2021年北京房山区房山三中九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京房山区房山三中九年级上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列图形，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 如图所示的主视图和俯视图，其对应的几何体可以是
A. B.
C. D.

3. 把 △ABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍，则锐角 A 的正弦函数值
A. 不变B. 缩小为原来的 13
C. 扩大为原来的 3 倍D. 不能确定

4. 如图，⊙O 中，CD⊥AB 于点 E，若 ∠B=60∘，则 ∠A=
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

5. 如图，将左边第一个图中阴影部分的图形绕点 O 顺时针旋转 90∘ 得到的图形是
A. B.
C. D.

6. 抛物线 y=x2−3x+2 与 x 轴的交点个数是
A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个

7. 设 A−2,y1，B1,y2，C2,y3 是抛物线 y=−x+12+3 上的三点，则 y1，y2，y3 的大小关系为
A. y1>y2>y3B. y1>y3>y2C. y3>y2>y1D. y3>y1>y2

8. 按图 1−3 的方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式维续摆放，如果摆放的餐桌为 x 张，摆放的椅子为 y 把，则 y 与 x 之间的关系式为
A. y=6xB. y=4x−2C. y=5x−1D. y=4x+2

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 近视眼镜的度数 y （度）与镜片焦距 x （米）成反比例．已知 400 度近视眼镜片的焦距为 0.25 米，则眼镜度数 y 与镜片焦距 x 之间的函数关系式是 ．

10. 请你写出一个过点 0,2，且 y 随 x 增大而减小的一次函数解析式 ．

11. 抛物线 y=x2+bx+2 与 y 轴交于点 A，如果点 B2,2 和点 A 关于该抛物线的对称轴对称，那么 b 的值是 ．

12. 如图，若 Ax1,y1 与 Aʹx2,y2 关于原点对称．
则 x1 与 x2 互为 ，
y1 与 y2 互为 ．
结论：点 Px,y 关于原点对称的点的坐标为 ．

13. 如图，点 A，B，C 在 ⊙O 上，且 ∠A+∠BOC=120∘，则 ∠A 的度数是 ．

14. 如果圆的半径为 6 厘米，那么 30∘ 的圆心角所对的弧长等于 厘米．

15. 如图，⊙O 分别切 ∠BAC 的两边 AB，AC 于点 E，F，点 P 在优弧（EDF）上．若 ∠BAC=66∘，则 ∠EPF 等于 度．

16. 等边三角形绕着它的一边中点旋转 度，所得到的三角形与原三角形第一次重合．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：2cs30∘−2sin45∘+3tan60∘+1−2．

18. 如图，在 Rt△ABC 中，b=63，c=12，解这个直角三角形．

19. 已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象与 y 轴交于点 0,3，且经过点 A1,−8 和 B5,8．
（1）求二次函数的解析式，并写出其图象的顶点坐标；
（2）当 1≤x≤4 时，求二次函数的函数值 y 的取值范围．

20. 某学习小组在探索“各内角相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行了如下讨论：
甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；
乙同学：我发现边数是 6 时，它也不一定是正多边形，如图（1），△ABC 是正三角形，AD=BE=CF，可以证明六边形 ADBECE 的各内角相等，但它未必是正六边形；
丙同学：我能证明，边数是 5 时，它是正多边形．我想，边数是 7 时，它可能也是正多边形，⋯
（1）请你说明乙同学构造的六边形各内角相等；
（2）请你证明，各内角相等的圆内接七边形 ABCDEFG（如图（2））是正七边形；（不必写已知、求证）
（3）根据以上探索过程，提出你的猜想．（不必证明）

21. 在“综合与实践”活动中，某校九年级数学小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥 AB 是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥 AB 的上方 90m 的点 C 处悬停，此时测得桥两端 A，B 两点的俯角分别为 30∘ 和 45∘，求桥 AB 的长度．（结果精确到 1m．参考数据：2≈1.41，3≈1.73）

22. 已知：如图所示，圆 O 是等腰 △ABC 的外接圆，D 是底边 BC 延长线上一点，CD=12BC，AB=10，tanD=23．
（1）线段 BC 的长；
（2）圆 O 的半径．

23. 如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y=mxx<0 的图象相交于点 A−3,n，B−1,−3 两点，过点 A 作 AC⊥OP 于点 C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求四边形 ABOC 的面积．

24. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，BC 是弦，过点 O 作 OE⊥BC 于点 H 交 ⊙O 于点 E，在 OE 的延长线上取一点 D，使 ∠ODB=∠AEC，AE 与 BC 交于点 F．
（1）判断直线 BD 与 ⊙O 的位置关系，并给出证明；
（2）当 ⊙O 的半径是 5，BF=211，EF=113 时，求 CE 及 BH 的长．

25. 如图，PA，PB 是 ⊙O 的切线，CD 切 ⊙O 于点 E，△PCD 的周长为 12，∠APB=60∘．求：
（1）PA 的长；
（2）∠COD 的度数．

26. 已知二次函数 y=x2−ax+b 在 x=0 和 x=4 时的函数值相等．
（1）求二次函数 y=x2−ax+b 的对称轴；
（2）过 P0,1 作 x 轴的平行线与二次函数 y=x2−ax+b 的图象交于不同的两点 M，N．
① 当 MN=2 时，求 b 的值；
② 当 PM+PN=4 时，请结合函数图象，直接写出 b 的取值范围．

27. （1）（1）问题发现
如图1，△ACB 和 △DCE 均为等边三角形，点 A 、 D 、 E 在同一直线上，连接 BE .
填空：
（1）∠AEB 的度数为 ；
（2）线段 BE 和 AD 之间的数量关系是 ．
（2）拓展探究
如图2，△ACB 和 △DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘ ， 点 A 、 D 、 E 在同一直线上，CM 为 △DCE 中 DE 边上的高，连接 BE．请判断 ∠AEB 的度数及线段 CM 、 AE 、 BE 之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形 ABCD 中，CD=2．若点 P 满足 PD=1 ，且 ∠BPD=90∘，请直接写出点 A 到 BP 的距离．

28. 如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长为 1．格点三角形 ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点 A，C 的坐标分别是 −4,6，−1,4．
（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系（直接在图中画出）；
（2）请画出 △ABC 关于 x 轴对称的 △A1B1C1；
（3）写出点 A1，C1 的坐标．
答案
第一部分
1. B【解析】A选项：既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意，故A错误；
B选项：是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意，故B正确；
C选项：不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，故C错误；
D选项：既是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，故D错误．
2. D【解析】画出选项中各几何体的主视图和俯视图（图略），可知D符合题意，故选D．
3. A
4. A【解析】∵CD⊥AB，
∴∠AED=90∘，
∵∠D=∠B=60∘，
∴∠A=90∘−∠D=30∘．
5. B
6. C
7. A
8. D【解析】有 1 张桌子时有 6 把椅子，
有 2 张桌子时有 10 把椅子，10=6+4×1，
有 3 张桌子时有 14 把椅子，14=6+4×2，
∵ 多一张餐桌，多放 4 把椅子，
∴ 第 x 张餐桌共有 y=6+4x−1=4x+2．
第二部分
9. y=100x
10. y=−x+2（答案不唯一）
【解析】设 y=kx+b（k≠0），因为 y 随 x 的增大而减小，则 k<0，不妨令 k=−1，则 y=−x+b，再将 0,2 代入，得 b=2，故 y=−x+2．
11. −2
【解析】∵ 抛物线 y=x2+bx+2 与 y 轴交于点 A，
∴ 点 A 的坐标是：0,2，
∵ 点 B2,2 和点 A 关于该抛物线的对称轴对称，
∴ 抛物线的对称轴是：直线 x=1，
即：−b2a=1，
∴−b2×1=1，解得：b=−2．
12. 相反数，相反数，−x,−y
13. 40∘
14. 3.14
15. 57
16. 360
第三部分
17. 原式=2×32−2×22+33+2−1=3−2+33+2−1=43−1.
18. ∵∠C=90∘，b=63，c=12，
∴a=c2−b2=122−632=6．
∴c=2a．
∴∠A=30∘．
∴∠B=90∘−∠A=60∘．
19. （1） ∵ 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象与 y 轴交于点 0,3，且经过点 A1,−8 和 B5,8，
∴ c=3,a+b+c=−8,25a+5b+c=8, 解得 a=3,b=−14,c=3.
∴ 此二次函数的解析式为 y=3x2−14x+3，y=3x2−14x+3=3x−732−403，
∴ 此二次函数图象的顶点坐标为 73,−403．
（2） ∵ y=3x−732−403，
∴ 当 x=73 时，y 有最小值 −403；
当 x=4 时，y=34−732−403=−5，
当 x=1 时，y=−8．
∴ 当 1≤x≤4 时，二次函数的函数值 y 的取值范围是 −403≤y≤−5．
20. （1） 由图知 ∠AFC 对应 ABC．
因为 AD=CF，
而 ∠DAF 对应的 DEF=DBC+CF=AD+DBC=ABC．
∴∠AFC=∠DAF．
同理可证，其余各角都等于 ∠AFC．
∴ 图（1）中六边形各内角相等．
（2） ∵∠A 对应 BEG，∠B 对应 CEA，∠A=∠B，
∴BEG=CEA．
∴BC=AG．
同理，AB=CD=EF=AG=BC=DE=FG，
∴AB=CD=EF=AG=BC=DE=FG．
∴ 七边形 ABCDEFG 是正七边形．
（3） 猜想：当边数是偶数时，各内角相等的圆内接多边形不一定为正多边形；当边数是奇数时，各内角相等的圆内接多边形一定为正多边形．
21. 过 C 点作 CD⊥AB，垂足为 D．
∴∠ADC=∠BDC=90∘，
在 Rt△BDC 中
∵∠B=45∘，CD=90，
∴BD=CD=90．
在 Rt△ADC 中，
∵∠A=30∘，CD=90，
∴∠ACD=60∘，
∴AD=CD⋅tan60∘=903，
∴AB=AD+BD=903+90≈246m．
答：桥 AB 的长度约为 246m．
22. （1） 作 AH⊥BC，垂足为点 H．
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH．
∴ 点 O 在线段 AH 上．
设 BC=2x，则由 CD=12BC，可得 CD=x，在 Rt△AHD 中，
∵tanD=23，
∴AHDH=23，即 AH=43x．
在 Rt△ABH 中，
∵AB=10，
∴x2+43x2=102．
解得 x=6．
∴BC=12．
（2） ∵AB=10，BH=6，
∴AH=8．
设圆 O 的半径为 r．
在 Rt△BOH 中，得 8−r2+62=r2．解得 r=254．
23. （1） 将 B−1,−3 代入 y=mx 得，m=3，
∴ 反比例函数的关系式为 y=3x；
把 A−3,n 代入 y=3x 得，n=−1，
∴ 点 A−3,−1；
把点 A−3,−1，B−1,−3 代入一次函数 y=kx+b 得，
−3k+b=−1,−k+b=−3, 解得 k=−1,b=−4,
∴ 一次函数的关系式为 y=−x−4．
（2） 如图，过点 B 作 BM⊥OP，垂足为 M，
由题意可知，OM=1，BM=3，AC=1，
MC=OC−OM=3−1=2，
S四边形ABOC=S△BOM+S梯形ACMB=12×1×3+12×1+3×2=112.
24. （1） BD 是 ⊙O 的切线；理由如下：
∵∠AEC 与 ∠ABC 都是 AC 所对的圆周角，
∴∠AEC=∠ABC，
∵∠ODB=∠AEC，
∴∠ABC=∠ODB，
在 Rt△BDH 中，∠ODB+∠DBH=90∘，
∴∠ABC+∠DBF=90∘，即 ∠OBD=90∘，
∴BD⊥OB，
∴BD 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵ 同弧所对的圆周角相等，
∴∠A=∠C，∠ABF=∠CEF，
∴△CEF∽△ABF，
∴CEAB=EFBF=CFAF，即 CE10=113211，
解得：CE=5311；
连接 BE，如图所示：

∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠AEB=90∘，
∴BE=BF2−EF2=5311，
∴AE=AB2−BE2=253，
∴AF=AE−EF=253−113=143，
∴CF143=113211，
解得：CF=7119，
∴BC=BF+CF=25119，
∵OE⊥BC，
∴BH=CH=12BC=251118．
25. （1） ∵CA，CE 是 ⊙O 的切线，
∴CA=CE，
同理，DE=DB，PA=PB，
∴△PDC的周长=PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=PA+PB=2PA=12,
即 PA 的长为 6．
（2） ∵∠P=60∘，
∴∠PCE+∠PDE=120∘，
∴∠ACD+∠CDB=360∘−120∘=240∘，
∵CA，CE 是 ⊙O 的切线，
∴∠OCE=∠OCA=12∠ACD，
同理，∠ODE=12∠CDB，
∴∠OCE+∠ODE=12∠ACD+∠CDB=120∘，
∴∠COD=180∘−120∘=60∘．
26. （1） ∵ 二次函数 y=x2−ax+b 在 x=0 和 x=4 时的函数值相等．
∴ 对称轴为直线 x=2．
（2） ① 不妨设点 M 在点 N 的左侧，
∵ 对称轴为直线 x=2，MN=2，
∴ 点 M 的坐标为 1,1，点 N 的坐标为 3,1，
∴x=−−a2=2，1=1−a+b，
∴a=4，b=4．
②1≤b<5．
27. （1） ① 60∘ ；② AD=BE
（2） ∵△ACB 和 △DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCB=∠DCE−∠DCB，即 ∠ACD=∠BCE .
∴△ACD≌△BCE .
∴AD=BE，∠BEC=∠ADC=135∘．
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=135∘−45∘=90∘．
在等腰直角三角形 DCE 中，CM 为斜边 DE 上的高，
∴CM=DM=ME .
∵DE=2CM ，
∴AE=DE+AD=2CM+BE .
（3） PD=1，∠BPD=90∘，
∴BP 是以点 D 为圆心、以 1 为半径的 OD 的切线，点 P 为切点．
第一种情况：如图①，过点 A 作 AP 的垂线，交 BP 于点 Pʹ，
可证 △APD≌△APʹB，PD=PʹB=1，CD=2 .
∴BD=2，BP=3 .
∴AM=12PPʹ=12PB−BPʹ=3−12 .
第二种情况如图②，
可得 AM=12PPʹ=12PB+BPʹ=3+12
28. （1） 如图所示．
（2） 如图所示，△A1B1C1 即为所求．
（3） 点 A1 的坐标为 −4,−6，C1 的坐标为 −1,−4．