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2022届中考典型解答题专题练习：反比函数与一次函综合问题（一）
展开这是一份2022届中考典型解答题专题练习：反比函数与一次函综合问题（一），共11页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
一、解答题（共10小题；共130分）
1. 如图，一次函数 y=−x+b 的图象与反比例函数 y=kxx<0 的图象交于点 A−3,m，与 x 轴交于点 B−2,0．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若直线 y=3 与直线 AB 交于点 C，与双曲线交于点 D，求 CD 的长．
2. 如图，一次函数的图象与反比例函数 y1=−3xx<0 的图象相交于 A 点，与 y 轴、 x 轴分别相交于 B，C 两点，且 C2,0．当 x<−1 时，一次函数值大于反比例函数值，当 x>−1 时，一次函数值小于反比例函数值．
（1）求一次函数的解析式．
（2）设函数 y2=axx>0 的图象与 y1=−3xx<0 的图象关于 y 轴对称，在 y2=axx>0 的图象上取一点 P（P 点的横坐标大于 2），过 P 作 PQ⊥x 轴，垂足是 Q，若四边形 BCQP 的面积等于 2，求 P 点的坐标．
3. 已知点 A2,m+3 在双曲线 y=mx 上．
（1）求此双曲线的表达式与点 A 的坐标．
（2）如果点 Ba,5−a 在此双曲线上，图象经过点 A，B 的一次函数的函数值 y 随 x 的增大而增大，求此一次函数的解析式．
4. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的斜边 BC 在 x 轴上，坐标原点是 BC 的中点，∠ABC=30∘，BC=4，双曲线 y=kx 经过点 A．
（1）求 k；
（2）直线 AC 与双曲线 y=−33x 在第四象限交于点 D，求 △ABD 的面积．
5. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y1=kx+bk≠0 的图象与反比例函数 y2=mxm≠0 的图象交于 A3,5，Ba,−3 两点，与 x 轴交于点 C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在 y 轴上找一点 P 使 PB−PC 最大，求 PB−PC 的最大值及点 P 的坐标；
（3）直接写出当 y1>y2 时，x 的取值范围．
6. 如图，函数 y=x 的图象与函数 y=kxx>0 的图象相交于点 P2,m．
（1）求 m，k 的值．
（2）直线 y=4 与函数 y=x 的图象相交于点 A，与函数 y=kxx>0 的图象相交于点 B，求线段 AB 长．
7. 如图，直线 AC 与反比例函数 y=−6x（x<0）的图象相交于点 A−1,m，与 x 轴交于点 C5,0，点 D 是线段 AC 上任意一点，连接 OD．
（1）求 m 的值及直线 AC 的解析式．
（2）将 OD 绕点 O 逆时针旋转 90∘ 得到 ODʹ，点 Dʹ 恰好落在反比例函数 y=−6x（x<0）的图象上，求点 D 的坐标．
8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=−4x+2 的图象与 y 轴交于点 A，与反比例函数 y=kxk≠0 的图象交于点 B−1,m，Cn,−4．过点 A 作 AD⊥y轴 交反比例函数 y=kxk≠0 的图象于点 D，连接 BD．
（1）求该反比例函数的表达式和点 C 的坐标；
（2）求 △ABD 的面积；
（3）请直接写出不等式 kx<−4x+2 的解集．
9. 如图，已知一次函数 y1=k1x+b 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 A−2,0，B 两点，与反比例函数 y2=k2x 的图象分别交于 C，D2,−3 两点．
（1）求一次函数 y1=k1x+b 与反比例函数 y2=k2x 的解析式．
（2）求交点 C 的坐标．
（3）直接写出当 y1>y2 时，自变量 x 的取值范围．
（4）若点 Q 在 x 轴上，且 S△ACQ=13S△COD，求点 Q 的坐标．
（5）若 P 是 y 轴上一点，且 △DOP 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标．
（6）在 y 轴上是否存在一点 H，使 HA+HC 的值最小?若存在，请求出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由．
10. 如图，直线 AB 与反比例函数 y=kxx>0 的图象交于 A，B 两点，已知点 A 的坐标为 2,4，△AOB 的面积为 6．
（1）反比例函数的表达式；
（2）求直线 AB 的函数表达式；
（3）若动点 P 在 y 轴上运动，当 ∣PA−PB∣ 最大时，求 P 点坐标．
答案
第一部分
1. （1） 把 B−2,0 代入 y=−x+b，得 0=2+b，
∴b=−2，
∴ 一次函数的解析式为 y=−x−2，
把 A−3,m 代入 y=−x−2，得 m=3−2，
∴m=1，
∴A−3,1，
把 A−3,1 代入 y=kx，得 k=−3×1=−3，
∴ 反比例函数的解析式为 y=−3x．
（2） 由题可知 yC=yD=3，
当 yC=3 时，−xC−2=3，解得 xC=−5．
当 yD=3 时，3=−3xD，解得 xD=−1，
∴CD=xD−xC=−1−−5=4．
2. （1） 根据题意当 x<−1 时，一次函数值大于反比例函数值，
当 x>−1 时，一次函数值小于反比例函数值，
∴ 交点 A 的横坐标为 −1，代入反比例解析式可得 y=−3−1=3，
∴A 的坐标为 −1,3；设一次函数解析式为 y=kx+b，
将点 A−1,3 和点 C2,0 代入得 −k+b=3, ⋯⋯①2k+b=0. ⋯⋯②
② − ①得 3k=−3，k=−1，代入①中得 b=2，
∴ 一次函数的解析式为 y=−x+2．
（2） 函数 y2=axx>0 的图象与 y1=−3xx<0 对称，
∴y2=3xx>0，
设 P 点横坐标为 x，
∴ 纵坐标为 3x，
由（1）中 y=−x+2 可以求得 B0,2，C2,0；
若四边形 BCQP 的面积等于 2，
∴ 梯形 OQPB 的面积为 2+12×2×2=4，
∵S梯形OQPB=12×PQ+OB×OQ=123x+2×x=3+2x2=4，
解得 x=52，将 x=52 代入 y2=3xx>0 得 y=65，
∴P 点坐标为 52,65．
3. （1） A2,m+3 在 y=mx 上，
∴m+3=m2，
2m+6=m，
m=−6，
∴y=−6x，A2,−3．
（2） 点 Ba,5−a 在双曲线上，
∴5−a=−6a，
5a−a2=−6，
a2−5a−6=0，
a−6a+1=0，
a1=6，a2=−1，
∴B16,1，B2−1,6．
又过点 A，B 的一次函数值随 x 增大而增大，
kAB1=1−−36−2=44=1>0，
kAB2=6−−3−1−2=9−3=−3<0（舍），
∴ 一次函数过 A，B 两点，
−3=2k+b,1=6k+b,
k=1,b=−5.
∴yAB=x−5．
4. （1） 如图，作 AH⊥BC 于 H，
∵Rt△ABC 的斜边 BC 在 x 轴上，坐标原点是 BC 的中点，∠ABC=30∘，BC=4，
∴OC=12BC=2，AC=BC×sin30∘=2，
∵∠HAC+∠ACO=90∘，∠ABC+∠ACO=90∘，
∴∠HAC=∠ABC=30∘，
∴CH=AC×sin30∘=1，OH=AC×cs30∘=3，
∴OH=OC−CH=2−1=1，
∴A1,3，
∵ 双曲线 y=kx 经过点 A，
∴1=k3，
即 k=3．
（2） 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，
∵A1,3，C2,0，
∴0=2k+b,3=k+b,
解得 k=−3,b=23.
∴ 直线 AC 的解析式为 y=−3x+23，
∵ 直线 AC 与双曲线 y=−33x 在第四象限交于点 D，
∴y=−3x+23,y=−33x,
解得 x=3,y=−3或x=−1,y=33.
∵D 在第四象限，
∴D3,−3，
∴S△ABD=S△ABC+S△BCD=12BC⋅AH+12BC⋅−yD=12×4×3+12×4×3=43.
5. （1） 把 A3,5 代入 y2=mxm≠0，可得 m=3×5=15，
∴ 反比例函数的解析式为 y2=15x．
把点 Ba,−3 代入 y2=15x，可得 a=−5，
∴B−5,−3．
把 A3,5，B−5,−3 代入 y1=kx+b，
可得 3k+b=5,−5k+b=−3, 解得 k=1,b=2,
∴ 一次函数的解析式为 y1=x+2．
（2） 一次函数的解析式为 y1=x+2，令 x=0，得 y1=2，
∴ 一次函数的图象与 y 轴的交点为 0,2，
易知当 P 与 B，C 共线时，PB−PC 取大，此时 P 为直线 BC 与 y 轴的交点，
∴P0,2 为所求的点，
令 y1=0，得 x=−2，
∴C−2,0，
∴BC=−2+52+32=32．
∴PB−PC 的最大值为 32，此时点 P 的坐标为 0,2．
（3） 当 y1>y2 时，x 的取值范围是 −5
6. （1） ∵ 函数 y=x 的图象过点 P2,m，
∴m=2，
∴P2,2，
∵ 函数 y=kxx>0 的图象过点 P，
∴k=2×2=4．
（2） 将 y=4 代入 y=x，得 x=4，
∴ 点 A4,4．
将 y=4 代入 y=4x，得 x=1，
∴ 点 B1,4．
∴AB=4−1=3．
7. （1） ∵ 直线 AC 与反比例函数 y=−6x（x<0）的图象相交于点 A−1,m，
∴m=−6−1=6．
∴A−1,6．
设直线 AC 的解析式为 y=kx+b．
把 A−1,6，C5,0 代入，
得 −k+b=6,5k+b=0.
解得 k=−1,b=5.
∴ 直线 AC 的解析式为 y=−x+5．
（2） ∵ 直线 AC 的解析式为 y=−x+5，
∴ 设 Dn,−n+5（−1
易得 △ODM≌△ODʹN．
∴ON=DM=−n+5，DʹN=OM=n．
∴Dʹn−5,n．
∵ 点 Dʹ 恰好落在反比例函数 y=−6x（x<0）的图象上，
∴nn−5=−6．
解得 n=2 或 n=3．
∴ 点 D 的坐标为 2,3 或 3,2．
8. （1） ∵B−1,m 在一次函数 y=−4x+2 的图象上，
∴−4×−1+2=m．解得 m=6．
∴B−1,6．
∵ 点 B−1,6 在反比例函数 y=kxk≠0 的图象上，
∴k=−1×6=−6．
∴ 该反比例函数的表达式为 y=−6x．
∵Cn,−4 在反比例函数 y=−6x 的图象上，
∴−4=−6n．解得 n=32．
∴ 点 C 的坐标为 32,−4．
（2） 把 x=0 代入 y=−4x+2，得 y=2，
∴A0,2．
∵AD⊥y轴，
∴ 点 D 的纵坐标为 2．
又点 D 在反比例函数 y=−6x 的图象上，
∴2=−6x．解得 x=−3．
∴D−3,2，
∴AD=3．
∴S△ABD=12×3×6−2=6．
（3） 观察图象可知，不等式 kx<−4x+2 的解集为 x<−1 或 0
∴−2k1+b=0,2k1+b=−3.
解得 k1=−34,b=−32.
∴ 一次函数的解析式为 y1=−34x−32．
∵ 点 D2,−3 在反比例函数 y2=k2x 的图象上，
∴k2=2×−3=−6．
∴ 反比例函数的解析式为 y2=−6x．
（2） 联立 y=−34x−32,y=−6x.
解得 x1=2,y1=−3,x2=−4,y2=32.
∴C−4,32．
（3） x<−4 或 0
∵S△COD=S△AOC+S△AOD=12×2×32+12×2×3=92，S△ACQ=13S△COD，
∴12×32⋅∣t+2∣=13×92．
解得 t=0 或 t=−4．
∴ 点 Q 的坐标为 0,0 或 −4,0．
（5） 所有符合条件的点 P 的坐标为 0,13 或 0,−13 或 0,−6 或 0,−136．
【解析】设点 P 的坐标为 0,m．
∵D2,−3，O0,0，
∴OD=13，OP=∣m∣，PD=22+m+32．
当 △DOP 是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当 OP=OD 时，∣m∣=13．解得 m=±13．
∴P0,13或0,−13．
②当 OD=PD 时，13=22+m+32．解得 m=0（舍去）或 m=−6．
∴P0,−6．
③当 OP=PD 时，∣m∣=22+m+32，解得 m=−136．
∴P0,−136．
综上所述，所有符合条件的点 P 的坐标为 0,13 或 0,−13 或 0,−6 或 0,−136．
（6） 存在．
如图，作点 A−2,0 关于 y 轴的对称点 Aʹ2,0，连接 AʹC 交 y 轴于点 H，
则点 H 即为所求．
设 AʹC 所在直线的解析式为 y=kx+n．
根据题意，得 2k+n=0,−4k+n=32,
解得 k=−14,n=12.
∴AʹC 所在直线的解析式为 y=−14x+12，
当 x=0 时，y=12，
∴ 点 H 的坐标为 0,12．
10. （1） ∵ 点 A2,4 在反比例函数 y=kxx>0，
∴k=2×4=8，
∴ 反比例函数的解析式为：y=8x．
（2） 设点 Bm,8m，过点 A 作 AC⊥x 轴于 C，过点 B 作 BD⊥x 轴于 D，
∵ 直线 AB 与反比例函数 y=kxx>0 的图象交于 A，B 两点，
∴k=OC×AC=OD×BD，
∴S△AOC=S△BOD，
∴S△AOB=S梯形ACDB，
∴12×4+8m×m−2=6，
∵m>0，
解得 m=4，
∴B4,2，
设直线 AB 的解析式为：y=kx+b，
4=2k+b,2=4k+b,
解得 k=−1,b=6,
∴ 直线 AB 的解析式为：y=−x+6．
（3） 在 △PAB 中，根据两边之差小于第三边，即 ∣PA−PB∣≤AB，
∴∣PA−PB∣ 的最大值为线段 AB，
∴ 此时 P 点为直线 AB 与 y 轴的交点，
当 x=0 时，y=6，
∴P0,6．
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