2021年安徽临泉县城东中学九年级上期末数学试卷

这是一份2021年安徽临泉县城东中学九年级上期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 已知 xy=23，则 xx−y 的值为
A. −2B. 2C. 3D. −3

2. 在 △ABC 中，∠C=90∘，若 tanA=3，则 csB 的值是
A. 12B. 22C. 32D. 33

3. 已知一个斜坡长 50 米，其铅垂高度为 25 米，则这个斜坡的坡度为
A. 3:1B. 1:3C. 1:2D. 2:1

4. 如图，平行四边形 ABCD 中，E，F 是边 BC 的三等分点，AF 交 DE 于点 M，则 AM:AF 等于
A. 3:2B. 2:3C. 3:4D. 4:3

5. 已知如图，AB 是 ⊙O 的直径，CD 是 ⊙O 的弦，∠CDB=40∘，则 ∠CBA 的度数为
A. 60∘B. 50∘C. 40∘D. 30∘

6. 如图，身高为 1.6 m 的小明想测量一下操场边大树的高度，他沿着树影 BA 由 B 到 A 走去，当走到 C 点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 BC=1.4 m，CA=0.7 m，于是得出树的高度为
A. 3.2 mB. 4.8 mC. 6.4 mD. 8 m

7. 如图，△ABC 中，CD⊥AB 于点 D，下列条件中能推出 △ABC 是直角三角形的是
A. ∠A:∠B:∠C=4:3:5B. ∠ACD=∠A
C. CDAD=DBCDD. AC⋅BD=BC⋅AD

8. 已知 五边形ABCDE∽五边形FGHIJ，相似比为 1:2，若五边形 ABCDE 的周长和面积分别为 6 和 15，则五边形 FGHIJ 的周长和面积分别为
A. 12 和 30B. 12 和 60C. 24 和 30D. 24 和 60

9. 如图所示的暗礁区，两灯塔 A，B 之间的距离恰好等于圆半径的 2 倍，为了使航船（S）不进入暗礁区，那么 S 对两灯塔 A，B 的视角 ∠ASB 必须
A. 大于 60∘B. 小于 60∘C. 大于 45∘D. 小于 45∘

10. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD:BC=1:2，AC，BD 交于点 O，记 △AOD，△AOB，△BOC，△COD 的面积分别为 S1，S2，S3，S4，下列结论正确的是
A. S1:S2=1:4B. S1:S3=1:2C. S1⋅S3=S22D. S1+S2=S3

二、填空题（共4小题；共20分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

12. 如图，点 A，B，C，D 在同一个圆上，若 ∠A=90∘，CD=2，BC=3，则这个圆的直径为 ．

13. 有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条宽的 2 倍，如图，将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形 ABCD．则 AB 与 BC 的数量关系为 ．

14. 如图，在 △ABC 中，DE∥AB，CDAD=12，AB=3，S△ABC=6，则下面五个结论：
① DE=32；
② △CDE∽△CAB；
③ DE 与 AB 之间的距离为 83；
④ △CDE 的面积与四边形 ABED 的面积之比为 1:9；
⑤若 △ABC 的周长为 10，则四边形 ABED 的周长为 263．
其中正确的有 （直接填序号）．

三、解答题（共10小题；共130分）
15. 对于钝角 α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin180∘−α，csα=−cs180∘−α．求 sin120∘，cs120∘，sin150∘ 的值．

16. 如图，AE 交 △ABC 的边 BC 于点 D，∠C=∠E，AD=8，BC=16，若 BD:DC=5:3，求 DE 的长．

17. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，△ABC 的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．
（1）以点 3,6 为位似中心，在网格中将 △ABC 放大，使变换后得到的 △A1B1C1 与 △ABC 对应边的比为 2:1．请在网格内画出 △A1B1C1，并写出点 A1 的坐标： ；
（2）已知点 P 为 △ABC 的边 AC 的中点，若将 △ABC 以 O 点为旋转中心逆时针旋转 90∘，请直接写出点 P 变化后的对应点 Q 的坐标： ．

18. 如图，在 △ACD 中，∠C=90∘，∠A=30∘．点 B 是线段 AC 上一点，且 AB=40 cm，∠DBC=75∘．
（1）求点 B 到 AD 的距离；
（2）求线段 CD 的长（结果用根号表示）．

19. 汽车正在行驶可车轮突然陷入无盖井，骑车人正在快速前行却因突然出现在面前的凸起井盖被摔伤，夜间出门时被一个没有井盖的窖井吞噬 ⋯ 全国各地因为井盖缺失而造成事故的情形不绝于耳，井盖吞人事件更是频频发生，为了保障市民的人身安全，合肥市政部门开始更换质量更好的井盖（如图所示）．小明想知道井盖的半径，在 ⊙O 上，取了三个点 A，B，C，测量出 AB=AC=50，BC=80，请你帮助小明求出井盖的半径，写出计算过程．

20. 阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
（1）sin30∘=12，cs30∘=32，则 sin230∘+cs230∘= ; ⋯⋯①
sin45∘=22，cs45∘=22，则 sin245∘+cs245∘= ; ⋯⋯②
sin60∘=32，cs60∘=12，则 sin260∘+cs260∘= . ⋯⋯③
⋯
观察上述等式，猜想：对任意锐角 ∠A，都有 sin2A+cs2A= . ⋯⋯④
（2）如图，在锐角三角形 ABC 中，利用三角函数的定义及勾股定理对 ∠A 证明你的猜想；
（3）已知：∠A 为锐角 csA>0 且 sinA=35，求 csA．

21. 如图，AC 是 ⊙O 的直径，AC=10，弦 BD 交 AC 于点 E．
（1）求证：△ADE∽△BCE；
（2）若 E 是 BD 的中点，求 AD2+BC2 的值．

22. 如图 1，是午休时老师们所用的一种折叠椅．把折叠椅完全平躺时如图 2，长度 MC=180 厘米，AM=50 厘米，B 是 CM 上一点，现将躺椅如图 3 倾斜放置时，AM 与地面 ME 成 45∘ 角，AB∥ME，椅背 BC 与水平线成 30∘ 角，其中 BP 是躺椅的伸缩支架，其与地面的夹角不得小于 30∘．（参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2）
（1）若点 B 恰好是 MC 的黄金分割点（MB>BC），人躺在上面才会比较舒适，求此时点 C 与地面的距离．（结果精确到 1 厘米）
（2）午休结束后，老师会把 AM 和伸缩支架 BP 收起紧贴 AB，在（1）的条件下，求伸缩支架 BP 可达到的最大值．（结果精确到 1 厘米）

23. 如图 1，△EAB 和 △EDC 均为等腰直角三角形，B，C，E 三点在同一直线上，且 CEBE=12，BC=6，在图 1 中，以点 E 为位似中心，在 △EAB 内作 △EGF 与 △EAB 位似，相似比是 1:kk≠1，点 H 是边 CE 上一动点（不与点 C 、点 E 重合），连接 GH，HD，如图 2．
（1）若 k=2 时，求证：△EGF≌△EDC；
（2）若 k=4 时，是否存在点 H 使得 △HGF 和 △CDH 相似?如果存在，求出 CH 的值；如果不存在，请说明理由；
（3）如果 △HGF 和 △CDH 相似，求出 k 应该满足的条件．

24. 如图 1 所示，在图中作出两条直线，就能使它们将圆面四等分．研究图 1 中的思想方法解决以下问题：
（1）如图 2，M 是正方形 ABCD 内一定点，请在图 2 中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点 M），使它们将正方形 ABCD 的面积四等分，不必说明理由；
（2）如图 3，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB+CD=BC，点 P 是 AD 的中点．如果 AB=a，CD=b，且 b>a，那么在边 BC 上是否存在一点 Q，使 PQ 所在直线将四边形 ABCD 的面积分成相等的两部分?若存在，求出 BQ 的长；若不存在，说明理由．
答案
第一部分
1. A【解析】∵xy=23，
∴x=23y，
∴xx−y 的值为：23y23y−y=−2．
2. C【解析】由 △ABC 中，∠C=90∘，若 tanA=3，得 ∠A=60∘，∠B=90∘−∠A=30∘．
∴csB=cs30∘=32．
3. B【解析】∵ 一个斜坡长 50 米，其铅垂高度为 25 米，
∴ 这个斜坡的水平距离为：502−252=253（米），
∴ 这个斜坡的坡度为：25:253=1:3．
4. C【解析】∵E，F 是边 BC 的三等分点，
∴BC=3EF，
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴AD=3EF，
∵AD∥EF，
∴△AMD∽△FME，
∴AM:MF=AD:EF=3:1，
∴AM:AF=3:4．
5. B
【解析】连接 AC，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘，
∵∠A=∠CDB=40∘，
∴∠CBA=90∘−∠A=50∘．
6. B【解析】如图，
因为 BC=1.4，CA=0.7，
所以 AB=AC+BC=0.7+1.4=2.1，
因为小明与大树都与地面垂直，
所以 △ACE∽△ABD，
所以 CEBD=ACAB，即 1.6BD=0.72.1，
所以 BD=4.8 m．
7. C【解析】在 △CDB 与 △ADC 中，CDAD=DBCD，
∠BDC=∠ADC=90∘，
∴△CDB∽△ACD，
∴∠ACD=∠B，
∴∠CAD+∠B=90∘，
∴∠ACB=180∘−∠CAD−∠B=90∘，
∴∠ABC 是直角三角形．
8. B【解析】∵ 五边形ABCDE∽五边形FGHIJ，相似比为 1:2，
∴ 五边形 ABCDE 和五边形 FGHIJ 的周长比是 1:2，面积比是 1:4，
∵ 五边形 ABCDE 的周长和面积分别为 6 和 15，
∴ 五边形 FGHIJ 的周长和面积分别为 12 和 60．
9. D【解析】连接 OA，OB，AB，BC，如图所示：
∵AO=BO，AB=2AO，
∴△AOB 为直角三角形，
∴∠AOB=90∘，
∴∠ACB=12∠AOB=45∘，
又 ∠ACB 为 △SCB 的外角，
∴∠ACB>∠ASB，即 ∠ASBBC），
∴MBMC=5−12≈0.6，BCMC=MC−MBMC≈1−0.6=0.4，
∵MC=180，
∴BC=0.4×180=72，
CE=CD+DE=MA⋅sin45∘+BC⋅sin30∘=50×22+72×12≈71厘米.
答：此时点 C 与地面的距离约为 71 厘米．
（2） ∵30∘