，k=2>0，
A、函数图象分别位于第一、三象限，正确；
B、当 k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小，正确；
C、若点 Ax1,y1，Bx2,y2 都在函数图象上，且 x1D、函数图象经过点 1,2，正确；
故选：C．
6. A【解析】∵CD⊥AB，
∴∠AED=90∘，
∵∠D=∠B=60∘，
∴∠A=90∘−∠D=30∘．
7. A【解析】A、两试验结果虽然不完全相等，但都是正确的，故错误；
B、两种试验结果都正确，正确；
C、增加试验次数可以减小稳定值的差异，正确；
D、同一个试验的稳定值不是唯一的，正确，故选：A．
8. A
第二部分
9. 6π
【解析】周长 =3×60×π×6180=6πcm．
10. y=2x+12−2
【解析】将抛物线 y=2x2 向左平移 1 个单位，得抛物线 y=2x+12；再向下平移 2 个单位，得抛物线 y=2x+12−2．
11. ∥，AE，AD
【解析】（1）因为 ADDB=AEEC，
所以 △ADE∽△ABC，
所以 ∠ADE=∠B，
所以 DE∥BC．
（2）若 DE∥BC，则可得 △ADE∽△ABC，
所以 AEAC=ADAB，
即 ACAB=AEAD．
12. y=x2+1（答案不唯一）
【解析】答案不唯一．二次函数 y=ax2+ka≠0 的图象的对称轴是 y 轴，
所以写出来的形式符合 y=ax2+ka≠0 即可．
13. 1213
14. 135
【解析】连接 AC．
在 Rt△ABC 中 AC2=AB2+BC2=32，
∵ 在 △ACD 中，DC2=36，DA2=4，
∴AC2+DA2=DC2，
∴∠DAC=90∘，
∵AB=BC，∠B=90∘，
∴∠BAC=45∘，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=135∘．
15. 3
【解析】∵ 正方形的面积是 3，
∴ 它的边长是 3．
16. ①
第三部分
17. 原式=2−6×32−1+33=2−33−1+33=1.
18. （1） y=x2+4x+3=x2+4x+4−1=x+22−1.
（2） 如图：
19. （1） 连接 OB，
∵∠OAB=α=35∘，
∴∠OBA=35∘，
∴∠AOB=110∘，
∴β=12∠AOB=55∘．
（2） α+β=90∘．证明如下：
∵∠AOB=180∘−2α，
∴β=12∠AOB=90∘−α，
∴α+β=90∘．
20. （1） 将点 A1,2 代入双曲线 y2=kx 得 k=2；
答：k 的值为 2．
（2） x 的取值范围为 −11．
【解析】由函数图象的对称性可知，点 A 与点 B 关于原点对称，
∴ 点 B−1,−2，
由图象可得：当 −11 时，y1>y2．
答：x 的取值范围为 −11．
21. 设直线 BC 交 AD 于点 E，AE=x 米，
∠ABE=30∘，∠ACE=53∘，∠AEC=90∘，
ED=CN=BM=1.6 米，BC=MN=0.98 米．
由题意得：在 Rt△AEC 中，∠AEC=90∘，
∵ct∠ACE=CEAE，
∴CE=AE⋅ct∠ACE=xct53∘．
在 Rt△ABE 中，∠AEB=90∘，
∵ct∠ABE=BEAE，
∴BE=AE⋅ct∠ABE=xct30∘．
∵BE=BC+CE，
∴xct30∘=xct53∘+0.98．
∴x=0.98ct30∘−ct53∘≈−0.75=1．
∴AD≈1+1.6=2.6 米．
答：测温门 AD 的顶部 A 处距地面的高度约为 2.6 米．
22. （1） ∵AC 为直径，
∴∠ADC=90∘．
∴∠A+∠DCA=90∘．
∵∠ACB=90∘，
∴∠DCB+∠ACD=90∘．
∴∠DCB=∠A．
（2） 当 MC=MD（或点 M 是 BC 的中点）时，直线 DM 与 ⊙O 相切．理由如下：
连接 DO，
∵DO=CO，
∴∠OCD=∠ODC．
∵DM=CM，
∴∠MCD=∠MDC．
∵∠OCD+∠DCM=90∘，
∴∠ODC+∠CDM=90∘，即 ∠ODM=90∘．
∴ 直线 DM 与 ⊙O 相切．
23. （1） 根据题意得 a+b+c=−2,a−b+c=0,c=−32,
解得 a=12,b=−1,c=−32,
∴ 此二次函数的解析式为 y=12x2−x−32．
（2） y=12x2−x−32=12x−12−2，则抛物线的对称轴为直线 x=1，顶点坐标为 1,−2，
当 y=0 时，12x2−x−32=0，解得 x1=−1，x2=3，则抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为 3,0；
如图：
24. （1） 如图①，过点 A 作 AH⊥BC，垂足为 H．
在 Rt△AHC 中，AHAC=sin60∘，
∴AH=AC⋅sin60∘=4×32=23．
∴S△ABC=12×BC×AH=12×6×23=63．
（2） 如图②，过点 A 作 AH⊥BC，垂足为 H．
在 Rt△AHC 中，AHAC=sinα，
∴AH=AC⋅sinα=bsinα．
∴S△ABC=12×BC×AH=12absinα．
（3） 如图③，分别过点 A，C 作 AH⊥BD，CG⊥BD，垂足为 H，G．
在 Rt△AHO 与 Rt△CGO 中，AH=OAsinβ，CG=OCsinβ；
于是，S△ABD=12×BD×AH=12n×OAsinβ；
S△BCD=12×BD×CG=12n×OCsinβ；
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12n×OAsinβ+12n×OCsinβ=12n×OA+OCsinβ=12mnsinβ.
25. （1） ① 7
② −3 或 1
（2） ①答案不唯一，如 0,0；8
② 2,−1