2022届中考典型解答题专题练习：一次函数与三角形综合问题（四）

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2022届中考典型解答题专题练习：一次函数与三角形综合问题（四） 一、解答题（共10小题；共130分）1. 已知直线 y=2x−4 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，直线 y=−3x+3 交 x 轴于点 C，交 y 轴于点 D，且两直线交于点 E．若 S△ACE=35． （1）求点 E 的坐标；（2）求 S△BDE． 2. 平面直角坐标系中，直线 y=2x+4 与 x 轴、 y 轴分别交于点 B，A，直线 BC 与直线 y=−x 交于点 E−4,4．（1）直接写出直线 AB 关于 x 轴对称的直线 BC 的解析式  ；（2）如图 1，点 P 为 y 轴上一点，PE=PB，求 P 点坐标； （3）如图 2，点 P 为 y 轴上一点，∠OEB=∠PEA，直线 EP 与直线 AB 交于点 M，求 M 点的坐标． 3. 如图，直线 AB 经过点 A−3,0，B0,2，经过点 D0,4 并且与 y 轴垂直的直线 CD 与直线 AB 交于第一象限内点 C． （1）求直线 AB 的表达式；（2）在 x 轴的正半轴上是否存在一点 P，使得 △OCP 为等腰三角形，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 4. 已知直线 y=−23x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，直线 y=2x+b 经过点 B 且与 x 轴交于点 C．求 △ABC 的面积． 5. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=−2x+4 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，点 B． （1）求点 A 和点 B 的坐标．（2）若点 P 在 y 轴上，且 S△AOP=12S△AOB，求点 P 的坐标． 6. 如图，已知直线 AB 的函数表达式为 y=2x+10，与 x 轴交点为 A，与 y 轴交点为 B． （1）求 A，B 两点的坐标．（2）若点 P 为线段 AB 上一个动点，O 为坐标原点，是否存在点 P 使 OP 的值最小?若存在，求出 OP 的最小值；若不存在，请说明理由． 7. 如图，已知点 A−3,0，点 B0,m，直线 l:x=1．直线 AB 与直线 l 交于点 C，连接 OC． （1）△OBC 的面积与 △OAC 的面积比是否是定值?如果是，请求出面积比；如果不是请说明理由．（2）若 m=2，点 T 在直线 l 上且 TA=TB，求点 T 的坐标． 8. 直线 y=kx−2 与坐标轴所围图形的面积为 3，点 A3,m 是直线 y=kx−2 上一点．（1）求点 A 的坐标．（2）当 k>0 时，点 P 在 y 轴上，且 ∠PAO=30∘，直接写出点 P 坐标． 9. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+b 的图象与 y 轴的正半轴交于点 A，与 x 轴交于点 B−2,0，△ABO 的面积为 2．动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度在射线 BO 上运动，动点 Q 从 O 出发，沿 x 轴的正半轴与点 P 同时以相同的速度运动，过 P 作 PM⊥X 轴交直线 AB 于 M． （1）求直线 AB 的解析式；（2）当点 P 在线段 OB 上运动时，设 △MPQ 的面积为 S，点 P 运动的时间为 t 秒，求 S 与 t 的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）；（3）过点 Q 作 QN⊥x 轴交直线 AB 于 N，在运动过程中（P 不与 B 重合），是否存在某一时刻 t（秒），使 △MNQ 是等腰三角形?若存在，求出时间 t 值． 10. 解答下列问题．（1）【数学阅读】 如图 1，在 △ABC 中，AB=AC，点 P 为边 BC 上的任意一点，过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为 D，E，过点 C 作 CF⊥AB，垂足为 F，求证：PD+PE=CF． 小尧的证明思路是：如图 2，连接 AP，由 △ABP 与 △ACP 面积之和等于 △ABC 的面积可以证得：PD+PE=CF． （2）【推广延伸】 如图 3，当点 P 在 BC 延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想 PD，PE 与 CF 的数量关系，并证明． （3）【解决问题】 如图 4，在平面直角坐标系中有两条直线 l1，l2，分别是函数 y1=−34x+3 和 y2:y=3x+3 的图象，l1，l2 与 x 轴的交点分别为 A，B． （1）两条直线的交点 C 的坐标为  ； （2）说明 △ABC 是等腰三角形； （3）若 l2 上的一点 M 到 l1 的距离是 1，运用上面的结论，求点 M 的坐标． 答案第一部分1. （1） 解方程组 y=2x−4,y=−3x+3, 得 x=75,y=−65, ∴E75,−65．    （2） 将 x=0 代入 y=2x−4，解得：y=−4， ∴B0,−4，将 x=0 代入 y=−3x+3，解得：y=3， ∴D0,3， ∴BD=3−−4=7， ∴S△BDE=12×7×75=4910．2. （1） y=−2x−4【解析】∵ 直线 y=2x+4 与 x 轴、 y 轴分别交于点 B，A． ∴A0,4，B−2,0， ∵ 直线 AB 与直线 BC 关于 x 轴对称， ∴C0,−4，设直线 BC 的解析式为 y=kx+b， ∴−2k+b=0,b=−4, 解得，k=−2,b=−4, ∴ 直线 BC 的解析式为 y=−2x−4．    （2） ∵E−4,4， ∴AE⊥AO，设 OP=a，AP=4−a，在 Rt△BOP 和 Rt△EAP 中， BP2=4+a2，PE2=16+4−a2， ∵PE=PB， ∴4+a2=16+4−a2，解得 a=3.5． ∴P0,3.5．    （3） ①如图，当点 P 在点 A 的下方， ∵∠OEB=∠PEA，∠AEO=45∘， ∴∠PEB=45∘，过点 B 作 BN⊥BE 交直线 EP 于点 N，过点 N 作 NQ⊥OB 于 Q，过点 E 作 EH⊥OB 于点 H， ∴△EBN 为等腰直角三角形， ∴EB=BN， ∵∠BEH+∠EBH=90∘，∠EBH+∠NBQ=90∘， ∴∠BEH=∠NBQ，又 ∵∠EHB=∠BQN=90∘， ∴△EHB≌△BQNAAS， ∴NQ=BH=2，BQ=EH=4， ∴N2,2，设直线 EN 的解析式为 y=kx+b，由 −4k+b=4,2k+b=2, 解得 k=−13,b=83, ∴ 直线 EN 的解析式为 y=−13x+83，OP=83， ∴PA=4−83=43，由 y=−13x+83,y=2x+4, 解得 x=−47,y=207, 即 M−47,207；② P 点在 A 点的上方，由①知，PA=43， ∴OP=OA+PA=4+43=163，设直线 EP 的解析式为 y=mx+163， ∵E−4,4， ∴−4m+163=4，解得 m=13， ∴ 直线 EP 的解析式为 y=13x+163，由 y=13x+163,y=2x+4, 解得 x=45,y=285, ∴M45,285．综合以上可得点 M 的坐标为 −47,207 或 45,285．3. （1） 设直线 AB 的表达式为：y=kx+b，把 A−3,0，B0,2 代入表达式得： 0=−3k+b,2=b, 解得：k=23,b=2, ∴ 直线 AB 的表达式为：y=23x+2．    （2） ∵ 经过点 D0,4 并且与 y 轴垂直的直线 CD 与直线 AB 交于第一象限内点 C， ∴ 点 C 的纵坐标为：4， ∴4=23x+2，解得：x=3， ∴ 点 C 的坐标为：3,4， ∴OC=32+42=5，分三种情况：如图，①当 OP=PC 时，设点 P 的坐标为：a,0，则 OP2=PC2，即 a2=a−32+42，解得：a=256， ∴ 点 P 的坐标为：256,0；②当 OC=OP=5 时，点 P 的坐标为：5,0；③当 OC=CP 时，由点 C 的横坐标为 3，可得点 P 的横坐标为 6， ∴ 点 P 的坐标为：6,0．综上所述，△OCP 为等腰三角形，点 P 的坐标为 256,0 或 5,0 或 6,0．4. ∵ 当 y=0 时，x=92；当 x=0 时，y=3， ∴A92,0，B0,3， ∵ 直线 y=2x+b 经过点 B， ∴b=3， ∴ 直线 y=2x+b 的解析式为 y=2x+3， ∴C−32,0， ∴AC=92+32=6， ∴S△ABC=12×6×3=9．5. （1） 令 x=0，得 y=4．令 y=0，得 x=2． ∴A0,4，B2,0．    （2） ∵S△AOB=12×2×4=4， ∴S△BOP=12S△AOB=2． ∴12×OA×OP=2， ∴12×2×OP=2， ∴OP=2， ∵P 点在 y 轴上， ∴P10,−2，P20,2．6. （1） ∵ 一次函数 y=2x+10，令 x=0，则 y=10，令 y=0，则 x=−5， ∴ 点 A 坐标为 −5,0，点 B 坐标为 0,10．    （2） 存在点 P 使得 OP 的值最小，理由如下： ∵ 点 P 为线段 AB 上一个动点，O 为坐标原点， ∴ 当 OP 最小时满足 OP⊥AB，此时 OP 即为 Rt△AOB 中 AB 边上的高， ∵ 点 A 坐标为 −5,0，点 B 坐标为 0,10， ∴ OA=5，OB=10， ∴ 由勾股定理得：AB=55， ∵ △AOB 的面积 =12OA⋅OB=12AB⋅OP， ∴ OP=5×1055=25， ∴ 存在点 P 使 OP 的值最小，此时 OP=25．7. （1） 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b， ∵ 点 A−3,0，点 B0,m， ∴−3k+b=0,b=m, ∴k=m3,b=m, ∴ 直线 AB 的解析式为 y=m3x+m．当 x=1 时，y=4m3， ∴C1,4m3， ∴S△OBCS△OAC=12×3×4m3−12×3×m12×3×4m3=14， ∴△OBC 的面积与 △OAC 的面积比是定值．    （2） ∵m=2， ∴ 点 B0,2， ∴ 直线 AB 的解析式为 y=23x+2． ∵ 点 T 在直线 l 上且 TA=TB， ∴ 点 T 在线段 AB 的垂直平分线上，设 AB 的垂直平分线的解析式为：y=−32x+n． ∵ 线段 AB 的中点坐标为 −1.5,1， ∴n=−54， ∴AB 的垂直平分线的解析式为：y=−32x−54，当 x=1 时，y=−114， ∴T1,−114．8. （1） 直线 y=kx−2 与 x 轴的交点为 2k,0，与 y 轴的交点为 0,−2． ∵ 直线 y=kx−2 与坐标轴所围图形的面积为 3， ∴12×2k×−2=3，解得 k=±23，当 k=23 时，y=23x−2，则 m=23×3−2=0；当 k=−23 时，y=−23x−2，则 m=−23×3−2=−4， ∴ 点 A 的坐标为 3,0 或 3,−4．    （2） 0,3 或 0,−3．【解析】∵k>0， ∴ 点 A 的坐标为 3,0．如图，画出图象． ∵ 点 P 在 y 轴上，∠PAO=30∘， ∴OP=33OA=3， ∴ 点 P 的坐标为 0,3 或 0,−3．9. （1） S△ABO=12×OA×OB=12×AO×2=2，则 OA=2，即点 A0,2，将点 A，B 的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b 得： n=2,0=−2m+n, 解得：m=1,n=2, 直线 AB 的表达式为：y=x+2．    （2） t 秒时，点 P 的坐标为 −2+t,0，则 MP=BP=t， S=12×PQ×MP=12×2t=t0