数学必修 第二册7.2 复数的四则运算学案及答案

这是一份数学必修 第二册7.2 复数的四则运算学案及答案

7.2.2 复数的乘、除运算【学习目标】【自主学习】一．复数乘法的运算法则和运算律1.复数乘法的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ ．2.复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有推论：(1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)．(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．(3)(1±i)2＝±2i.　 二．复数除法的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)(a，b，c，d∈R)，则eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝ (c＋di≠0)．【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)两个复数的积与商一定是虚数．(　　)(2)两个共轭复数的和与积是实数．(　　)(3)若z为复数，则z 2=|z|2．(　　) (4)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．(　　)2.(1＋i)(2－i)＝(　　)A．－3－i　　　　　B．－3＋i C．3－i D．3＋i 【经典例题】题型一 复数的乘法运算点拨：1.复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行运算，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)．2.多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．例1　计算下列各题．(1)(1－2i)(3＋4i) (－2＋i)；(2)(2－3i)(2＋3i)；(3)（1+i）2 .【跟踪训练】1 已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　)A．5－4i B．5＋4i C．3－4i D．3＋4i题型二 复数的除法运算点拨：1.实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．2.代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．例2 计算(1＋2i) QUOTE ÷ ÷(3－4i).【跟踪训练】2 计算：(1)eq \f(3＋2i,2－3i)＋eq \f(3－2i,2＋3i)；(2)eq \f(（i－2）（i－1）,（1＋i）（i－1）＋i).题型三 在复数范围内解方程点拨：在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法1.求根公式法①当Δ≥0时，x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a). ②当Δ<0时，x＝eq \f(－b±\r(－（b2－4ac）)i,2a).2.利用复数相等的定义求解设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．　 例3 解方程（1）x2+2=0（2）ax2+bx+c=0，其中a,b,c∈R，且a≠0，∆=b2−4ac＜0.【跟踪训练】3 在复数范围内，方程x2＋6x＋10＝0的根为x＝________．【当堂达标】1．计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝ (　　)A．2－13i　　　　B．13＋2i C．13－13i D．－13－2i2.复数eq \f(i2＋i3＋i4,1－i)＝(　　)A．－eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i　　　 B．－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i C.eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i D.eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i3.若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)A．－1－i B．－1＋I C．1－i D．1＋i4.已知复数z满足z＝(－1＋3i)·(1－i)－4，复数z的共轭复数 .5.已知z1＝1－i，z2＝2＋2i.(1)求z1·z2；(2)若eq \f(1,z)＝eq \f(1,z1)＋eq \f(1,z2)，求z.6.已知3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．【参考答案】【自主学习】 (ac－bd)＋(ad＋bc)i z2z1 z1(z2z3) z1z2＋z1z3 eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i【小试牛刀】1.(1)×　(2)√ (3) ×　(3)√2.D 【经典例题】例1　解析 (1)原式=(11－2i)(-2＋i)＝－20＋15i.(2)原式=(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝4－9i2＝4+9＝13.(3)原式＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i.【跟踪训练】1 D 因为a－i与2＋bi互为共轭复数，所以a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.例2 解析　原式=1+2i3−4i=（1+2i）（3+4i）（3−4i）（3+4i）=−5+10i25=−15+25i【跟踪训练】2 解：(1)eq \f(3＋2i,2－3i)＋eq \f(3－2i,2＋3i)＝eq \f(i（2－3i）,2－3i)＋eq \f(－i（2＋3i）,2＋3i)＝i－i＝0.(2)eq \f(（i－2）（i－1）,（1＋i）（i－1）＋i)＝eq \f(i2－i－2i＋2,i－1＋i2－i＋i)＝eq \f(1－3i,i－2)＝eq \f(－2－i＋6i＋3i2,5)＝eq \f(－5＋5i,5)＝－1＋i.例3 【跟踪训练】3 －3±i 解析：因为b2－4ac＝62－4×1×10＝－4<0，所以x＝eq \f(－6±\r(－（62－40）)i,2×1)＝eq \f(－6±\r(4)i,2)＝eq \f(－6±2i,2)＝－3±i.【当堂达标】1.D 解析 (1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.2.C 解析：因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以eq \f(i2＋i3＋i4,1－i)＝eq \f(－i,1－i)＝eq \f(－i（1＋i）,2)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i.3.D 解析：由z(1＋i)＝2i，得z＝eq \f(2i,1＋i)＝eq \f(2i（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq \f(2i（1－i）,2)＝i(1－i)＝1＋i.4. －2－4i 解析： z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，所以复数z的共轭复数为－2－4i.5.解：(1)因为z1＝1－i，z2＝2＋2i，所以z1·z2＝(1－i)(2＋2i)＝4.(2)由eq \f(1,z)＝eq \f(1,z1)＋eq \f(1,z2)，得z＝eq \f(z1·z2,z1＋z2)，所以z＝eq \f(4,（1－i）＋（2＋2i）)＝eq \f(4,3＋i)＝eq \f(6－2i,5)＝eq \f(6,5)－eq \f(2,5)i.6.解：因为3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的根，所以2(3＋2i)2＋p(3＋2i)＋q＝0，即2(9＋12i－4)＋(3p＋2pi)＋q＝0，整理得(10＋3p＋q)＋(24＋2p)i＝0，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10＋3p＋q＝0，,24＋2p＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p＝－12，,q＝26.))素 养 目 标学 科 素 养1.掌握复数乘除运算的运算法则，能够进行复数的乘除运算；2.理解复数乘法的运算律；3.会在复数范围内解方程。1.数学运算;2.逻辑推理交换律z1z2＝ 结合律(z1z2)z3＝ 乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝