数学必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示导学案

这是一份数学必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示导学案

6.3.1 平面向量基本定理【学习目标】【自主学习】平面向量基本定理思考：基底有什么特点？平面内基底唯一吗？【小试牛刀】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)基底中的向量不能为零向量．(　　)(2)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则必有a＝c，b＝d.(　　)(3)若两个向量的夹角为θ，则当|cosθ|＝1时，两个向量共线．(　　)(4)若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是60°.(　　)(5)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．(　　)(6)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.　(　　)【经典例题】题型一 平面向量基本定理的理解点拨：(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这个基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝x2，,y1＝y2.))(3)一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．例1 如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　 　)①a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则eq \f(λ1,λ2)＝eq \f(μ1,μ2).④若实数λ、μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.A．①② 　　 B．②③　　C．③④　　 D．②【跟踪训练】1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．题型二 用基底表示平面向量点拨：方法1：运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．方法2：通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．　例2 如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，eq \o(BA,\s\up6(→))＝a，eq \o(BC,\s\up6(→))＝b.试以{a，b}为基底表示eq \o(EF,\s\up6(→))，eq \o(DF,\s\up6(→)). 【跟踪训练】2 如图所示，在△OAB中，eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，M、N分别是边OA、OB上的点，且eq \o(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)a，eq \o(ON,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b，设eq \o(AN,\s\up6(→))与eq \o(BM,\s\up6(→))交于点P，用向量a、b表示eq \o(OP,\s\up6(→)).分析: 通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解λ1，λ2.【当堂达标】1.下列说法中，正确说法的个数是(　 　)①在△ABC中，eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(AC,\s\up6(→))可以作为基底；②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的；③零向量不能作为基底．A．0　　　　B．1 C．2　　　　D．32.如图在矩形ABCD中，若eq \o(BC,\s\up6(→))＝5e1，eq \o(DC,\s\up6(→))＝3e2，则eq \o(OC,\s\up6(→))＝(　　)A.eq \f(1,2)(5e1＋3e2)　　　　　　 B.eq \f(1,2)(5e1－3e2)C.eq \f(1,2)(3e2－5e1) D.eq \f(1,2)(5e2－3e1)3.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，eq \o(OP,\s\up6(→))＝xeq \o(OA,\s\up6(→))＋yeq \o(OB,\s\up6(→))，且eq \o(BP,\s\up6(→))＝2eq \o(PA,\s\up6(→))，则(　 　)A．x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,3) B．x＝eq \f(1,3)，y＝eq \f(2,3)C．x＝eq \f(1,4)，y＝eq \f(3,4) D．x＝eq \f(3,4)，y＝eq \f(1,4)4.已知非零向量eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))不共线，且2eq \o(OP,\s\up6(→))＝xeq \o(OA,\s\up6(→))＋yeq \o(OB,\s\up6(→))，若eq \o(PA,\s\up6(→))＝λeq \o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，则x，y满足的关系是(　　)A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝05.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝ .6.如图，在平行四边形ABCD中，设eq \o(AC,\s\up6(→))＝a，eq \o(BD,\s\up6(→))＝b，试用基底{a，b}表示eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(BC,\s\up6(→)).【参考答案】【自主学习】不共线向量 a＝λ1e1＋λ2e2 思考：基底中的两向量e1，e2不共线，这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．【小试牛刀】(1) ×　(2)×　(3)√　(4)√ (5) × (6)√ 【经典例题】例1 B [解析]　由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.故选B．【跟踪训练】1 ③ 解析：①设e1＋e2＝λe1，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,1＝0，))无解，所以e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2能作为一组基底．②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋2λ＝0，,2＋λ＝0，))无解，所以e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1能作为一组基底．③因为e1－2e2＝－eq \f(1,2)(4e2－2e1)，所以e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一组基底．④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－λ＝0，,1＋λ＝0，))无解，所以e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2能作为一组基底．例2 解：连接FA，DF.因为AD∥BC，且AD＝eq \f(1,3)BC，所以eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)b，所以eq \o(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)b.因为eq \o(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(BC,\s\up6(→))，所以eq \o(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b，所以eq \o(FA,\s\up6(→))＝eq \o(BA,\s\up6(→))－eq \o(BF,\s\up6(→))＝a－eq \f(1,2)b.所以eq \o(EF,\s\up6(→))＝eq \o(EA,\s\up6(→))＋eq \o(AF,\s\up6(→))＝－eq \o(AE,\s\up6(→))－eq \o(FA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,6)b－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)b))＝eq \f(1,3)b－a，eq \o(DF,\s\up6(→))＝eq \o(DA,\s\up6(→))＋eq \o(AF,\s\up6(→))＝－(eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \o(FA,\s\up6(→)))＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)b＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)b))))＝eq \f(1,6)b－a.【跟踪训练】2 [解]　∵eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(OM,\s\up6(→))＋eq \o(MP,\s\up6(→))，eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(ON,\s\up6(→))＋eq \o(NP,\s\up6(→))，设eq \o(MP,\s\up6(→))＝meq \o(MB,\s\up6(→))，eq \o(NP,\s\up6(→))＝neq \o(NA,\s\up6(→))，则eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(OM,\s\up6(→))＋meq \o(MB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)a＋m(b－eq \f(1,3)a)＝eq \f(1,3)(1－m)a＋mb，eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(ON,\s\up6(→))＋neq \o(NA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(1－n)b＋na.∵a与b不共线，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,3)1－m＝n，,\f(1,2)1－n＝m，))∴n＝eq \f(1,5).∴eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)a＋eq \f(2,5)b.【当堂达标】1.C 解析：①③正确，②错误．2.A 解析：选A.eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(DC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(5e1＋3e2)．3.A [解析]　eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(AP,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)OB．∴x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,3).4.A 解析：选A.由eq \o(PA,\s\up6(→))＝λeq \o(AB,\s\up6(→))，得eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OP,\s\up6(→))＝λ(eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→)))，即eq \o(OP,\s\up6(→))＝(1＋λ)eq \o(OA,\s\up6(→))－λeq \o(OB,\s\up6(→)).又2eq \o(OP,\s\up6(→))＝xeq \o(OA,\s\up6(→))＋yeq \o(OB,\s\up6(→))，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2λ，,y＝－2λ，))消去λ得x＋y＝2.5. 3 解析：∵e1，e2不共线，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－4y＝6,2x－3y＝3))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝6,y＝3.))　∴x－y＝3.6.解：法一：设AC，BD交于点O，则有eq \o(AO,\s\up6(→))＝eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a，eq \o(BO,\s\up6(→))＝eq \o(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b.所以eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(AO,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→))＝eq \o(AO,\s\up6(→))－eq \o(BO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b，eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \o(BO,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b.法二：设eq \o(AB,\s\up6(→))＝x，eq \o(BC,\s\up6(→))＝y，则eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \o(BC,\s\up6(→))＝y，又eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(BC,\s\up6(→))＝\o(AC,\s\up6(→))，,\o(AD,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))＝\o(BD,\s\up6(→))，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝a，,y－x＝b，))解得x＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b，y＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b，即eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b，eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b.素 养 目 标学 科 素 养1. 理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义。（重点）2. 掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量。（重点）1.数学运算;2.数学抽象条件e1，e2是同一平面内的两个 结论对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 基底若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底