2021年北京海淀区建华实验学校九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京海淀区建华实验学校九年级上期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图是一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，圆柱的下底面紧贴在长方体的上底面上，那么这个几何体的俯视图为
A. B.
C. D.

2. 在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉字，这个字是“绿”的概率为
A. 310B. 110C. 19D. 18

3. 抛物线 y=x−12+3
A. 有最大值 1B. 有最小值 1C. 有最大值 3D. 有最小值 3

4. 如图，一个三角尺 ABC 的斜边 AB 与量角器的直径恰好重合，点 D 对应的刻度是 46∘，则 ∠ACD 的度数为
A. 46∘B. 23∘C. 44∘D. 67∘

5. 如图，已知 △ABC 的三个顶点均在格点上，则 csA 的值为
A. 33B. 55C. 233D. 255

6. 如图，△ABC 中，∠A=78∘，AB=4，AC=6．将 △ABC 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是
A. B.
C. D.

7. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为 x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 y=−x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是
A. 4 米B. 3 米C. 2 米D. 1 米

8. 如图，O 为锐角三角形 ABC 的外心，四边形 OCDE 为正方形，其中 E 点在 △ABC 的外部，下列叙述不正确的是
A. O 是 △AEB 的外心，O 不是 △AED 的外心
B. O 是 △BEC 的外心，O 不是 △BCD 的外心
C. O 是 △AEC 的外心，O 不是 △BCD 的外心
D. O 是 △ADB 的外心，O 不是 △ADC 的外心

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，DE∥BC，若 AE=4，CE=2，则 DEBC= ；S△ADES△ABC= ．

10. 抛物线 y=2x2 沿 y 轴向上平移 3 个单位长度后的抛物线的表达式为 ．

11. 若反比例函数 y=2a−1x 的图象有一支位于第一象限，则常数 a 的取值范围是 ．

12. 一个扇形所对的弧长是 31.4 米，它所在圆的半径是 10 米，则这个扇形的面积是 ．

13. 如图，AB，AC 是 ⊙O 的弦，∠BAC=90∘，点 D，E 分别是弦 AB，AC 的中点，连接 OD，OE．若 BD=3，CE=4，则四边形 ADOE 的面积为 ．

14. 要把木条固定在墙上至少要钉 个钉子，这是因为 ．

15. 如图，一块长方体大理石板的 A，B，C 三个面上的边长如图所示，如果大理石板的 A 面向下放在地上时地面所受压强为 m 帕，则把石板 B 面向下放在地上地面所受压强是 帕．

16. 六（1）班有男生 22 人，女生 18 人，老师随机叫 1 位同学，被叫到的同学是女生的可能性是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：sin30∘−2sin60∘+3tan45∘+cs245∘．

18. 抛物线的顶点坐标为 1,2，点 2,3 也在图象上，求出它的函数解析式．

19. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，线段 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，交 AB 于点 E．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）当 AC=8，BC=6 时，求 DE 的长．

20. 如图，一座拱桥呈圆弧形，它的跨度 AB=60 m，拱高 PD=18 m．
（1）求圆弧所在圆的半径 r 的长．
（2）当水位上涨至跨度只有 30 m 时，必须采取紧急措施．当水位上涨至离拱顶 4 m，即 PE=4 m 时，是否需采取紧急措施?

21. 小石和小丁利用盒子里的三张卡片做游戏，卡片上分别写有 A，A，B，这些卡片除了字母外完全相同．从中随机摸出一张卡片记下字母，放回盒子后充分搅匀，再从中随机摸出一张卡片记下字母．若两次摸到的卡片字母相同，则小石获胜，否则小丁获胜．这个游戏公平吗?请用画树状图或列表的方法说明理由．

22. 小明在楼顶点 A 处测得对面大楼顶点 C 处的仰角为 60∘，楼底点 D 处的俯角为 13∘，若两座楼 AB 与 CD 相距 60 米，那么楼 CD 的高度约为多少米?（结果精确到 1 米，参考数据 tan13∘≈0.23，3≈1.73）

23. 如果 a，b，c 为有理数，其中 c≠0，而且 a>b>c，下列不等式中哪些正确?
（1）ab>bc；
（2）a+b>b+c；
（3）ac>bc．

24. 如图，已知反比例函数 y1=k1x（k1>0）与一次函数 y2=k2x+1k2≠0 相交于 A，B 两点，AC⊥x 轴于点 C，若 △OAC 的面积为 1，且 tan∠AOC=2．
（1）求出反比例函数与一次函数的解析式．
（2）请直接写出 B 点的坐标，并指出当 x 为何值时，反比例函数 y1 的值大于一次函数 y2 的值?

25. 如图，已知 AB 为 ⊙O 直径，AC 是 ⊙O 的切线，连接 BC 交 ⊙O 于点 F，取 BF 的中点 D，连接 AD 交 BC 于点 E，过点 E 作 EH⊥AB 于 H．
（1）求证：△HBE∽△ABC．
（2）若 CF=4，BF=5，求 AC 和 EH 的长．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 Pm,y1 在二次函数 y=x2+bx+c 的图象上点 Qm,y2 在一次函数 y=−x+4 的图象上．
（1）若二次函数图象经过点 0,4，4,4．
①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标．
②判断 m<0 时，y1 与 y2 的大小关系．
（2）若只有当 m≥1 时，满足 y1⋅y2≤0，求此时二次函数的解析式．

27. 如图，直线 l 上有一点 P12,1，将点 P1 先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到点 P2，点 P2 恰好在直线 l 上．
（1）求直线 l 所表示的一次函数的表达式；
（2）若将点 P2 先向右平移 3 个单位，再向上平移 6 个单位得到点 P3．请判断点 P3 是否在直线 l 上．

28. 完成下列各题：
（1）问题发现
如图 1，△ACB 和 △DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=90∘，B，C，D 在一条直线上．
填空：线段 AD，BE 之间的关系为 ， ．
（2）拓展探究
如图 2，△ACB 和 △DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘，请判断 AD，BE 的关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图 3，线段 PA=3，点 B 是线段 PA 外一点，PB=5，连接 AB，将 AB 绕点 A 逆时针旋转 90∘ 得到线段 AC，随着点 B 的位置的变化，直接写出 PC 的范围．
答案
第一部分
1. C
2. B
3. D
4. D【解析】如图，连接 OD，
∵ 三角尺 ABC 的斜边 AB 与量角器的直径恰好重合，
∴A，B，C，D 四点共圆，
∵ 点 D 对应的刻度是 46∘，
∴∠BOD=46∘，
∴∠BCD=12∠BOD=23∘，
∴∠ACD=90∘−∠BCD=67∘．
5. D
【解析】过 B 点作 BD⊥AC，如图．
由勾股定理得，
AB=12+32=10，
AD=22+22=22
csA=ADAB=2210=255．
6. D
7. A
8. D【解析】如图，连接 OB，OD，OA，
∵O 为锐角三角形 ABC 的外心，
∴OA=OC=OB，
∵ 四边形 OCDE 为正方形，
∴OE=OC ∴OA=OB=OC=OE≠OD．
OB=OE=OC，即 O 是 △BEC 的外心，
OB=OC≠OD，即 O 不是 △BCD 的外心，
OA=OE≠OD，即 O 不是 △AED 的外心，
OA=OE=OB，即 O 是 △AEB 的外心，
OA=OC=OE，即 O 是 △ACE 的外心，
OB=OA≠OD，即 O 不是 △ABD 的外心，
OA=OC≠OD，即 O 不是 △ADC 的外心．
第二部分
9. 23，49
【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=AEAC=44+2=23，
∴S△ADES△ABC=DEBC2=49．
10. y=2x2+3
11. a>12
12. 157 平方米
13. 12
14. 两，两点确定一条直线
15. 3m
16. 920
第三部分
17. 原式=12−2×32+3×1+222=12−3+3+12=1.
18. 设抛物线的解析式为 y=ax−12+2，
因为点 2,3 在抛物线上，
所以 a2−12+2=3，
则 a=1，
所以解析式为 y=x−12+2．
19. （1） ∵DE 垂直平分线段 AB，
∴∠AED=90∘，
∴∠AED=∠C，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC．
（2） 在 Rt△ABC 中，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
∵DE 平分 AB，
∴AE=5．
∵△ADE∽△ABC，
∴DEBC=AEAC，
∴DE6=58，
∴DE=154．
20. （1） r=34
（2） 跨度为 32 m>30 m，因此不需采取紧急措施
21. 这个游戏不公平．理由如下：
两次摸出卡片所有可能出现的结果如下表所示：
两次摸出卡片的所有可能出现的结果有 9 个，且每个结果发生的可能性都相等，其中出现“两次摸到的卡片字母相同”的结果有 5 个，“两次摸到的卡片字母不相同”的结果有 4 个，
∴P小石获胜=59，P小丁获胜=49，
∴P小石获胜>P小丁获胜，
∴ 这个游戏不公平．
22. 过点 A 作 AE⊥CD 于 E，
∵tan60∘=CEAE=CE60=3，
∴CE=603 米，
又 ∵tan13∘=EDAE=ED60≈0.23，
∴ED≈13.8 米，
∵CD=CE+ED=603+13.8≈118（米），
故楼 CD 的高度约为 118 米．
23. （1） ∵a>c，
∴ 当 b>0 时，ab>bc；当 b<0 时，ab ∴（1）不正确．
（2） ∵a>c，
∴ 根据不等式的基本性质 1，a+b>b+c，
∴（2）正确．
（3） ∵a>b，
∴ 当 c>0 时，ac>bc；当 c<0 时，ac ∴（3）不正确．
24. （1） 在 Rt△OAC 中，设 OC=m，
∵tan∠AOC=ACOC=2，
∴AC=2×OC=2m，
∵S△OAC=12×OC×AC=12×m×2m=1，
∴m2=1，
∴m=±1（负值舍去），
∴A 点的坐标为 1,2，
把 A 点的坐标代入 y1=k1x 中，得 k1=2，
∴ 反比例函数的表达式为 y1=2x，
把 A 点的坐标代入 y2=k2x+1 中，得 k2+1=2，
∴k2=1，
∴ 一次函数的表达式 y2=x+1．
（2） −2,−1，025. （1） ∵AC 是 ⊙O 的切线，
∴CA⊥AB，
∵EH⊥AB，
∴∠EHB=∠CAB，
∵∠EBH=∠CBA，
∴△HBE∽△ABC．
（2） 连接 AF．
∵AB 是直径，
∴∠AFB=90∘，
∵∠C=∠C，∠CAB=∠AFC，
∴△CAF∽△CBA，
∴CA2=CF×CB=36，
∴CA=6，AB=BC2−AC2=35，
AF=AB2−BF2=25，
∵DF=BD，
∴∠EAF=∠EAH，
∵EF⊥AF，EH⊥AB，
∴EF=EH，
∵AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEH，
∴AF=AH=25，
设 EF=EH=x，
在 Rt△EHB 中，
5−x2=x2+52，
∴x=2，
∴EH=2．
26. （1） ①代入 0,4，4,4，
c=4,16+4b+c=4,
∴b=−4,c=4,
∴y=x2−4x+4．
顶点 2,0．
②如图所示，
当 m=0 时，y1=y2，
当 m<0 时，y1 在 y2 上方，故 y1>y2．
（2） 当 m≥1 时，y1⋅y2≤0，即 m2+mb+c−m+4≤0，
当 1≤m≤4 时，m2+mb+c≤0．
m>4 时，m2+mb+c>0．
题中“只有”当 m≥1 时，说明 1 、 4 是二次函数两个根，
代入可得 b=−5，c=4，
∴ 二次函数解析式：y=x2−5x+4．
27. （1） P23,3，设直线 l 所表示的一次函数的表达式为 y=kx+bk≠0，
因为点 P12,1，P23,3 在直线 l 上，
所以 2k+b=1,3k+b=3.
解得 k=2,b=−3.
所以直线 l 所表示的一次函数的表达式为 y=2x−3．
（2） 点 P3 在直线 l 上．
由题意知点 P3 的坐标为 6,9，
因为 2×6−3=9，
所以点 P3 在直线 l 上．
28. （1） AD=BE；AD⊥BE
【解析】结论：AD=BE，AD⊥BE．
理由：如图 1 中，
∵△ACB 与 △DCE 均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ACD=90∘，
在 Rt△ACD 和 Rt△BCE 中
AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ACB≌△BCESAS，
∴AD=BE，∠EBC=∠CAD，
延长 BE 交 AD 于点 F，
∵BC⊥AD，
∴∠EBC+∠CEB=90∘，
∵∠CEB=∠AEF，
∴∠EAD+∠AEF=90∘，
∴∠AFE=90∘，即 AD⊥BE．
∴AD=BE，AD⊥BE．
（2） 结论：AD=BE，AD⊥BE．
理由：如图 2 中，设 AD 交 BE 于 H，AD 交 BC 于 O．
∵△ACB 与 △DCE 均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90∘，
∴∠ACD=∠BCE，
在 Rt△ACD 和 Rt△BCE 中
AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ACD≌△BCESAS，
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，
∵∠CAO+∠AOC=90∘，∠AOC=∠BOH，
∴∠BOH+∠OBH=90∘，
∴∠OHB=90∘，
∴AD⊥BE，
∴AD=BE，AD⊥BE．
（3） 5−32≤PC≤5+32．
【解析】如图 3 中，作 AE⊥AP，使得 AE=PA，
则易证 △APE≌△ACP，
∴PC=BE，
图 3−1 中，当 P，E，B 共线时，BE 最小，
最小值 =PB−PE=5−32，
图 3−2 中，当 P，E，B 共线时，BE 最大，
最大值 =PB+PE=5+32，
∴5−32≤BE≤5+32，即 5−32≤PC≤5+32．