2021年北京石景山区石景山区实验中学九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京石景山区石景山区实验中学九年级上期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 抛物线 y=2x−32+4 的顶点坐标是
A. 3,4B. −3,4C. 3,−4D. 2,4

2. 如图，A，B 两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了 A，B 间的距离：先在 AB 外选一点 C，然后测出 AC，BC 的中点 M，N，并测量出 MN 的长为 12 m，由此他就知道了 A 、 B 间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是
A. AB=24 mB. MN∥AB
C. △CMN∽△CABD. CM:MA=1:2

3. 如图，一个三角尺 ABC 的斜边 AB 与量角器的直径恰好重合，点 D 对应的刻度是 46∘，则 ∠ACD 的度数为
A. 46∘B. 23∘C. 44∘D. 67∘

4. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，下列比例式不能判定 DE∥BC 的是
A. ADDB=AEECB. ABAD=ACAEC. ADAB=DEBCD. BDAB=CEAC

5. 反比例函数 y=kx 的图象如图所示，则 k 的值可能是
A. −1B. 12C. 1D. 2

6. 在下列命题中，真命题是
A. 两个钝角三角形一定相似B. 两个等腰三角形一定相似
C. 两个直角三角形一定相似D. 两个等边三角形一定相似

7. 下列二次函数的图象与 x 轴有两个不同的交点的是
A. y=x2B. y=x2+4C. y=3x2−2x+5D. y=3x2+5x−1

8. 已知二次函数 y1=ax2+bx+ca≠0 和一次函数 y2=kx+nk≠0 的图象如图所示，下面有四个推断：
①二次函数 y1 有最大值；
②二次函数 y1 的图象关于直线 x=−1 对称；
③当 x=−2 时，二次函数 y1 的值大于 0；
④过动点 Pm,0 且垂直于 x 轴的直线与 y1，y2 的图象的交点分别为 C，D，当点 C 位于点 D 上方时，m 的取值范围是 m<−3 或 m>−1．
其中正确的是
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 反比例函数 y=4x 的图象过点 1,a，则 a= ．

10. 请写出一个开口向下，且与 y 轴的交点坐标为 0,2 的抛物线的表达式： ．

11. 如图，在 △ABC 与 △AED 中，ABAE=BCED，要使 △ABC 与 △AED 相似，还需添一个条件，这个条件可以是 （只需填一个条件）．

12. 如图，在 ⊙O 中，弦 AB=8 cm，OC⊥AB，垂足为 C，OC=3 cm，则 ⊙O 的半径为 cm．

13. 把二次函数的表达式 y=x2−4x+6 化为 y=ax−h2+k 的形式，那么 h+k= ．

14. 一个扇形的面积是它所在圆面积的 35，则这个扇形的圆心角是 ．

15. 如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，测得 AB=2 米，BP=3 米，PD=12 米，那么该古城墙的高度 CD 是 米．

16. 如图，将边长为 10 cm 的等边三角形 ABC，沿边 BC 向右平移 5 cm 得到三角形 DEF，则四边形 ABFD 的周长是 cm．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：32×12+2×5．

18. 已知：如图，AD 是 △ABC 的中线，AE 是 △ABC 的高，AB=6，AC=8，BC=10．
（1）求 AD 的长；
（2）求 DE 的长．

19. 如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位 AB 时，宽 20 m，水位上升 3 m 就达到警戒线 CD，这时水面宽度为 10 m．
（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时 0.2 m 的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶?

20. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，AC 是 ⊙O 的切线，BC 交 ⊙O 于点 E．
（1）若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是 ⊙O 的切线；
（2）若 CA=6，CE=3.6，求 ⊙O 的半径 OA 的长．

21. 如图，在 △ABC 中，∠A>∠B．
（1）作边 AB 的垂直平分线 DE，与 AB，BC 分别相交于点 D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接 AE，若 ∠B=50∘，求 ∠AEC 的度数．

22. 回答下列问题：
（1）【知识运用】如图①，PC=PD，QC=QD，PQ，CD 相交于点 E．求证：PQ⊥CD．
（2）【数学思考】如图②，已知三个点 A，B 和 C，只允许用圆规作点 D，使得 C，D 两点关于 AB 所在的直线对称．

23. 为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具、图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档 AC 与 CD 的长分别为 45 cm 和 60 cm，且它们互相垂直，座杆 CE 的长为 20 cm．点 A 、 C 、 E 在同一条直线上，且 ∠CAB=75∘．（参考数据：sin75∘=0.966，cs75∘=0.259，tan75∘=3.732）
（1）求车架档 AD 的长；
（2）求车座点 E 到车架档 AB 的距离（结果精确到 1 cm）．

24. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x+2 与双曲线 y=kx 相交于点 Am,3．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若 P 是坐标轴上一点，当 OA=PA 时．直接写出点 P 的坐标．

25. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=6，csA=35．D 是 AB 边的中点，过点 D 作直线 CD 的垂线，与边 BC 相交于点 E．
（1）求线段 CE 的长；
（2）求 sin∠BDE 的值．

26. 如图，已知二次函数 y=−x2+bx+c 的图象经过点 A−1,0，B3,0，与 y 轴交于点 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点 P，使 ∠PAB=∠ABC，若存在，请直接写出点 P 的坐标．若不存在，请说明理由．

27. （1）（1）问题发现
如图1，△ACB 和 △DCE 均为等边三角形，点 A 、 D 、 E 在同一直线上，连接 BE .
填空：
（1）∠AEB 的度数为 ；
（2）线段 BE 和 AD 之间的数量关系是 ．
（2）拓展探究
如图2，△ACB 和 △DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘ ， 点 A 、 D 、 E 在同一直线上，CM 为 △DCE 中 DE 边上的高，连接 BE．请判断 ∠AEB 的度数及线段 CM 、 AE 、 BE 之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形 ABCD 中，CD=2．若点 P 满足 PD=1 ，且 ∠BPD=90∘，请直接写出点 A 到 BP 的距离．

28. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 Px,y，若点 Q 的坐标为 ax+y,x+ay，其中 a 为常数，则称点 Q 是点 P 的“a 级关联点”．例如，点 P1,4 的“3 级关联点”为 Q3×1+4,1+3×4，即 Q7,13．
（1）已知点 A−2,6 的“12 级关联点”是点 A1，点 B1,b 的“2 级关联点”是点 B13,3，求点 A1 和点 B 的坐标．
（2）已知点 Mm−1,2m 的“−3 级关联点”Mʹ 位于 y 轴上，求 Mʹ 的坐标．
（3）已知点 C−1,3，D4,3，点 N1,y 和它的“4 级关联点”Nʹ 到 CD 所在直线的距离相等．求点 N 及 Nʹ 的坐标．
答案
第一部分
1. A【解析】根据二次函数的顶点式 y=ax−h2+k 的顶点坐标为 h,k，可知此函数的顶点坐标为 3,4．
2. D
3. D【解析】如图，连接 OD，
∵ 三角尺 ABC 的斜边 AB 与量角器的直径恰好重合，
∴A，B，C，D 四点共圆，
∵ 点 D 对应的刻度是 46∘，
∴∠BOD=46∘，
∴∠BCD=12∠BOD=23∘，
∴∠ACD=90∘−∠BCD=67∘．
4. C
5. B
6. D
7. D【解析】A．令 y=0，Δ=b2−4ac=0，与 x 轴只有 1 个交点，故本选项错误；
B．令 y=0，Δ=b2−4ac=0−4×1×4=−16<0，与 x 轴没有交点，故本选项错误；
C．令 y=0，Δ=b2−4ac=−22−4×3×5=−56<0，与 x 轴没有交点，故本选项错误；
D．令 y=0，Δ=b2−4ac=52−4×3×−1=37>0，与 x 轴有两个不同的交点，故本选项正确．
8. D【解析】∵ 二次函数 y1=ax2+bx+ca≠0 的图象的开口向上，
∴ 二次函数 y1 有最小值，故①错误；
观察函数图象可知二次函数 y1 的图象关于直线 x=−1 对称，故②正确；
当 x=−2 时，二次函数 y1 的值小于 0，故③错误；
当 x<−3 或 x>−1 时，抛物线在直线的上方，
∴m 的取值范围为：m<−3 或 m>−1，故④正确．
第二部分
9. 4
10. 答案不唯一，如：y=−x2+2．
11. ∠B=∠E
【解析】添加条件：∠B=∠E；
∵ABAE=BCED，∠B=∠E，
∴△ABC∽△AED．
12. 5
13. 4
14. 216∘
15. 8
【解析】如图所示，
由题意可得：∠APE=∠CPE，
∴ ∠APB=∠CPD．
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90∘，
∴△ABP∽△CDP，
∴ABBP=CDPD．
∵AB=2 米，BP=3 米，PD=12 米，
∴23=CD12，
∴CD=8 米．
16. 40
【解析】∵△ABC 沿边 BC 平移 5 cm 得到 △DEF，
∴DF=AC=10 cm，AD=CF=5 cm，
∴ 四边形 ADFB 的周长是 =AB+BC+CF+DF+AD=10+10+5+10+5=40 cm．
第三部分
17. 32×12+2×5=16+10=4+10.
18. （1） ∵BC=10，AC=8，AB=6，
∴BC2=AC2+AB2，
∴∠BAC=90∘，
∵BD=DC，
∴AD=12BC=5．
（2） ∵AE⊥BC，∠BAC=90∘，
∴12⋅BC⋅AE=12⋅AB⋅AC，
∴AE=4810=4.8，
∴DE=AD2−AE2=1.4．
19. （1） 设所求抛物线的解析式为 y=ax2，设 D5,b，则 B10,b−3，把 D，B 的坐标分别代入 y=ax2，
得
25a=b,100a=b−3.
解得
a=−125,b=−1.∴y=−125x2
．
（2） ∵b=−1，
∴ 拱桥顶 O 到 CD 的距离为 1，
∴1÷0.2=5（小时）．所以再持续 5 小时到达拱桥顶．
20. （1） 如图，连接 AE，OE，
∵AB 是 ⊙O 的直径，且 E 在 ⊙O 上，
∴∠AEB=90∘．
在 Rt△AEC 中，
∵D 为 AC 的中点，
∴DE=DC=DA．
∴∠DEA=∠DAE．
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∵AC 是 ⊙O 的切线，
∴AC⊥AB．
∴∠DAE+∠OAE=90∘，
∴∠DEA+∠OEA=∠DEO=90∘，
∴OE⊥DE，
∴DE 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵∠AEC=∠CAB=90∘，∠C=∠C，
∴△AEC∽△BAC．
∴ACBC=ECAC．
∵CA=6，CE=3.6，
∴6BC=3.66，
∴BC=10．
∵∠CAB=90∘，
∴AB2+AC2=BC2．
∴AB=102−62=8．
∴OA=4，即 ⊙O 的半径 OA 的长是 4．
21. （1） 如图所示，直线 ED 即为所求．
（2） ∵ 直线 ED 是线段 AB 的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠EAB=∠B．
∵∠B=50∘，
∴∠EAB=50∘．
∵∠AEC=∠EAB+∠B，
∴∠AEC=100∘．
22. （1） ∵PC=PD，QC=QD，
∴P，Q 在线段 CD 的垂直平分线上，
∴PQ⊥CD．
（2） 以 A 为圆心，AC 的长为半径画弧，再以 B 为圆心，BC 的长为半径画弧，两弧交于点 D，点 D 即为所求．
∵AC=AD，BC=BD，
∴A，B 在线段 CD 的垂直平分线上，
∴C，D 两点关于 AB 所在的直线对称．
23. （1） ∵ 在 Rt△ACD 中，AC=45 cm，DC=60 cm
∴AD=452+602=75cm，
∴ 车架档 AD 的长是 75 cm．
（2）
过点 E 作 EF⊥AB，垂足为 F，
∵AE=AC+CE=45+20cm，
∴EF=AEsin75∘=45+20sin75∘≈62.7835≈63cm，
∴ 车座点 E 到车架档 AB 的距离约是 63 cm．
24. （1） ∵ 直线 y=x+2 与双曲线 y=kx 相交于点 Am,3．
∴3=m+2，解得 m=1．
∴A1,3．
把 A1,3 代入 y=kx 解得 k=3．
∴y=3x．
（2） P0,6 或 P2,0．
25. （1） ∵∠ACB=90∘，AC=6，csA=35，
∴ACAB=35，
∴AB=10，
∴BC=AB2−AC2=8，
又 ∵D 为 AB 中点，
∴AD=BD=CD=12AB=5，
∴∠DCB=∠B，
∴cs∠DCB=CDCE，cs∠B=BCAB，
∴5CE=810，
∴CE=254．
（2） 作 EF⊥AB 交 AB 于 F，
由（1）知 CE=254，
则 BE=8−254=74，DE=CE2−CD2=154，
设 BF=x，则 DF=BD−BF=5−x，
在 Rt△DEF 中，EF2=DE2−DF2=1542−5−x2，
在 Rt△BEF 中，EF2=BE2−BF2=742−x2，
∴22516−5−x2=4916−x2，
解得 x=75，
∴sin∠BDE=EFDE=725．
26. （1） 根据题意得 −1−b+c=0,−9+3b+c=0,
解得 b=2,c=3.
故抛物线的解析式为 y=−x2+2x+3．
（2） P12,3，P24,−5．
【解析】二次函数 y=−x2+2x+3 的对称轴是 x=−1+3÷2=1，
当 x=0 时，y=3，则 C0,3，
点 C 关于对称轴的对应点 P12,3，
设直线 BC 的解析式为 y=kx+3，
则 3k+3=0，解得 k=−1．
∴ 直线 BC 的解析式为 y=−x+3，
设与 BC 平行的直线 AP 的解析式为 y=−x+m，
则 1+m=0，解得 m=−1．
∴ 与 BC 平行的直线 AP 的解析式为 y=−x−1，
联立抛物线解析式得 y=−x−1,y=−x2+2x+3,
解得 x1=4,y1=−5, x2=−1,y2=0,（舍去）．
∴ 得 P24,−5．
综上所述，P12,3，P24,−5．
27. （1） ① 60∘ ；② AD=BE
（2） ∵△ACB 和 △DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCB=∠DCE−∠DCB，即 ∠ACD=∠BCE .
∴△ACD≌△BCE .
∴AD=BE，∠BEC=∠ADC=135∘．
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=135∘−45∘=90∘．
在等腰直角三角形 DCE 中，CM 为斜边 DE 上的高，
∴CM=DM=ME .
∵DE=2CM ，
∴AE=DE+AD=2CM+BE .
（3） PD=1，∠BPD=90∘，
∴BP 是以点 D 为圆心、以 1 为半径的 OD 的切线，点 P 为切点．
第一种情况：如图①，过点 A 作 AP 的垂线，交 BP 于点 Pʹ，
可证 △APD≌△APʹB，PD=PʹB=1，CD=2 .
∴BD=2，BP=3 .
∴AM=12PPʹ=12PB−BPʹ=3−12 .
第二种情况如图②，
可得 AM=12PPʹ=12PB+BPʹ=3+12
28. （1） ∵ 点 A−2,6 的“12 级关联点”是点 A1，
∴A1−2×12+6,−2+12×6，
即 A15,1．
∵ 点 B1,b 的“2 级关联点”是 B13,3，
∴2+b=3，
解得 b=1，
∴B1,1．
（2） ∵ 点 Mm−1,2m 的“−3 级关联点”为 Mʹ−3m−1+2m,m−1+−3×2m，
Mʹ 位于 y 轴上，
∴−3m−1+2m=0，解得：m=3，
∴m−1+−3×2m=−16，
∴Mʹ0,−16．
（3） 根据题意得 Nʹ4+y,1+4y，
①当点 N 和 Nʹ 在直线 CD 同侧时，
1+4y=y，解得 y=−13，
此时 N1,−13，Nʹ113,−13；
②当点 N 和 Nʹ 在直线 CD 异侧时，1+4y−3=3−y，
解得 y=1，
此时 N1,1，Nʹ5,5．